Trójkąt Pascala jest wzorem liczbowym ułożonym w formie trójkąta. Trójkąt ten zapewnia współczynniki rozwinięcia dowolnego wyrażenia dwumianowego, którego liczby są zorganizowane w taki sposób, że tworzą trójkątny kształt. tj. drugi rząd trójkąta Pascala reprezentuje współczynniki w (x+y)²i tak dalej.

W trójkącie Pascala każda liczba jest sumą dwóch powyższych liczb. Trójkąt Pascala ma różne zastosowania w teorii prawdopodobieństwa, kombinatoryce, algebrze i różnych innych gałęziach matematyki.

Dowiedzmy się więcej o Trójkąt Pascala, jego budowę i różne wzory w Trójkącie Pascala szczegółowo opisano w tym artykule.

Spis treści

• Co to jest Trójkąt Pascala?
• Co to jest Trójkąt Pascala?
• Definicja trójkąta Pascala
• Konstrukcja trójkąta Pascala
• Wzór na trójkąt Pascala
• Rozwinięcie dwumianu trójkąta Pascala
• Jak korzystać z trójkąta Pascala?
• Wzory trójkątów Pascala
• Dodawanie wierszy
• Liczby pierwsze w trójkącie Pascala
• Przekątne w Trójkącie Pascala
• Ciąg Fibonacciego w Trójkącie Pascala
• Właściwości trójkąta Pascala
• Przykłady trójkątów Pascala

Co to jest Trójkąt Pascala?

Jej nazwa pochodzi od słynnego filozofa i matematyka Balise’a „Pascala”, który opracował wzór liczb zaczynających się od 1, a liczby poniżej stanowią sumę powyższych liczb. Najpierw zapisz liczbę 1, aby rozpocząć tworzenie trójkąta Pascala. Drugi rząd jest ponownie zapisywany przez dwie jedynki. Pozostałe wiersze są generowane na podstawie poprzednich wierszy, tworząc trójkąt liczb. Każdy rząd zaczyna się i kończy cyfrą 1.

Podstawową strukturę trójkąta Pascala pokazano na obrazku dodanym poniżej,

Co to jest Trójkąt Pascala?

Definiujemy trójkąt Pascala jako podstawowy zbiór liczb ułożonych w trójkątną tablicę w taki sposób, że każdy element trójkąta Pascala jest sumą dwóch liczb znajdujących się nad nim. Trójkąt Pascala zaczyna się od 1 i został po raz pierwszy zaproponowany przez słynnego francuskiego matematyka Balise Pascala i stąd nazwany Trójkątem Pascala.

Trójkąt ten przedstawia współczynniki rozwinięcia dwumianu dla różnych potęg. (musimy się upewnić, że potęga w rozwinięciu dwumianowym jest tylko liczbą naturalną, wtedy tylko trójkąt Pascala reprezentuje współczynniki w rozwinięciu dwumianowym).

Definicja trójkąta Pascala

Trójkąt Pascala to trójkątna tablica liczb, w której każda liczba jest sumą dwóch bezpośrednio nad nią.

Konstrukcja trójkąta Pascala

Możemy łatwo skonstruować trójkąt Pad=scal, po prostu dodając dwie liczby z powyższego wiersza, aby otrzymać następną liczbę w wierszu poniżej. Możemy założyć, że zerowy rząd zaczyna się od pojedynczego elementu 1, a następnie element w drugim rzędzie to 1 1, który powstaje przez dodanie 1+0 i 1+0. Podobnie elementy drugiego rzędu to 1 2 1 2, które powstają poprzez dodanie 1+0, 1+1 i 1+0 i w ten sposób otrzymujemy elementy trzeciego rzędu. Rozwijając tę ​​koncepcję do n-tego rzędu, otrzymujemy Trójkąt Pascala z n+1 wierszami.

Trójkąt Pascala do trzeciego rzędu pokazano na obrazku poniżej,

Z powyższego rysunku łatwo zauważamy, że pierwszym i ostatnim elementem w każdym wierszu jest 1.

Wzór na trójkąt Pascala

Wzór na trójkąt Pascala to wzór, który służy do znalezienia liczby, którą należy wypełnić w m-tej kolumnie i n-tym wierszu. Jak wiemy, wyrazy w trójkącie Pascala są sumą wyrazów z powyższego wiersza. Potrzebujemy więc elementów w (n-1)-tym wierszu oraz (m-1)-tej i n-tej kolumnie, aby uzyskać wymaganą liczbę w m-tej kolumnie i n-tym rzędzie.

Przeczytaj szczegółowo: Wzór na trójkąt Pascala

Dane są elementy n-tego rzędu trójkąta Pascala,^NC₀,^NC₁,^NC₂, …,^NC_N.

Wzór na znalezienie dowolnej liczby w trójkącie Pascala jest następujący:

^N cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _M

Gdzie,

• ^N C _M reprezentuje (m+1)-ty element w n-tym rzędzie., i
• N jest nieujemną liczbą całkowitą [0 ≤ m ≤ n]

Możemy zrozumieć tę formułę na przykładzie omówionym poniżej,

Przykład: Znajdź trzeci element w trzecim rzędzie trójkąta Pascala.

Rozwiązanie:

Musimy znaleźć trzeci element trzeciego rzędu trójkąta Pascala.

Wzór na trójkąt Pascala to:

^NC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

Gdzie^NC_kreprezentuje (k+1)^telement w rz^twiersz.

Zatem trzeci element w trzecim rzędzie to:

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Zatem trzeci element trzeciego rzędu trójkąta Pascala to 3.

Rozwinięcie dwumianu trójkąta Pascala

Bez problemu znajdziemy współczynnik rozwinięcie dwumianowe korzystając z Trójkąta Pascala. Elementy w (n+1)-tym rzędzie trójkąta Pascala reprezentują współczynnik rozwiniętego wyrażenia wielomianu (x + y)^N.

Wiemy, że rozwinięcie (x + y)^NJest,

(x + y)^N= za₀X^N+ za₁X^n-1i + a₂X^n-2I²+ … + za_n-1xy^n-1+ za_NI^N

Tutaj₀, A₁, A₂, A₃, …., A_Nsą wyrazami w (n+1)-tym rzędzie Trójkąta Pascala

Zobacz na przykład rozwinięcie (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀X⁴+⁴C₁X³i +⁴C₂X²I²+⁴C₃xy³+⁴C₄X⁰I⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²I²+ (4)xy³+ (1) r⁴

Tutaj współczynniki 1, 4, 6, 4 i 1 są elementami czwartego rzędu Trójkąta Pascala

Jak korzystać z trójkąta Pascala?

Używamy trójkąta Pascala, aby znaleźć różne przypadki możliwych wyników w warunkach prawdopodobieństwa. Można to zrozumieć na następującym przykładzie: rzucając monetą, otrzymujemy dwa wyniki, tj. H i T, co jest reprezentowane przez element w pierwszym rzędzie Trójkąta Pascala.

Podobnie rzucając monetą dwa razy otrzymamy trzy wyniki tj. {H, H}, {H, T}, {T, H} i {T, T}. Warunek ten jest reprezentowany przez element w drugim rzędzie Trójkąta Pascala.

Zatem możemy łatwo określić możliwą liczbę wyników eksperymentu z rzucaniem monetą, po prostu obserwując odpowiednie elementy Trójkąta Pascala.

Poniższa tabela opisuje przypadki, w których rzucono monetą raz, dwa razy, trzy i cztery razy oraz ich zgodność z Trójkątem Pascala

jak zamienić ciąg znaków na int

Wzory trójkątów Pascala

W trójkącie Pascala obserwujemy różne wzory:

.następna Java

• Dodawanie wierszy
• Liczby pierwsze w trójkącie
• Przekątne w Trójkącie Pascala
• Wzór Fibonacciego

Dodawanie wierszy

Po uważnej obserwacji Trójkąta Pascala możemy stwierdzić, że suma dowolnego wiersza w trójkącie Pascala jest równa potęgi 2. Wzór na to samo to: Dla dowolnego (n+1)^tw trójkącie Pascala suma wszystkich elementów wynosi 2^N

Stosując tę ​​formułę w pierwszych 4 rzędach trójkąta Pascala otrzymujemy,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Liczby pierwsze w trójkącie Pascala

Innym bardzo interesującym wzorem w trójkącie Pascala jest to, że jeśli wiersz zaczyna się od liczby pierwszej (pomijając 1 na początku każdego wiersza), to wszystkie elementy w tym wierszu są podzielne przez tę liczbę pierwszą. Ten wzór nie dotyczy liczb złożonych.

Na przykład ósmy wiersz trójkąta Pascala to:

1 7 21 35 35 21 7 1

Tutaj wszystkie elementy są podzielne przez 7.

W przypadku wierszy zaczynających się od liczb złożonych, np. piątego wiersza,

1 4 6 4 1

Wzór nie jest prawdziwy, ponieważ 4 nie dzieli 6.

Przekątne w Trójkącie Pascala

Każda prawa przekątna Trójkąta Pascala, rozpatrywana jako ciąg, reprezentuje różne liczby, np. pierwsza przekątna po prawej stronie reprezentuje ciąg liczb 1, druga przekątna po prawej stronie reprezentuje liczby trójkątne, trzecia przekątna po prawej stronie reprezentuje liczby czworościenne, czwarta przekątna po prawej stronie reprezentuje liczby Penelopy i tak dalej.

Ciąg Fibonacciego w Trójkącie Pascala

Możemy łatwo uzyskać ciąg Fibonacciego, po prostu dodając liczby na przekątnych trójkąta Pascala. Wzór ten pokazano na obrazku dodanym poniżej,

Właściwości trójkąta Pascala

Różne właściwości trójkąta Pascala to:

• Każda liczba w trójkącie Pascala jest sumą liczby znajdującej się nad nią.
• Liczba początkowa i końcowa w trójkącie Pascala to zawsze 1.
• Pierwsza przekątna w Trójkącie Pascala reprezentuje liczbę naturalną lub liczby liczące.
• Sumę elementów w każdym rzędzie trójkąta Pascala podaje się za pomocą potęgi 2.
• Elementy w każdym rzędzie to cyfry potęgi 11.
• Trójkąt Pascala jest trójkątem symetrycznym.
• Elementy w dowolnym rzędzie trójkąta Pascala mogą być użyte do przedstawienia współczynników rozwinięcia dwumianowego.
• Wzdłuż przekątnej Trójkąta Pascala obserwujemy liczby Fibonacciego.

Artykuły związane z Trójkątem Pascala:

• Dwumian newtona
• Dwumianowe zmienne losowe i rozkład dwumianowy

Przykłady trójkątów Pascala

Przykład 1: Znajdź piąty rząd trójkąta Pascala.

Rozwiązanie:

Trójkąt Pascala z 5 rzędami pokazano na poniższym obrazku,

Przykład 2: Rozwiń za pomocą trójkąta Pascala (a + b) ² .

Rozwiązanie:

Najpierw zapisz wyrażenia rodzajowe bez współczynników.

(a + b)²= ok₀A²B⁰+ c₁A¹B¹+ c₂A⁰B²

Zbudujmy teraz trójkąt Pascala dla 3 wierszy, aby znaleźć współczynniki.

Wartości ostatniego wiersza dają nam wartość współczynników.

C₀= 1, ok₁= 2, ok₂=1

(a + b)²= za²B⁰+ 2a¹B¹+ za⁰B²

W ten sposób zweryfikowane.

Przykład 3: Rozwiń za pomocą trójkąta Pascala (a + b) ⁶ .

Rozwiązanie:

Najpierw zapisz wyrażenia rodzajowe bez współczynników.

(a + b)⁶= ok₀A⁶B⁰+ c₁A⁵B¹+ c₂A⁴B²+ c₃A³B³+ c₄A²B⁴+ c₅A¹B⁵+ c₆A⁰B⁶

Teraz zbudujmy trójkąt Pascala dla 7 wierszy, aby znaleźć współczynniki.

Wartości ostatniego wiersza dają nam wartość współczynników.

C₀= 1, ok₁= 6, ok₂= 15, ok₃= 20, ok₄=15, ok₅= 6 i c₆= 1.

(a + b)⁶= 1a⁶B⁰+ 6a⁵B¹+ 15a⁴B²+ 20a³B³+ 15a²B⁴+ 6a¹B⁵+ 1a⁰B⁶

Przykład 4: Znajdź drugi element w trzecim rzędzie trójkąta Pascala.

Rozwiązanie:

Musimy znaleźć drugi element trzeciego rzędu trójkąta Pascala.

Wiemy, że n-ty rząd trójkąta Pascala to:^NC₀,^NC₁,^NC₂,^NC_3…

Wzór na trójkąt Pascala to:

^NC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

Gdzie^NC_kreprezentuje (k+1)^telement w rz^twiersz.

Zatem drugim elementem w trzecim rzędzie jest:

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Zatem drugim elementem trzeciego rzędu trójkąta Pascala jest liczba 3.

Przykład 5: Rzucono cztery razy monetą. Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 2 reszek.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na trójkąt Pascala,

Całkowita liczba wyników = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Otrzymujemy tutaj cztery przypadki, w których otrzymujemy 2 reszki,

Zatem,

Prawdopodobieństwo otrzymania dwóch resztek = wynik korzystny/wynik całkowity

= 4/16 = 1/4

Zatem prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch reszek wynosi 1/4 lub 25%

Podsumowanie – Trójkąt Pascala

Trójkąt Pascala to trójkątny układ liczb, w którym każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią. Nazwany na cześć matematyka Blaise'a Pascala, trójkąt ten zaczyna się od pojedynczej jedynki na górze, a każdy wiersz zaczyna się i kończy na jedynce. Liczby w Trójkącie Pascala odpowiadają współczynnikom rozwinięcia dwumianowego, dzięki czemu jest on przydatny w algebrze, prawdopodobieństwie i kombinatoryka. Wzory w trójkącie obejmują sumy wierszy będących potęgami liczby 2, połączenia z ciągiem Fibonacciego i obecność liczb pierwszych. Trójkąt Pascala jest również pomocny w obliczaniu kombinacji i zrozumieniu wyników w eksperymentach prawdopodobieństwa, takich jak rzuty monetą.

Często zadawane pytania dotyczące Trójkąta Pascala

Co to jest Trójkąt Pascala?

Tablica trójkątów liczb zaproponowana przez słynnego matematyka Balise Pascala nazywa się Trójkątem Pascala. Trójkąt ten zaczyna się od 1, a w następnym wierszu liczby początkowe i końcowe są ustalane na 1, a następnie środkowa liczba jest generowana poprzez sumę dwóch powyższych liczb.

Jakie są zastosowania trójkąta Pascala?

Trójkąty Pascala mają różne zastosowania,

• Służy do znalezienia współczynnika dwumianu rozwinięcia dwumianu.
• Zapewnia alternatywny sposób rozwijania wyrażeń dwumianowych.
• Jest stosowany w algebrze, teorii prawdopodobieństwa, permutacji i kombinacji oraz w innych gałęziach matematyki.

Jakie jest zastosowanie trójkąta Pascala w rozwinięciu dwumianowym?

Używamy trójkąta Pascala, aby łatwo znaleźć współczynnik dowolnego wyrazu w rozwinięciu dwumianowym. Dowolny wiersz Trójkąta Pascala (powiedzmy n-ty) reprezentuje współczynnik rozwinięcia dwumianu (x+y)^N. Na przykład drugi rząd Trójkąta Pascala to 1 2 1 i rozwinięcie (x+y)²

(x+y)²= x²+ 2xy + y²

konwersja int na string w Javie

Tutaj współczynnik każdego wyrazu wynosi 1 2 1, co przypomina drugi rząd Trójkąta Pascala.

Jakie różne wzory można znaleźć w trójkącie Pascala?

Różne wzory, które łatwo znaleźć w trójkącie Pascala to:

• Trójkątny wzór
• Nieparzysty i równy wzór
• Wzór Fibonacciego
• Symetryczny wzór

Co to jest 5^tRząd trójkąta Pascala?

Poniżej przedstawiono piąty rząd trójkąta Pascala:

1 5 10 10 5 1

Wiemy, że sumę wszystkich elementów w dowolnym wierszu podaje się za pomocą liczby 2^Ngdzie n oznacza liczbę wierszy. Zatem suma wszystkich wyrazów w piątym wierszu wynosi:

2⁵= 32

Jaki jest pierwszy element każdego rzędu trójkąta Pascala?

Pierwszym elementem każdego wiersza trójkąta Pascala jest liczba 1. Wyraz ten nazywamy zerowym wyrazem wiersza.