Znajomość macierzy jest niezbędna w różnych gałęziach matematyki. Macierze są jednym z najpotężniejszych narzędzi w matematyce. Z macierzy pochodzą wyznaczniki. Teraz widzimy jedną z właściwości wyznacznika w tym artykule.
W tym artykule zobaczymy, jak znaleźć plik Spójność macierzy. Aby wiedzieć o Spójność macierzy musimy wiedzieć o Kofaktor matrycy.
Spis treści
- Sprzężenie definicji macierzy
- Minor matrycy
- Kofaktor macierzy
- Transpozycja macierzy
- Jak znaleźć połączenie macierzy?
- Właściwości sprzężenia macierzy
- Znajdowanie odwrotności przy użyciu sprzężenia macierzy
Sprzężenie definicji macierzy
Sprzężenie macierzy jest macierzą transpozycji kofaktora danej macierzy. Dla dowolnej macierzy kwadratowej A, aby obliczyć jej przym. macierz musimy najpierw obliczyć macierz kofaktorów danej macierzy, a następnie znaleźć jej wyznacznik. Aby obliczyć łączenie macierzy, wykonaj następujące kroki:
Krok 1 : Oblicz Minor wszystkich elementów danej macierzy A.
Krok 2: Znajdź macierz kofaktorów C, korzystając z mniejszych elementów.
Krok 3: Znajdź macierz sprzężoną A, przyjmując transpozycję macierzy kofaktorów C.
Dla dowolnej macierzy A 2 × 2 obraz jej połączenia pokazano poniżej,
Teraz nauczmy się o Minorze, Kofaktorze i Transpozycji macierzy.
Minor matrycy
Minor macierzy to macierz lub element obliczany poprzez ukrycie wiersza i kolumny macierzy elementu, dla którego obliczany jest minor. W przypadku macierzy 2×2 element drugorzędny jest elementem pokazywanym poprzez ukrycie wiersza i kolumny elementu, dla którego obliczany jest element drugorzędny.
Dowiedz się więcej o, Nieletni i kofaktorzy
Kofaktor macierzy
Kofaktor to liczba, którą otrzymamy, gdy usuniemy kolumnę i wiersz wyznaczonego elementu w macierzy. Oznacza to wzięcie jednego elementu z macierzy i usunięcie całego wiersza i kolumny tego elementu z macierzy, a następnie określenie, które elementy są obecne w tej macierzy, czyli tzw. kofaktor.
Jak znaleźć kofaktor macierzy
Aby znaleźć kofaktor elementu macierzy, możemy wykonać następujące kroki:
Krok 1: Usuń cały wiersz i kolumnę zawierającą rozważany element.
Krok 2: Pozostałe elementy weź tak jak w macierzy po kroku 1.
Krok 3: Znajdź wyznacznik macierzy utworzonej w kroku 2, zwanej drobny elementu.
Krok 4: Skorzystajmy teraz ze wzoru na kofaktor pierwiastka ajatj. (-1)ja+jMjagdzie Mij jest mniejszą częścią elementu w itrząd i jtkolumna, która została już obliczona w kroku 3.
Krok 5: Wynikiem kroku 4 jest kofaktor rozważanego elementu i podobnie możemy obliczyć kofaktor każdego elementu macierzy, aby znaleźć macierz kofaktorów danej macierzy.
Przykład: Znajdź macierz kofaktorów
Rozwiązanie:
Podana macierz jest
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Znajdźmy kofaktor elementu w pierwszym rzędzie, w trzeciej kolumnie, tj. 3.
Krok 1: Usuń cały wiersz i kolumnę zawierającą rozważany element.
tj.,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} Krok 2: Pozostałe elementy weź tak jak w macierzy po kroku 1.
tj.,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} Krok 3: Znajdź wyznacznik macierzy utworzonej w kroku 2, który nazywa się mollem elementu.
Drobne 3 cale
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 Krok 4: Skorzystajmy teraz ze wzoru na kofaktor pierwiastka ajatj. (-1)ja+jMja
Kofaktor elementu 3 = (-1)1+3(32) = 32
Krok 5: Kontynuuj procedurę dla wszystkich elementów, aby znaleźć macierz kofaktorów A,
tj. macierz kofaktorów A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Transpozycja macierzy
Transpozycja macierzy to macierz utworzona poprzez wzajemną zamianę wierszy i kolumn macierzy. Transpozycja macierzy A jest oznaczona jako ATlub A'. Jeżeli rząd macierzy A wynosi m×n, to rząd macierzy transpozycji wynosi n×m.
Dowiedz się więcej o, Transpozycja macierzy
Jak znaleźć połączenie macierzy?
Aby znaleźć połączenie macierzy, najpierw musimy znaleźć kofaktor każdego elementu, a następnie znaleźć jeszcze 2 kroki. zobacz poniżej kroki,
Krok 1: Znajdź kofaktor każdego elementu występującego w macierzy.
Krok 2: Utwórz kolejną macierz z kofaktorami jako elementami.
Krok 3: Teraz znajdź transpozycję macierzy, która pochodzi z kroku 2.
Jak znaleźć połączenie macierzy 2×2
Rozważmy przykład zrozumienia metody znajdowania sprzężenia macierzy 2×2.
Przykład: Znajdź połączenie
Rozwiązanie:
Podana macierz jest
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} Krok 1: Znajdź kofaktor każdego elementu.
Kofaktor pierwiastka w A[1,1]: 5
Kofaktor pierwiastka w A[1,2]: -4
Kofaktor pierwiastka w A[2,1]: -3
Kofaktor pierwiastka w A[2,2]: 2
Krok 2: Utwórz macierz z kofaktorów
tj.,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} Krok 3: Transpozycja macierzy kofaktorów,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Jak znaleźć połączenie macierzy 3×3
Weźmy przykład macierzy 3×3, aby zrozumieć, jak obliczyć sprzężenie tej macierzy.
Przykład: Znajdź połączenie
Rozwiązanie:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Krok 1: Znajdź kofaktor każdego elementu.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 Krok 2: Utwórz macierz z kofaktorów
klucz do laptopa
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} Krok 3: Transpozycja macierzy C do sprzężenia danej macierzy.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Która jest sprzężona z daną macierzą A.
Właściwości sprzężenia macierzy
Sprzężenie macierzy ma różne właściwości, niektóre z nich są następujące:
- A(Przym. A) = (Przym. A)A = |A| IN
- Przym.(BA) = (Przym. B) (Przym. A)
- |Przym A| = |A|n-1
- Przym.(kA) = kn-1(Przym. A)
Znajdowanie odwrotności przy użyciu sprzężenia macierzy
Znalezienie odwrotności jest jednym z ważnych zastosowań łączenia macierzy. Aby znaleźć odwrotność macierzy za pomocą łączenia, możemy wykonać następujące kroki:
Krok 1: Znaleźć wyznacznik macierzy .
Krok 2: Jeśli wyznacznik wynosi zero, to macierz nie jest odwracalna i nie ma odwrotności.
Krok 3: Jeżeli wyznacznik jest różny od zera, to znajdź łącznik macierzy.
Krok 4: Podziel sprzężenie macierzy przez wyznacznik macierzy.
Krok 5: Wynikiem kroku 4 jest odwrotność danej macierzy.
Przykład: Znajdź odwrotność
Rozwiązanie:
Dana macierz
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0
Zatem odwrotność A nie istnieje.
Dowiedz się więcej o, Odwrotność macierzy
Rozwiązane przykłady sprzężenia macierzy
Przykład 1: Znajdź połączenie danej macierzy
Rozwiązanie:
Krok 1: Aby znaleźć kofaktor każdego elementu
Aby znaleźć kofaktor każdego elementu, musimy jeden po drugim usunąć wiersz i kolumnę każdego elementu i wziąć obecne elementy po usunięciu.
Kofaktor pierwiastków w A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Kofaktor pierwiastków w A[0,1] = 2 :
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Kofaktor pierwiastków w A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Kofaktor pierwiastków w A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6Kofaktor pierwiastków w A[2,1] = 4 :
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Kofaktor pierwiastków w A[2,2] = 5 :
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4Kofaktor pierwiastków w A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Kofaktor pierwiastków w A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16Kofaktor pierwiastków w A[3,2] = 9:
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10Macierz wygląda tak z kofaktorami:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} Ostateczna macierz kofaktorów:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} Krok 2: Znajdź transpozycję macierzy otrzymanej w kroku 1
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} To jest Spójność macierzy.
Przykład 2: Znajdź połączenie danej macierzy
Rozwiązanie:
Krok 1: Aby znaleźć kofaktor każdego elementu
Aby znaleźć kofaktor każdego elementu, musimy jeden po drugim usunąć wiersz i kolumnę każdego elementu i wziąć obecne elementy po usunięciu.
Kofaktor pierwiastka w A[0,0] = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Kofaktor pierwiastków w A[0,1] = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Kofaktor pierwiastków w A[0,2] = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Kofaktor pierwiastków w A[2,0] = 2 :
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Kofaktor pierwiastków w A[2,1] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Kofaktor pierwiastków w A[2,2] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Kofaktor pierwiastków w A[3,0] = 2 :
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Kofaktor pierwiastków w A[3,1] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Kofaktor pierwiastków w A[3,2] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3Ostateczna macierz kofaktorów:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} Krok 2: Znajdź transpozycję macierzy uzyskanej w kroku 1
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} To jest Spójność macierzy.
Często zadawane pytania dotyczące łączenia macierzy
Co to jest sprzężenie macierzy?
Sprzężenie macierzy kwadratowej jest transpozycją macierzy kofaktorów macierzy pierwotnej. Jest ona również nazywana macierzą sprzężoną.
Jak oblicza się sprzężenie macierzy?
Aby obliczyć sprzężenie macierzy, należy znaleźć macierz kofaktorów danej macierzy, a następnie dokonać jej transpozycji.
Do czego służy połączenie macierzy?
Kluczowym zastosowaniem lub wykorzystaniem sprzężenia macierzy jest znalezienie odwrotności macierzy odwracalnych.
Jaki jest związek między odwrotnością macierzy a jej sprzężeniem?
Odwrotność macierzy uzyskuje się dzieląc jej sprzężenie przez jej wyznacznik. Oznacza to, że jeśli A jest macierzą kwadratową, a det(A) jest niezerowe, to
A -1 = przym(A)/det(A)
Co to jest macierz adjugatowa?
Macierz sprzężona nazywana jest także macierzą wspomagającą. Jest to transpozycja kofaktora danej macierzy.
Jaka jest różnica między sprzężeniem a transpozycją macierzy?
Sprzężenie macierzy polega na transpozycji macierzy kofaktorów, natomiast transpozycję macierzy uzyskuje się poprzez zamianę jej wierszy i kolumn.
Czy macierz kwadratowa jest zawsze odwracalna?
Nie, macierze kwadratowe nie zawsze są odwracalne. Macierz kwadratowa jest odwracalna tylko wtedy, gdy ma wyznacznik niezerowy.
Czy można obliczyć sprzężenie macierzy niekwadratowej?
Nie, sprzężenie macierzy można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej ze względu na jej definicję.