Warunki wstępne: FRAGMENT Biorąc pod uwagę n odcinków, każdy z nich jest poziomy lub pionowy, znajdź maksymalną liczbę trójkątów (w tym trójkątów o zerowym polu powierzchni), które można utworzyć łącząc punkty przecięcia odcinków linii. Żadne dwa poziome odcinki linii nie nakładają się na siebie, ani dwa pionowe odcinki linii. Linię reprezentuje się za pomocą dwóch punktów (cztery liczby całkowite, pierwsze dwie to odpowiednio współrzędne x i y pierwszego punktu, a pozostałe dwie to współrzędne x i y drugiego punktu) Przykłady:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Pomysł opiera się na Algorytm linii zamiatania . Budowanie rozwiązania w krokach:
- Zapisz oba punkty wszystkich odcinków linii z odpowiednim zdarzeniem (opisanym poniżej) w wektorze i posortuj wszystkie punkty w niemalejącym porządku ich współrzędnych x.
- Wyobraźmy sobie teraz pionową linię przebiegającą przez wszystkie te punkty i opisujemy 3 zdarzenia w oparciu o punkt, w którym się obecnie znajdujemy:
- A linia pionowa
- Dzwonimy do regionu 'aktywny' lub poziome linie 'aktywny' które miały pierwsze wydarzenie, ale nie drugie. Będziemy mieli BIT (drzewo indeksowane binarnie) do przechowywania współrzędnych „y” wszystkich aktywnych linii.
- Gdy linia stanie się nieaktywna, usuwamy jej „y” z BIT-u.
- Kiedy zachodzi zdarzenie trzeciego typu, czyli gdy znajdujemy się na linii pionowej, odpytujemy drzewo w zakresie jego współrzędnych „y” i wynik dodajemy do dotychczasowej liczby punktów przecięcia.
- Na koniec będziemy mieli liczbę punktów przecięcia M wtedy będzie liczba trójkątów (łącznie z polem zerowym). MC3 .
W - skrajny lewy punkt poziomego odcinka liniina zewnątrz - najbardziej na prawo wysunięty punkt poziomego odcinka liniiNotatka: Musimy dokładnie posortować punkty, patrząc na cmp() funkcji we wdrażaniu w celu wyjaśnienia.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Wyjście:
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Przestrzeń pomocnicza: O(maxy) gdzie maxy = 1000005