W tym artykule omówimy różnicę symetryczną między dwoma zbiorami. Tutaj omówimy również właściwości różnicy symetrycznej między dwoma zbiorami.
Mamy nadzieję, że ten artykuł będzie dla Ciebie pomocny w zrozumieniu symetrycznej różnicy między dwoma zestawami.
Co to jest różnica symetryczna?
Innym wariantem różnicy jest różnica symetryczna. Załóżmy, że istnieją dwa zbiory, A i B. Symetryczna różnica między obydwoma zbiorami A i B to zbiór zawierający elementy występujące w obu zbiorach, z wyjątkiem elementów wspólnych.
Symetryczna różnica między dwoma zbiorami nazywana jest również tzw związek rozłączny . Symetryczna różnica między dwoma zbiorami to zbiór elementów znajdujących się w obu zbiorach, ale nie na ich przecięciu. Symetryczną różnicę między dwoma zbiorami A i B reprezentuje wzór A D B Lub A ? B .
Możemy to zrozumieć na przykładach.
Przykład 1 Załóżmy, że istnieją dwa zbiory zawierające pewne elementy.
Zbiór A = {1, 2, 3, 4, 5}
Zbiór B = {3, 5}
Zatem symetryczna różnica między danymi zbiorami A i B wynosi {1, 2, 4}
Albo możemy tak powiedzieć ZA Δ B = {1, 2, 4} .
Przykład2 Załóżmy, że istnieją dwa zbiory zawierające pewne elementy.
Zbiór A = {a, b, c, k, m, n}
Zbiór B = {c, n}
Zatem symetryczna różnica między danymi zbiorami A i B wynosi {a, b, k, m}
Albo możemy tak powiedzieć ZA Δ B = {a, b, k, m} .
Na poniższym diagramie Venna widać symetryczną różnicę między dwoma zbiorami.
Część zacieniona kolorem skóry na powyższym diagramie Venna to symetryczna różnica między danymi zbiorami, tj. A D B .
Przyjrzyjmy się niektórym własnościom różnicy symetrycznej pomiędzy dwoma zbiorami.
Nieruchomości
Istnieje kilka właściwości różnicy symetrycznej, które są wymienione poniżej;
- Różnicę symetryczną można przedstawić jako sumę obu względnych uzupełnień, tj.
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Symetryczną różnicę między dwoma zbiorami można również wyrazić jako sumę dwóch zbiorów minus punkt przecięcia między nimi -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Różnica symetryczna jest przemienna i asocjacyjna -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Zbiór pusty jest neutralny (w matematyce o elemencie neutralnym mówi się, że jest to specjalny typ elementu, który w połączeniu z dowolnym elementem zbioru w celu wykonania operacji binarnej pozostawia element niezmieniony. Nazywa się to również zbiorem pustym Element tożsamości ).
A Δ ∅ = A
ZA Δ ZA = ∅ - Jeśli zbiór A jest równy zbiorowi B, wówczas symetryczna różnica między obydwoma zbiorami wynosi -
A Δ B = ∅ {kiedy A = B}
„Symetryczna różnica między dwoma zbiorami” v/s „Różnica między dwoma zbiorami”
Różnica między dwoma zestawami
Różnica między dwoma zbiorami A i B jest zbiorem wszystkich elementów, które należą do A, ale nie należą do B i jest oznaczona przez A - B .
Przykład: Niech A = {1, 2, 3, 4}
i B = {3, 4, 5, 6}
wtedy A - B = {3, 4} i B - A = {5, 6}
Symetryczna różnica między dwoma zbiorami
Symetryczna różnica między dwoma zbiorami A i B to zbiór zawierający wszystkie elementy znajdujące się w A lub B, ale nie w obu. Jest reprezentowany przez A D B Lub A ? B .
Przykład: Niech A = {1, 2, 3, 4}
i B = {3, 4, 5, 6}
wtedy ZA Δ B = {1, 2, 5, 6}
Zobaczmy teraz kilka przykładów, aby lepiej zrozumieć różnicę symetryczną między dwoma zbiorami.
Pytanie 1 - Załóżmy, że masz zbiory A = {10, 15, 17, 19, 20} i B = {15, 16, 18}. Znajdź różnicę między obydwoma zbiorami A i B, a także znajdź różnicę symetryczną między nimi.
Rozwiązanie - Dany,
wiersz kontra kolumna
ZA = {10, 15, 17, 19, 20}
i B = {15, 16, 18}
Różnica między obydwoma zbiorami wynosi -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Symetryczna różnica między obydwoma zbiorami wynosi -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Pytanie 2 - Załóżmy, że masz zbiory A = {2, 4, 6, 8} i B = {2, 5, 7, 8}. Znajdź różnicę symetryczną B Δ A. Narysuj także diagram Venna przedstawiający różnicę symetryczną pomiędzy obydwoma podanymi zbiorami.
Rozwiązanie - Biorąc pod uwagę, A = {2, 4, 6, 8} i B = {2, 5, 7, 8}
Wiemy, że B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Spróbujmy rozwiązać pytanie krok po kroku. Zatem pierwszym krokiem jest znalezienie sumy zbioru A i zbioru B.
Dlatego (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Następnie musimy obliczyć punkt przecięcia obu zbiorów.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Teraz musimy znaleźć różnicę między sumą i przecięciem zbiorów A i B, jak podano we wzorze:
Zatem (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Dlatego B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Który będzie równy A Δ B, jak stwierdzono powyżej, „Różnica symetryczna jest przemienna”. Teraz pokażemy różnicę symetryczną między obydwoma zbiorami za pomocą diagramu Venna.
Na diagramie Venna najpierw narysujemy dwa okręgi reprezentujące zbiory A i B. Jak obliczono powyżej, przecięcie obu zbiorów wynosi {2, 8}, więc umieściliśmy te elementy w obszarze przecięcia. Następnie wyliczamy pozostałe elementy w odpowiednich okręgach, tj. {4, 6} w zbiorze A i {5, 7} w zbiorze B. Po uporządkowaniu elementów diagram Venna będzie wyglądał następująco:
Kiedy spojrzymy na powyższy diagram Venna, istnieje zbiór uniwersalny U. Oba zbiory A i B są podzbiorem zbioru uniwersalnego U. Elementy {2, 8} są elementami przecinającymi się, więc są reprezentowane w obszarze przecinającym się. Region o jasnopomarańczowym kolorze jest sumą zbiorów z wyjątkiem obszaru przecinającego. Region ten jest symetryczną różnicą między obydwoma zbiorami A i B i będzie reprezentowany jako -
B Δ ZA = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Pytanie 3 - Załóżmy, że masz zbiory A = {5, 6, 8, 9, 10} i B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Korzystając z podanych zbiorów, udowodnij, że różnica symetryczna jest przemienna.
Rozwiązanie - Biorąc pod uwagę, A = {5, 6, 8, 9, 10} i B = {2, 7, 8, 9, 10}
Udowodnić: A Δ B = B Δ A
Weź LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Zatem A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Teraz weź RHS
B Δ ZA = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Zatem B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Dlatego A Δ B = B Δ A
Zatem różnica symetryczna jest przemienna.