Reguły logarytmiczne lub reguły logarytmiczne mają kluczowe znaczenie dla uproszczenia skomplikowanych formuł zawierających funkcje logarytmiczne. Reguły dziennika ułatwiają obliczanie logarytmów i manipulowanie nimi w różnych zastosowaniach matematycznych i naukowych. Spośród wszystkich tych reguł dziennika trzy najczęstsze to reguła iloczynu, reguła ilorazu i reguła potęgi. Oprócz nich mamy wiele zasad logarytmu, które omówimy w dalszej części artykułu. W tym artykule szczegółowo omówiono wszystkie zasady dotyczące logarytmów, w tym pochodne i całki, wraz z przykładami reguł logarytmicznych. Zacznijmy więc poznawać wszystkie zasady, jakie mają logarytmy.

Spis treści

• Co to są reguły dziennika?
• Rodzaje logarytmu
• Lista reguł logarytmu
• Zasady dziennika naturalnego
• Zastosowania logarytmu
• Iloczyn Reguła logarytmów
• Reguła potęgi logarytmu
• Ilorazowa reguła logarytmów
• Rozwiązane przykłady reguł dziennika
• Ćwicz pytania dotyczące zasad dziennika

Co to są reguły dziennika?

Reguły logarytmiczne w matematyce to zasady i prawa używane do upraszczania i manipulacji wyrażeniami funkcji logarytmicznych. Zasady te tworzą relacje między postaciami wykładniczymi i logarytmicznymi oraz zapewniają systematyczną technikę obsługi skomplikowanych obliczeń logarytmicznych.

Kluczowe zasady są następujące: reguła produktu : co pozwala nam podzielić iloczyn logarytmu na sumę oddzielnych logarytmów; reguła ilorazowa : co pozwala nam podzielić iloraz logarytmu na różnicę logarytmów; reguła mocy: co pozwala nam wyodrębnić wykładniki z logarytmu; zasada zmiany podstawy lub zmiana reguły podstawowej : co pozwala nam zmienić podstawę logarytmu.

Prawa te mają kluczowe znaczenie w wielu zastosowaniach matematycznych i naukowych, czyniąc logarytmy cennym narzędziem do rozwiązywania równań, modelowania wzrostu wykładniczego i analizowania dużych ilości danych.

Rodzaje logarytmu

Zwykle mamy do czynienia z dwoma rodzajami logarytmów:

• Logarytm zwyczajny
• Naturalny logarytm

Notatka: Może istnieć logarytm, którego podstawą jest dowolna liczba rzeczywista, ale te dwa, tj. logarytm zwykły i logarytm naturalny, są najbardziej powszechne i standardowe.

Omówmy szczegółowo te typy.

Wspólny logarytm

Logarytm zwyczajny, często nazywany logarytmem o podstawie 10 lub po prostu logarytmem, to funkcja matematyczna reprezentująca wykładnik, do którego należy zwiększyć daną liczbę, aby osiągnąć daną liczbę. Oblicza potęgę dziesięciu potrzebną do uzyskania określonej liczby.

Na przykład zaloguj₁₀(100) równa się 2, ponieważ 10 podniesione do potęgi 2 równa się 100. Logarytm wspólny liczby 100 w tym przypadku wynosi 2, co pokazuje, że 10²= 100. Logarytmy zwyczajne są używane w wielu sektorach, w tym w nauce, inżynierii i finansach, aby uprościć reprezentacje ogromnych liczb i pomóc w obliczeniach wymagających potęg liczby 10.

Naturalny logarytm

Logarytm naturalny to funkcja matematyczna wyrażająca logarytm o podstawie „e” (liczba Eulera, w przybliżeniu 2,71828). Jest to odwrotność funkcji wykładniczej i reprezentuje ilość czasu potrzebną do zwiększenia lub zmniejszenia wielkości o stały współczynnik.

Na przykład ln (10) ≈ 2,30259 oznacza, że ​​e pomnożone przez 2,30259 równa się 10. Logarytm naturalny jest używany w wielu dziedzinach, w tym w matematyce, fizyce i finansach, do opisu zjawisk, które wykazują wykładniczy wzrost lub zanik, takich jak ekspansja populacji, rozpad radioaktywny i obliczenia odsetek składanych.

Co to są reguły logarytmu?

Operacje logarytmiczne można przeprowadzać według określonych zasad. Zasady te są znane jako:

• Zasada produktu
• Reguła ilorazu
• Zasada zerowa
• Zasada tożsamości
• Reguła potęgi lub reguła wykładnicza
• Zmiana zasady podstawowej
• Zasada wzajemności

Poza tymi wspólnymi zasadami możemy mieć również pewne nietypowe zasady, takie jak:

• Właściwość odwrotna logarytmu
• Pochodna logu
• Integracja dziennika

Produkt Reguła dziennika

Zgodnie z regułą iloczynu logarytm iloczynu jest sumą logarytmów jego elementów.

Formuła: dziennik_A(XY) = log_AX + log_AI

Przykład: dziennik₂(3 × 5) = log₂(3) + log₂(5)

Reguła ilorazu logarytmicznego

Reguła ilorazu stwierdza, że ​​logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów licznika i mianownika.

Formuła: dziennik_A(X/Y) = log_AX – log_AI

Przykład: dziennik₃(9/3) = log₃(9) – log₃(3)

Zerowa reguła logu

Zgodnie z zasadą zera logarytm 1 do dowolnej podstawy wynosi zawsze 0.

Formuła: dziennik_A(1) = 0

Przykład: dziennik₄(1) = 0

Reguła tożsamości dziennika

Zgodnie z regułą tożsamości logarytm podstawy samej w sobie wynosi zawsze 1.

Formuła: dziennik_A(a) = 1

Przykład: dziennik₇(7) = 1

Zasada wzajemności

Zgodnie z zasadą odwrotności logarytmów logarytm odwrotności liczby (1 podzielony przez tę liczbę) jest równy minusowi logarytmu liczby pierwotnej. W notacji matematycznej:

Formuła: dziennik_A(1/X) = – log_A(X)

Przykład: dziennik_A(1/2) = – log_A(2)

Reguła potęgi lub wykładnicza reguła logarytmiczna

Zgodnie z regułą potęgi logarytm liczby podniesionej do wykładnika jest równy wykładnikowi pomnożonemu przez logarytm podstawy.

Formuła: dziennik_A(X^N) = n × log_AX

Przykład: dziennik₅(9²) = 2 × log₅(9)

Zmiana podstawowej reguły dziennika

Reguła zmiany podstawy umożliwia obliczenie logarytmu liczby o innej podstawie przy użyciu logarytmu wspólnego (zwykle o podstawie 10 lub podstawie e). Zmiana zasady podstawowej jest również nazywana zmianą Zasada zmiany bazy.

Formuła: dziennik_A(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Przykład: dziennik₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3)

Właściwość odwrotna logarytmu

Właściwość odwrotna logarytmu stwierdza, że ​​obliczenie logarytmu wartości potęgowanej daje pierwotny wykładnik.

Formuła: dziennik_A(aⁿ) = rz

Przykład: log₄(4²) = 2

Pochodna logu

Pochodna logarytmu naturalnego funkcji jest odwrotnością funkcji pomnożoną przez pochodną funkcji.

Formuła: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Przykład: Jeśli y = ln(x²), wówczas dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integracja dziennika

Oprócz różniczkowania możemy również obliczyć całkę logarytmu. Całkę funkcji Log podaje się w następujący sposób:

Formuła: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Zasady dziennika naturalnego

Ponieważ oba kłody naturalne i pospolite różnią się jedynie podstawą, zatem zasady dotyczące kłód naturalnych są takie same, jak w przypadku kłód pospolitych, które zostały już omówione. Jedyna różnica polega na tym, że w regułach logu naturalnego zamiast logu (symbol logarytmu wspólnego o podstawie 10) używamy ln (symbol logarytmu naturalnego o podstawie e). Zasady te można przedstawić w następujący sposób:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• w m^N= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln mi = 1
• ln 1 = 0
• To jest^{w x}= x

Zastosowania logarytmu

Przyjrzyjmy się niektórym zastosowaniom log.

• Do obliczania kwasowości i zasadowości roztworów chemicznych wykorzystujemy logarytmy.
• Skala Richtera służy do obliczania intensywności trzęsień ziemi.
• Poziom hałasu mierzy się w decybelach (dB) w skali logarytmicznej.
• Logarytmy służą do analizy procesów wykładniczych, takich jak zanik stosunku aktywnych izotopów, rozwój bakterii, rozprzestrzenianie się epidemii w populacji i ochładzanie martwego ciała.
• Do obliczenia czasu spłaty kredytu służy logarytm.
• Logarytm jest używany w rachunku różniczkowym do różnicowania trudnych równań i obliczania pola pod krzywymi.

Iloczyn Reguła logarytmów

Zgodnie z regułą iloczynu logarytmów logarytm mnożenia dwóch wyrazów jest równy dodaniu logarytmów tych poszczególnych wyrazów. Innymi słowy, reguła ta jest wyrażona jako log_B(mn) = log_B(m) + log_B(N). Przejdźmy do wyprowadzenia tej reguły.

Proces wyprowadzania:

Zacznijmy od założenia log_B(m) = x i log_B(n) = y. Przekształcając oba do ich postaci wykładniczych, otrzymujemy:

dziennik_B(m) = x implikuje m = b^X… (1)

dziennik_B(n) = y implikuje n = b^I… (2)

Kiedy mnożymy równania (1) i (2) przez siebie,

mn = b^{X .}B^I

Korzystając z zasad mnożenia wykładników,

mn = b^{x + y}

Przeliczając z powrotem na postać logarytmiczną, otrzymujemy

dziennik_B(mn) = x + y

Zastępując z powrotem x i y,

dziennik_B(mn) = log_B(m) + log_B(N)

W ten sposób wyprowadziliśmy regułę iloczynu logarytmów. Regułę tę można wykorzystać na różne sposoby, np.:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Należy zauważyć, że reguła iloczynu dla logarytmów nie ma zastosowania do logarytmów (m + n), których nie można podzielić na osobne logarytmy. Zasada ta dotyczy ściśle logarytmu iloczynu, log(mn).

Reguła potęgi logarytmu

Reguła potęgi logarytmu stwierdza, że ​​gdy argument logarytmu zostanie podniesiony do potęgi, wykładnik ten można przesunąć na początek logarytmu. Innymi słowy, logb mn = n logb m. Zbadajmy wyprowadzenie tej reguły.

Proces wyprowadzania:

Zacznij od założenia log_Bm równa się x. Konwersja tego do postaci wykładniczej daje nam:

B^X= m

Następnie podnieś obie strony do potęgi n, otrzymując:

zawiera Pythona

(B^X)^N= m^N

Zastosowanie reguły potęgi wykładniczej daje:

B^nx= m^N

Wracając do postaci logarytmicznej, otrzymujemy:

dziennik_BM^N= nx

Zastępując x logem_Bm, dochodzimy do:

dziennik_BM^N= n log_BM

Na tym kończy się wyprowadzenie reguły potęgi logarytmu. Poniżej znajduje się kilka przykładów zastosowania tej zasady:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Ilorazowa reguła logarytmów

Zgodnie z zasadą ilorazu logarytmów logarytm dzielenia dwóch liczb jest odejmowaniem logarytmów każdej liczby.

W szczególności reguła stwierdza, że ​​log_B(m/n) = log_Bm – log_BN. Przejdźmy do wyprowadzenia tej reguły.

Proces wyprowadzania:

Załóżmy, że dziennik_Bm równa się x i log_Bn równa się y. Wyrazimy je w postaci wykładniczej.

dziennik_Bm = x implikuje m = b^X… (1)

dziennik_Bn = y implikuje n = b^I… (2)

Kiedy dzielimy równanie (1) przez równanie (2),

m/n = b^X/ B^I

Stosując regułę ilorazu dla wykładników,

m/n = b^x–y

Konwersja z powrotem do postaci logarytmicznej,

dziennik_B(m/n) = x – y

Zastępując z powrotem x i y,

dziennik_B(m/n) = log_Bm – log_BN

W ten sposób wyprowadziliśmy regułę ilorazu dla logarytmów. Regułę tę można zastosować w następujący sposób:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Należy zauważyć, że reguła ilorazu nie implikuje niczego dla log (m – n).

Powiązane tematy:

• Tabela antylogów
• Kalkulator dziennika
• Dziennik naturalny
• Tabela dziennika

Rozwiązane przykłady reguł dziennika

Przykład 1: Uprość dziennik ₂ (4 × 8).

Rozwiązanie:

Korzystając z reguły iloczynu, dzielimy iloczyn na sumę logarytmów:

dziennik₂(4 × 8) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Przykład 2: Uprość dziennik ₄ (16/2).

Rozwiązanie:

Korzystając z reguły ilorazu, dzielimy iloraz na różnicę logarytmów:

dziennik₄(16/2) = log₄(16) – log₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Przykład 3: Uprość dziennik ₅ (25 ³ ).

Rozwiązanie:

Korzystając z reguły potęgi, możemy sprowadzić wykładnik jako współczynnik:

dziennik₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Przykład 4: Konwertuj dziennik ₃ (7) w wyrażenie o podstawie 10.

Rozwiązanie:

Korzystając z reguły przełączania baz, dzielimy przez logarytm nowej podstawy:

dziennik₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Przykład 5: Oceń dziennik ₇ (49) stosując zasadę zmiany podstawy z podstawą 2.

Rozwiązanie:

Używając reguły zmiany podstawy z podstawą 2:

dziennik₇(49) = log₂(49) / log₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (w przybliżeniu).

Ćwicz pytania dotyczące zasad dziennika

Problem 1: Uprość wyrażenie: log₂(4) + log₂(8).

css do zawijania tekstu

Problem 2: Uprość: zaloguj₅(25) – log₅(5).

Problem 3: Uprość wyrażenie: log₃(9²).

Problem 4: Dziennik ekspresowy₄(25) w postaci logarytmów zwyczajnych.

Problem 5: Uprość, używając reguł dziennika: log₇(49) + 2 log₇(3).

Problem 6: Rozwiązanie dla x: log₂(x) = 3.

Problem 7: Rozwiązanie dla x: 2^{3x – 1}= 8.

Zasady dziennika – często zadawane pytania

Co to są reguły logarytmu?

Reguły logarytmiczne to zbiór zaleceń dotyczących manipulowania i upraszczania formuł za pomocą funkcji logarytmicznych. Oferują systematyczną metodę radzenia sobie ze skomplikowanymi obliczeniami i interakcjami między potęgami wykładniczymi i logarytmami.

Ile jest kluczowych reguł logarytmicznych?

Reguła iloczynu, reguła ilorazu, reguła potęgi, reguła przełączania podstawy i reguła zmiany podstawy są głównymi regułami logarytmicznym. Zasady te pozwalają na modyfikacje i obliczenia wyrażeń logarytmicznych.

Co to jest reguła iloczynu logarytmicznego?

Zgodnie z regułą iloczynu logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów poszczególnych czynników: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Jakie są dwa rodzaje logarytmów?

Dwa najczęściej używane typy logarytmów to:

• Logarytm wspólny lub logarytm o podstawie 10
• Logarytm naturalny lub logarytm o podstawie

Co to jest reguła dziennika zmiany bazy?

Zgodnie ze zmianą podstawowej reguły log, log_A(b)=[log_C(b)]/[log_C(a)], gdzie c jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą.

Co to jest Log 0?

Logarytm zera jest nieznany. Nigdy nie uzyskujemy liczby 0 poprzez podniesienie jakiejkolwiek wartości do potęgi jakiejkolwiek innej wartości.

Co to jest dziennik 1?

Ze względu na zasadę zera logarytm 1 do dowolnej podstawy wynosi zawsze 0, tj. log_A(1) = 0.

Co to jest logarytm dowolnej liczby wobec siebie jako podstawy?

Zgodnie z regułą tożsamości logarytm podstawy samej w sobie wynosi zawsze 1, tj. log_A(a) = 1.

Jaki jest związek między logarytmami a wykładnikami?

Logarytmy i wykładniki są operacjami odwrotnymi. Logarytm wskazuje wykładnik potrzebny do osiągnięcia określonej liczby, podczas gdy wykładniczy podnosi podstawę do wykładnika.

Jakie jest 7 zasad logarytmów?

7 zasad logarytmów obejmuje

• Zasada produktu
• Reguła ilorazu
• Zasada mocy
• Zmiana zasad podstawowych
• Zasada zerowa
• Zasada tożsamości
• Zasada negatywna

Reguły te służą do upraszczania wyrażeń logarytmicznych.

Co to jest reguła wykładnika logarytmicznego?

Reguła wykładnika logarytmicznego stwierdza, że ​​podstawa logarytmiczna b z a^Xjest równe x razy log podstawa b a, tj. log_BA^X= x log_BA.

Jaka jest kluczowa różnica między logiem zwykłym a logiem naturalnym?

Kluczowa różnica między logiem zwykłym a logiem naturalnym polega na tym, że logarytm zwyczajny wykorzystuje podstawę 10, podczas gdy logarytm naturalny wykorzystuje stałą matematyczną „e” jako podstawę.

Jaka jest reguła pochodnej dla dziennika?

Reguła pochodnej dla funkcji log to: d/dx[log_B(x)] = 1 / (x ln(b)), gdzie „b” jest podstawą logarytmu.

Co to jest zasada zmiany bazy?

Zgodnie z zasadą przełączania baz, podstawę dowolnego logarytmu można zamienić na dowolną inną żądaną podstawę za pomocą wzoru: loga(X) = logb(X) / logb(a).