Jakie są czynniki liczby 45? 1, 3, 5, 9, 15 i 45.
Zastanawiasz się, jak wymyśliłem te liczby? Faktoring! Ponieważ zapewnia matematyczne podstawy dla bardziej skomplikowanych systemów, kluczowa jest nauka rozkładania na czynniki. Niezależnie od tego, czy uczysz się do testu z algebry, przygotowujesz się do egzaminu SAT lub ACT, czy po prostu chcesz odświeżyć wiedzę i przypomnieć sobie, jak rozkładać liczby na czynniki w celu uzyskania wyższych rzędów matematyki, ten przewodnik jest dla Ciebie.
Co to jest faktoring?
Faktoring to tzw proces znajdowania każdej liczby całkowitej, którą można pomnożyć przez inną liczbę całkowitą, aby uzyskać liczbę docelową . Obie wielokrotności będą współczynnikami liczby docelowej.
Rozkładanie liczb na czynniki może wydawać się żmudnym zadaniem lub zapamiętywaniem na pamięć bez celu końcowego, ale faktoring to technika, która pomaga zbudować szkielet znacznie bardziej złożonych procesów matematycznych.
Bez umiejętności rozkładania na czynniki byłoby wręcz trudne (jeśli nie niemożliwe) zrozumienie wielomianów i rachunku różniczkowego, a nawet proste zadania, takie jak dzielenie czeku, byłyby o wiele trudniejsze do zrozumienia w głowie.
Jakie są czynniki 45? Faktoring w działaniu
Koncepcja ta może być trudna do zwizualizowania, dlatego przyjrzyjmy się wszystkim czynnikom 45, aby zobaczyć ten proces w działaniu. Czynniki liczby 45 to pary liczb, które po pomnożeniu przez siebie dają liczbę 45 :
1 i 45 (ponieważ 1 * 45 = 45)
3 i 15 (ponieważ 3 * 15 = 45)
5 i 9 (ponieważ 5 * 9 = 45)
Zatem w formie listy 45 czynników to 1, 3, 5, 9, 15 i 45 .
Na szczęście dla nas faktoring wymaga tylko dwóch górnych funkcji na tym obrazku (yay!)
Faktoryzacja pierwsza i czynniki pierwsze liczby 45
Liczba pierwsza to dowolna liczba całkowita większa od 1, która może tylko podzielić (równo) przez 1 i siebie. Lista najmniejszych liczb pierwszych to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... i tak dalej.
główny faktoryzacja oznacza znalezienie współczynników liczb pierwszych liczby docelowej, które po pomnożeniu dają tę liczbę docelową. Jeśli więc przyjmiemy 45 jako liczbę docelową, chcemy znaleźć tylko czynniki pierwsze liczby 45, które należy pomnożyć przez siebie, aby uzyskać liczbę 45.
Z czynników z powyższej listy 45 wiemy, że tylko niektóre z tych czynników (3 i 5) są liczbami pierwszymi. Ale wiemy też, że 3*5 tak nie równe 45. Zatem 3 * 5 jest niekompletnym rozkładem na czynniki pierwsze.
Najłatwiej znaleźć kompletny Rozkład na czynniki pierwsze dowolnej liczby docelowej polega na zastosowaniu zasadniczo „odwróconego” dzielenia i dzieleniu tylko przez najmniejszą liczbę pierwszą, która mieści się w każdym wyniku.
Na przykład:
Podziel liczbę docelową (45) przez najmniejszą liczbę pierwszą, jaką można na nią uwzględnić. W tym przypadku jest to 3.
Dostajemy 15. Teraz podzielmy 15 przez najmniejszą liczbę pierwszą, jaką można uwzględnić. W tym przypadku jest to znowu 3.
Otrzymujemy wynik 5. Teraz podzielmy 5 przez najmniejszą liczbę pierwszą, która może zostać uwzględniona. W tym przypadku jest to 5.
Zostaje nam 1, więc kończymy.
Rozkład na czynniki pierwsze będzie liczbą pomnożoną przez siebie. Po pomnożeniu wynik wyniesie 45. (Uwaga: nie uwzględniamy 1, ponieważ 1 nie jest liczbą pierwszą).
Nasza ostateczna rozkład na czynniki pierwsze liczby 45 to 3 * 3 * 5.
Inny rodzaj Pierwszego.
Obliczanie współczynników dowolnej liczby
Ustalając czynniki, najszybszym sposobem jest znalezienie czynnika pary tak jak to zrobiliśmy wcześniej dla wszystkich czynników 45. Znajdując pary, skracasz swoją pracę o połowę, ponieważ znajdujesz jednocześnie najmniejszy i największy czynnik.
Najszybszym sposobem obliczenia wszystkich par czynników potrzebnych do rozłożenia liczby docelowej jest znalezienie pierwiastka zapasowego liczby docelowej (lub pierwiastka kwadratowego i zaokrąglenie w dół do najbliższej liczby całkowitej) i użycie tej liczby jako zatrzymanie punkt za znalezienie małych czynników.
Dlaczego? Ponieważ już znalazłeś wszystkie czynniki większe od kwadratu, znajdując pary czynników mniejszych czynników. Powtórzysz te czynniki tylko wtedy, gdy będziesz nadal próbował znaleźć czynniki większe niż pierwiastek kwadratowy.
Nie martw się, jeśli brzmi to teraz zagmatwanie! Przeanalizujemy przykład, który pokaże, jak uniknąć marnowania czasu na ponowne szukanie tych samych czynników.
Przyjrzyjmy się więc metodzie znajdowania wszystkich czynników liczby 64:
Najpierw weźmy pierwiastek kwadratowy z 64.
√64 = 8
Teraz wiemy tylko skupić się na liczbach całkowitych 1–8, aby znaleźć pierwszą połowę wszystkich naszych par czynników.
#1: Naszą pierwszą parą czynników będą 1 i 64
#2: 64 to liczba parzysta, więc naszą następną parą czynników będą 2 i 32.
#3: 64 nie można równo podzielić przez 3, więc 3 NIE jest czynnikiem.
#4: 64/4 = 16, więc naszą następną parą czynników będzie 4 i 16.
#5: 64 nie dzieli się równomiernie przez 5, więc 5 NIE jest współczynnikiem 64.
#6: 6 nie przekłada się równomiernie na 64, więc 6 NIE jest współczynnikiem 64.
#7: 7 nie idzie równomiernie w 64, więc 7 NIE jest współczynnikiem 64.
#8: 8 * 8 (8 do kwadratu) równa się 64, więc 8 to współczynnik 64.
I na tym możemy zakończyć, ponieważ 8 to pierwiastek kwadratowy z 64. Gdybyśmy w dalszym ciągu szukali czynników, powtarzalibyśmy tylko większe liczby z naszych wcześniejszych par czynników (16, 32, 64).
Nasza ostateczna lista czynników 64 to 1, 2, 4, 8, 16, 32 i 64.
Czynniki (jak kaczątka) są zawsze lepsze w parach.
Skróty dotyczące znajdowania czynników
Zobaczmy teraz, jak możemy szybko znajdź najmniejsze czynniki (a tym samym pary czynników) liczby docelowej. Poniżej opisałem kilka przydatnych sztuczek pozwalających stwierdzić, czy liczby 1-11 są czynnikami danej liczby.
1) Ilekroć chcesz rozłożyć liczbę na czynniki, zawsze możesz zacząć od razu od dwóch czynników: 1 i liczby docelowej (na przykład 1 i 45, jeśli rozkładasz na czynniki 45). Każdą liczbę (inną niż 0) można zawsze pomnożyć przez 1, aby była równa sobie, tzw 1 wola zawsze być czynnikiem.
2) Jeśli liczba docelowa jest parzysta, następnymi czynnikami będą 2 i połowa liczby docelowej. Jeśli liczba jest nieparzysta, automatycznie wiesz, że nie można jej podzielić równo przez 2, więc 2 NIE będzie czynnikiem. (W rzeczywistości, jeśli liczba docelowa jest nieparzysta, nie będzie miała współczynników ŻADNEJ liczby parzystej.)
3) Szybkim sposobem sprawdzenia, czy liczba jest podzielna przez 3, jest dodanie cyfr liczby docelowej. Jeśli 3 jest współczynnikiem sumy cyfr, wówczas 3 jest również współczynnikiem liczby docelowej.
Załóżmy na przykład, że naszą liczbą docelową jest 117 i musimy to uwzględnić. Możemy dowiedzieć się, czy 3 jest czynnikiem, dodając do siebie cyfry liczby docelowej (117):
1 + 1 + 7 = 9
samouczek dotyczący mikrousług
3 można pomnożyć przez 3, aby uzyskać liczbę 9, więc 3 będzie mogło równomiernie przejść do 117.
117/3 = 39
3 i 39 to czynniki 117.
4) Liczba docelowa będzie miał współczynnik 4 tylko wtedy, gdy liczba docelowa jest parzysta . Jeśli tak, możesz dowiedzieć się, czy 4 jest czynnikiem, patrząc na wynik wcześniejszej pary czynników. Jeśli po podzieleniu liczby docelowej przez 2 wynik nadal będzie parzysty, liczba docelowa będzie również podzielna przez 4. Jeśli nie, liczba docelowa NIE będzie miała współczynnika 4.
Na przykład:
18/2 = 9. 18 NIE jest podzielne przez 4, ponieważ 9 jest liczbą nieparzystą.
56/2 = 28. 56 JEST podzielne przez 4, ponieważ 28 jest liczbą parzystą.
5) 5 będzie A współczynnik dowolnej liczby kończącej się na cyfrach 5 lub 0 . Jeśli cel kończy się inną liczbą, współczynnik nie będzie wynosił 5.
6) Liczba 6 zawsze będzie czynnikiem liczby docelowej jeśli liczba docelowa ma współczynniki ZARÓWNO 2, jak i 3 . Jeśli nie, 6 nie będzie miało znaczenia.
7) Niestety, nie ma żadnych skrótów do znalezienia, jeśli 7 jest czynnikiem liczby innej niż pamiętanie wielokrotności 7.
8) Jeśli cel liczba NIE ma współczynników 2 i 4, nie będzie też miała współczynnika 8 . Jeśli ma współczynniki 2 i 4, to móc masz współczynnik 8, ale będziesz musiał podzielić, aby zobaczyć (niestety, nie ma na to żadnej sprytnej sztuczki poza tym i zapamiętywaniem wielokrotności 8).
9) Możesz dowiedzieć się, czy 9 jest czynnikiem dodając do siebie cyfry numeru docelowego . Jeśli sumują się do wielokrotności 9, wówczas liczba docelowa rzeczywiście ma 9 jako współczynnik.
Na przykład:
42 → 4 + 2 = 6. 6 NIE jest podzielne przez 9, więc 9 NIE jest współczynnikiem 42.
72 → 7 + 2 = 9. 9 JEST podzielne przez 9 (oczywiście!), więc 9 to współczynnik 72.
10) Jeśli cel liczba kończy się na 0 , to zawsze będzie miał współczynnik 10. Jeśli nie, 10 nie będzie miało znaczenia.
jedenaście) Jeśli liczbą docelową jest a liczba dwucyfrowa, w której obie cyfry się powtarzają (22, 33, 66, 77…), wówczas współczynnik będzie wynosił 11. Jeśli jest to liczba trzycyfrowa lub wyższa, musisz po prostu samodzielnie sprawdzić, czy jest ona podzielna przez 11.
12+) W tym momencie prawdopodobnie znalazłeś już większe liczby, takie jak 12, 13 i 14, znajdując mniejsze czynniki i tworząc pary czynników. Jeśli nie, będziesz musiał przetestować je ręcznie, dzieląc je na liczbę docelową.
Nauczenie się technik szybkiego faktoringu pozwoli, aby wszystkie te irytujące elementy trafiły na swoje miejsce.
Wskazówki dotyczące zapamiętywania 45 czynników
Jeśli Twoim celem jest zapamiętanie wszystkich czynników 45, zawsze możesz użyć powyższych technik do znalezienia par czynników.
Pierwiastek kwadratowy z 45 mieści się gdzieś pomiędzy 6 a 7 (6^2 = 36 i 7^2 = 49). Zaokrąglij w dół do 6, co będzie największą małą liczbą, którą musisz przetestować.
Wiesz, że pierwszą parą będą automatycznie liczby 1 i 45. Wiesz również, że 2, 4 i 6 nie będą czynnikami, ponieważ 45 jest liczbą nieparzystą.
4 + 5 = 9, więc 3 będzie czynnikiem (podobnie jak 15, ponieważ 45/3 = 15).
I w końcu 45 kończy się na 5, więc 5 będzie czynnikiem (podobnie jak 9, ponieważ 45/5 = 9).
To pokazuje możesz zawsze domyślić się bardzo szybko oblicz współczynniki 45, nawet jeśli nie zapamiętałeś dokładnych liczb z listy.
Lub, jeśli wolisz zapamiętać wszystkie 45 czynników, możesz to zapamiętać: do współczynnika 45 potrzebne są tylko trzy najmniejsze liczby nieparzyste (1, 3, 5) . Teraz po prostu połącz je w pary z odpowiadającymi im wielokrotnościami, aby otrzymać 45 (45, 15, 9).
Wniosek: Dlaczego faktoring ma znaczenie
Faktoring stanowi podstawę wyższych form myślenia matematycznego, zatem nauka rozkładania na czynniki przyda się zarówno w obecnych, jak i przyszłych przedsięwzięciach matematycznych.
Niezależnie od tego, czy uczysz się po raz pierwszy, czy po prostu poświęcasz czas na odświeżenie wiedzy na temat czynników, podjęcie kroków w celu zrozumienia tych procesów (i znajomość trików pozwalających najskuteczniej uzyskać czynniki!) pomoże Ci dotrzeć tam, gdzie chcesz. bądź w swoim matematycznym życiu.
Miłego Faktoringu!