Reguła ilorazu to metoda znajdowania pochodnej funkcji będącej ilorazem dwóch innych funkcji. Jest to metoda stosowana do różnicowania problemów, w których jedna funkcja jest podzielona przez drugą. Reguły ilorazu używamy, gdy musimy znaleźć pochodną funkcji w postaci: f(x)/g(x).

Poznajmy regułę ilorazu w rachunku różniczkowym, jej wzór i wyprowadzenie, za pomocą rozwiązanych przykładów.

Definicja reguły ilorazu

Reguła ilorazu jest regułą różnicowanie funkcji podanych w postaci ułamki , gdzie oba licznik ułamka I mianownik są funkcjami indywidualnymi. Reguła ilorazu jest podstawową techniką w rachunek różniczkowy do znajdowania pochodnej funkcji będącej ilorazem (stosunkiem) dwójki funkcje różniczkowalne . Zapewnia metodę różnicowania wyrażeń, w których jedna funkcja jest podzielona przez drugą.

Załóżmy, że mamy funkcję f(x) = g(x)/h(x), a następnie różniczkowanie f(x), f'(x) znajduje się jako,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Wzór reguły ilorazu

Wzór na regułę ilorazu to wzór używany do znalezienia zróżnicowania funkcji wyrażonej jako funkcja ilorazu. Poniżej znajduje się wzór reguły ilorazu,

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Gdzie,

• ty(x) jest pierwszą funkcją różniczkowalną,
• ty (x) jest pochodną funkcji u(x),
• v(x) jest drugą funkcją, która jest funkcją różniczkowalną, oraz
• v'(x) jest pochodną funkcji v(x).

Dowód reguły ilorazu

Regułę ilorazu możemy wyprowadzić następującymi metodami:

• Korzystanie z reguły łańcuchowej
• Korzystanie z niejawnego różnicowania
• Korzystanie z właściwości pochodnych i limitów

Teraz poznamy je szczegółowo.

Wyprowadzenie reguły ilorazu za pomocą reguły łańcucha

Udowodnić: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Dany: H(x) = f(x)/g(x)

Dowód:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Korzystanie z reguły produktu,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Stosując regułę potęgową,

lista tablic Java

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H’(x) = – [f(x).g’(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (X)

W ten sposób udowodniono regułę ilorazu.

Czytaj więcej:

• Zasada łańcuchowa

Wyprowadzenie reguły ilorazu za pomocą ukrytego różniczkowania

Weźmy funkcję różniczkowalną f(x), taką, że f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

korzystając z reguły produktu,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Teraz rozwiązuję f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Podstawiając wartość f(x) as, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (X)

W ten sposób udowodniono regułę ilorazu.

Czytaj więcej

• Ukryte różnicowanie

Wyprowadzenie reguły ilorazu za pomocą właściwości pochodnych i granicznych

Weźmy funkcję różniczkowalną f(x) taką, że f(x) = u(x)/v(x),

Wiemy to,

f'(x) = limit_{h → 0}[f(x+h) – f(x)] / godz

Podstawienie wartości f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = limit_{h → 0}[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / godz

f'(x) = limit_{h → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Dystrybucja limitu,

f'(x) = {ograniczenie_{h → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_{h → 0}1/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {ograniczenie_{h → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {ograniczenie_{h → 0}[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {limit_{h → 0}[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1 w²(X)}

⇒ f'(x) = v(x){limit_{h → 0}[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {limit_{h → 0}[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1 w²(X)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (X)

Która jest wymaganą regułą ilorazu.

Czytaj więcej

• Właściwości granic
• Zasady instrumentów pochodnych

Jak stosować regułę ilorazu w różniczkowaniu?

Aby zastosować regułę ilorazu, wykonujemy następujące kroki:

zestaw narzędzi wiosennych

Krok 1: Zapisz poszczególne funkcje jako u(x) i v(x).

Krok 2: Znajdź pochodną funkcji indywidualnej u(x) i v(x), czyli znajdź u'(x) i v'(x). Teraz zastosuj formułę reguły ilorazu,

f’(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u’(x) × v(x) – u(x) × v’(x)] / [v(x)] ²

Krok 3: Uprość powyższe równanie i otrzymasz różniczkowanie f(x).

Możemy zrozumieć tę koncepcję na przykładzie.

Przykład: Znajdź f'(x), jeśli f(x) = 2x ³ /(x+2)

Dany,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Porównując f(x) = u(x)/v(x), otrzymujemy

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Teraz różniczkowanie u(x) i v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Korzystając z reguły ilorazu,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)·6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​​​​)/(x + 1)²

Reguła iloczynu i ilorazu

Reguła iloczynu różniczkowania służy do znajdowania różniczkowania funkcji, gdy funkcja jest podana jako iloczyn dwóch funkcji.

Iloczynowa zasada różniczkowania stwierdza, że ​​jeśli P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Natomiast ilorazowa zasada różniczkowania służy do różniczkowania funkcji reprezentowanej jako podział dwóch funkcji, tj. f(x) = p(x)/q(x).

Następnie wyprowadzenie f(x) za pomocą reguła ilorazowa oblicza się jako,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (X)

Musisz przeczytać

• Reguła iloczynu w rachunku różniczkowym
• Zasada łańcuchowa
• Wzór różniczkujący i całkujący
• Różniczkowanie logarytmiczne
• Podstawy rachunku różniczkowego
• Zastosowanie instrumentów pochodnych

Przykłady reguł ilorazu

Rozwiążmy kilka przykładowych pytań dotyczących reguły ilorazu.

Przykład 1: Różnicowanie old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Rozwiązanie:

Zarówno funkcje licznika, jak i mianownika są różniczkowalne.

Stosowanie zasady ilorazu,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Przykład 2: Różniczkowanie, f(x) = tan x.

Rozwiązanie:

tan x zapisuje się jako sinx/cosx, tj.

tan x = (sin x) / (cos x)

Zarówno funkcje licznika, jak i mianownika są różniczkowalne.

abc z liczbami

Stosowanie zasady ilorazu,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Przykład 3: Różniczkowanie, f(x)= e ^X /X ²

Rozwiązanie:

Zarówno funkcje licznika, jak i mianownika są różniczkowalne.

Stosowanie zasady ilorazu,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Przykład 4: Różnicowanie, y=frac{cosx}{x^2}

Rozwiązanie:

Zarówno funkcje licznika, jak i mianownika są różniczkowalne.

Stosowanie zasady ilorazu,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

javac nie jest rozpoznawany

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Przykład 5: Różniczkowanie, f(p) = p+5/p+7

Rozwiązanie:

Zarówno funkcje licznika, jak i mianownika są różniczkowalne.

Stosowanie zasady ilorazu,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Problemy praktyczne

Oto kilka praktycznych problemów związanych z regułą ilorazu, które możesz rozwiązać.

P1. Znajdź pochodną f(x) = (x ² + 3)/(bez x)

P2. Znajdź pochodną f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Znajdź pochodną f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Znajdź pochodną f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Zasada ilorazu pochodnej – często zadawane pytania

Co to jest zasada ilorazowa różniczkowania?

Ilorazowa zasada różniczkowania to reguła służąca do znalezienia różniczkowania funkcji podanej w postaci ilorazu, czyli funkcji podanej jako podział dwóch funkcji.

Co to jest wzór na regułę ilorazu?

Wzór reguły ilorazu to:

f’(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u’(x) × v(x) – u(x) × v’(x)] / [v(x)] ²

Wzór ten podaje zróżnicowanie funkcji reprezentowanej jako f(x)/g(x).

Jak wyprowadzić wzór na regułę ilorazu?

Regułę ilorazu można wyprowadzić trzema metodami:

• Według właściwości pochodnych i limitów
• Przez ukryte różnicowanie
• Według reguły łańcucha

Jak korzystać z reguły ilorazu?

Reguła ilorazowa służy do znalezienia zróżnicowania funkcji wyrażonej jako podział dwóch funkcji, który obejmuje wszystkie funkcje postaci f(x) i g(x) takie, że istnieje indywidualne zróżnicowanie f(x) i g(x) oraz g(x) nigdy nie może wynosić zero.

Jak znaleźć pochodną funkcji dzielenia?

Pochodną funkcji dzielenia można łatwo znaleźć korzystając ze wzoru na regułę ilorazu, tj. jeśli mamy znaleźć różniczkowanie H(x) takie, że H(x) wyraża się jako H(x) = f(x)/g(x) wówczas jego pochodną wyraża się jako,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Jaka jest granica reguły ilorazu?

Reguła ilorazu granic stwierdza, że ​​granica funkcji ilorazowych jest równa ilorazowi granicy każdej funkcji.