W tym artykule zajmiemy się analizą transformacji Fouriera lub transformacją Fouriera w analizie obwodów. Transformata Fouriera jest w zasadzie operacją matematyczną, która rozkłada sygnał na składowe częstotliwości. Krótko mówiąc, konwertuje sygnał z dziedziny czasu na dziedzinę częstotliwości. Dziedzina czasu będzie reprezentować sygnał jako funkcję czasu, natomiast dziedzina częstotliwości reprezentuje sygnał jako funkcję częstotliwości.

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera jest niesamowitym, potężnym narzędziem do analizy zachowania różnego rodzaju obwodów, ponieważ pozwala nam zobaczyć, jak obwód reaguje przy różnych częstotliwościach. Jest to przydatne do różnego rodzaju zadań, takich jak:

• Analizowanie odpowiedzi obwodu na dowolne sygnały wejściowe: Można to z łatwością wykorzystać do zaprojektowania obwodów, które będą w stanie obsłużyć szeroki zakres sygnałów wejściowych, takich jak sygnały audio lub sygnały wideo.
• Identyfikacja częstotliwości rezonansowych obwodu: Częstotliwości rezonansowe to częstotliwości, przy których obwód wzmacnia sygnały. Informacje te można wykorzystać do zaprojektowania obwodów, które powinny działać na określonych częstotliwościach, na przykład jako filtry lub oscylatory.
• Projektowanie filtrów usuwających z sygnału niepożądane składowe częstotliwościowe: Filtry można najczęściej stosować do usuwania szumu lub zakłóceń z sygnału lub do wyodrębniania określonych składowych częstotliwości z określonego sygnału.
• Zrozumienie stabilności obwodu: Stabilny obwód to taki, który po prostu nie będzie oscylować ani się rozchodzić. Transformatę Fouriera można wykorzystać do analizy stabilności obwodu, po prostu patrząc na charakterystykę częstotliwościową obwodu.

Transformata Fouriera jest również wykorzystywana w wielu innych dziedzinach, w tym w przetwarzaniu sygnałów, przetwarzaniu obrazu i mechanice kwantowej.

W tym artykule omówimy następujące tematy związane z transformatą Fouriera w analizie obwodów:

• Rodzaje transformat Fouriera
• Własności transformaty Fouriera
• Zastosowania transformaty Fouriera w analizie obwodów

Omówimy także przykłady i ilustracje, które pomogą we właściwym zrozumieniu pojęć.

Zrozumienie przyczyny ewolucji

Transformatę Fouriera po raz pierwszy opracował znany francuski matematyk Jean-Baptiste Joseph Fourier na początku XIX wieku. Był głęboko zainteresowany rozwiązaniem równania przewodzenia ciepła, które jest równaniem różniczkowym cząstkowym. Fourier zdał sobie sprawę, że mógłby rozwiązać to równanie, po prostu rozkładając początkowy rozkład temperatury na składowe fale sinus i cosinus.

Od tego czasu transformatę Fouriera zastosowano w szerokim zakresie problemów fizyki i inżynierii, w tym analizy obwodów. W analizie obwodów transformatę Fouriera można zastosować do analizy odpowiedzi obwodu na dowolne sygnały wejściowe.

Skutki transformacji Fouriera

Transformata Fouriera ma wiele ważnych skutków w analizie obwodów. Po pierwsze, pozwala nam przeanalizować reakcję obwodu na dowolne sygnały wejściowe. Po drugie, pozwala nam zidentyfikować częstotliwości rezonansowe obwodu. Po trzecie, pozwala nam zaprojektować filtry służące do usuwania niepożądanych składowych częstotliwości z sygnału.

Wzór na transformatę Fouriera

Transformata Fouriera sygnału x(t) jest oznaczona przez X(f) i zdefiniowana w następujący sposób:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

Tutaj f jest częstotliwością w parametrze Hertz.

Notacja używana we wzorze transformacji Fouriera to:

• x(t) jest sygnałem w dziedzinie czasu.
• X(f) jest sygnałem w dziedzinie częstotliwości.
• j jest jednostką urojoną.
• e −j2πft jest złożoną funkcją wykładniczą.

Rodzaje transformaty Fouriera

Istnieją głównie dwa typy transformat Fouriera:

• Ciągła transformata Fouriera (CFT)
• Dyskretna transformata Fouriera (DFT) .

Ciągła transformata Fouriera (CFT)

CFT definiuje się dla sygnałów o czasie ciągłym, które w zasadzie są sygnałami, które mogą przyjmować dowolną wartość w dowolnym momencie.

Ciągłą transformatę Fouriera (CFT) sygnału x(t) można zdefiniować w następujący sposób:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

gdzie f jest częstotliwością w hercach.

Notacja używana we wzorze CFT to:

• x(t) jest sygnałem w dziedzinie czasu.
• X(f) jest sygnałem w dziedzinie częstotliwości.
• j jest jednostką urojoną.
• e −j2πft jest złożoną funkcją wykładniczą.

Wyprowadzenie CFT

CFT można łatwo wyprowadzić z szeregu Fouriera sygnału okresowego. Szereg Fouriera sygnału okresowego x(t) o okresie T jest określony wzorem:

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

Tutaj Cn są współczynnikami Fouriera sygnału.

CFT można uzyskać po prostu przyjmując granicę szeregu Fouriera, gdy okres T zbliża się do nieskończoności. W tej granicy współczynniki Fouriera stają się ciągłymi funkcjami częstotliwości, a szereg Fouriera staje się CFT.

Dyskretna transformata Fouriera (DFT)

DFT definiuje się dla sygnałów dyskretnych, które są sygnałami, które mogą przyjmować tylko określone wartości w określonych momentach.

Dyskretną transformatę Fouriera (DFT) sygnału dyskretnego x[n] można zdefiniować w następujący sposób:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Tutaj k jest indeksem częstotliwości, a N jest długością konkretnego sygnału.

Notacja używana we wzorze DFT to:

co to znaczy xdxd

• x[n] jest sygnałem dyskretnym.
• X[k] jest sygnałem w dziedzinie częstotliwości.
• j jest jednostką urojoną.
• e −j2πkn/N
• jest złożoną funkcją wykładniczą.

Wyprowadzenie DFT

W prostych słowach CFT jest w zasadzie zdefiniowane dla sygnały o czasie ciągłym , podczas gdy DFT jest zdefiniowany dla sygnały dyskretne . DFT jest najczęściej używanym rodzajem transformaty Fouriera w analizie obwodów, podobnie jak większość obwodów elektronicznych działających na sygnałach w czasie dyskretnym.

DFT sygnału dyskretnego x[n] jest oznaczane przez X[k] i definiowane w następujący sposób:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Tutaj k jest indeksem częstotliwości, a N jest długością sygnału.

DFT można wyprowadzić z CFT, po prostu próbkując CFT przy dyskretnych częstotliwościach:

X[k] = X(f = k/N)>

Przykłady transformaty Fouriera ze schematem

Rozważmy następujący przykładowy obwód:

Prosty obwód RC

Tutaj wejściem do obwodu jest fala prostokątna, a na wyjściu jest przefiltrowana fala prostokątna. Gdzie transformata Fouriera wejściowej fali prostokątnej jest serią impulsów o częstotliwościach harmonicznych. Transformata Fouriera wyjściowej fali prostokątnej jest serią osłabionych impulsów o częstotliwościach harmonicznych.

Oto poniższy diagram przedstawiający transformaty Fouriera sygnałów wejściowych i wyjściowych:

Wyjście wejściowe transformacji Fouriera

Nieruchomości

Transformata Fouriera ma wiele ważnych właściwości, do których należą:

• Transformata Fouriera sygnału rzeczywistego jest sprzężona symetryczna.
• Transformata Fouriera kombinacji liniowej sygnałów jest liniową kombinacją transformat Fouriera poszczególnych sygnałów.
• Transformata Fouriera sygnału przesuniętego w czasie jest sygnałem przesuniętym w częstotliwości.
• Transformata Fouriera sygnału przesuniętego w częstotliwości jest sygnałem przesuniętym w czasie.

Charakterystyka

Transformata Fouriera sygnału ma następujące cechy:

• Wielkość transformaty Fouriera sygnału będzie reprezentować amplitudę składowych częstotliwości sygnału.
• Faza transformaty Fouriera sygnału będzie reprezentować fazę składowych częstotliwościowych sygnału.

Aplikacje

Transformata Fouriera ma ogromną liczbę zastosowań w analizie obwodów, które obejmują:

• Analiza zadanej odpowiedzi obwodu na dowolne sygnały wejściowe.
• Identyfikacja częstotliwości rezonansowych obwodu.
• Projektowanie filtrów usuwających z sygnału niepożądane składowe częstotliwościowe.

Zalety i wady

Niektóre zalety i wady transformacji Fouriera to:

historia wersji Androida

Zalety:

• Transformata Fouriera jest najpotężniejszym narzędziem do analizy odpowiedzi częstotliwościowej obwodów.
• Można go wykorzystać do projektowania filtrów usuwających niepożądane składowe częstotliwości z sygnału.

Niedogodności:

• Transformata Fouriera może być znacznie bardziej skomplikowana do zrozumienia i użycia.
• Obliczenie transformacji Fouriera może być droższe obliczeniowo.

Różnica między transformatą Laplace'a a transformatą Fouriera

Zasadniczo transformata Fouriera jest w większości podobna do transformaty Laplace'a, ale istnieje kilka kluczowych różnic. W tym sensie, że transformata Fouriera jest zdefiniowana dla sygnałów w czasie ciągłym, to znaczy, podczas gdy transformata Laplace'a jest zdefiniowana zarówno dla sygnałów w czasie ciągłym, jak i dyskretnym. Dodatkowo transformata Fouriera nie nadaje się do analizy sygnałów przejściowych, natomiast przydatna jest w niej transformata Laplace'a.

Do przodu i odwrotna transformata Fouriera

Przednia transformata Fouriera może konwertować sygnał z dziedziny czasu na dziedzinę częstotliwości. Odwrotna transformata Fouriera powinna konwertować sygnał z dziedziny częstotliwości na dziedzinę czasu.

Odwrotną transformatę Fouriera definiuje się w następujący sposób:

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

Transformacja sinusoidalna w przód i transformata kosinusowa Fouriera

Transformacja sinusoidalna w przód i transformata cosinusowa w przód to w zasadzie dwa warianty transformaty Fouriera. Transformację sinusoidalną w przód definiuje się w następujący sposób:

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

Transformację kosinusową w przód definiuje się w następujący sposób:

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

Transformacja sinusoidalna w przód i transformata cosinusowa w przód są bardzo przydatne do analizy sygnałów o odpowiednio parzystej i nieparzystej symetrii.

Wniosek

Ogólnie rzecz biorąc, transformata Fouriera jest najważniejszym narzędziem do analizy obwodu. Daje nam to pozwolenie na zrozumienie, w jaki sposób obwody reagują na różne częstotliwości, co jest bardziej istotne przy projektowaniu i analizowaniu obwodów elektronicznych. Transformata Fouriera ma różne zastosowania w analizie obwodów, w tym analizowaniu odpowiedzi obwodu na dowolne sygnały wejściowe, identyfikowaniu częstotliwości rezonansowych danego obwodu, projektowaniu filtrów usuwających niepożądane składowe częstotliwości z sygnału oraz zrozumieniu stabilności obwód.

Transformata Fouriera jest również stosowana w wielu innych dziedzinach, w tym w przetwarzaniu sygnałów, przetwarzaniu obrazu i mechanice kwantowej. Jest to bardzo wszechstronne i wydajne narzędzie o szerokim spektrum zastosowań.

Oto kilka dodatkowych, uważnych przemyśleń na temat znaczenia transformaty Fouriera w analizie obwodów:

pokaż użytkownikom mysql

• Transformata Fouriera pozwala nam po prostu analizować obwody liniowe i nieliniowe.
• Transformatę Fouriera można wykorzystać do analizy różnego rodzaju obwodów w dziedzinie czasu lub częstotliwości.
• Transformaty Fouriera można używać do analizy obwodów z wieloma wejściami i wyjściami.
• Transformatę Fouriera można wykorzystać do analizy obwodów z pętlami sprzężenia zwrotnego.

Transformata Fouriera jest potężnym narzędziem, które można wykorzystać do analizy szerokiego zakresu problemów z obwodami. Jest to niezbędne narzędzie dla każdego inżyniera obwodów.

Często Zadawane Pytania

1. Jaka jest różnica między transformatą Fouriera a transformatą Laplace'a?

Zastosowanie Laplace'a zarówno dla CFT, jak i DFT, ale nie dla transformaty Fouriera

2. Dlaczego transformata Fouriera jest ważna w analizie obwodów?

Transformata Fouriera jest ważniejsza w analizie obwodów tylko dlatego, że pozwala nam analizować charakterystykę częstotliwościową obwodów. Odpowiedź częstotliwościowa

3. Jakie są zastosowania transformaty Fouriera w analizie obwodów?

Transformaty Fouriera można używać do różnych zadań analizy obwodów, takich jak:

Analiza odpowiedzi obwodu na dowolne sygnały wejściowe.

Identyfikacja częstotliwości rezonansowych obwodu.

Projektowanie filtrów usuwających z sygnału niepożądane składowe częstotliwościowe.

Zrozumienie stabilności obwodu.