Projekcja wektorowa jest cieniem wektora nad innym wektorem. Wektor projekcji uzyskuje się poprzez pomnożenie wektora przez Cos kąta między dwoma wektorami. Wektor ma zarówno wielkość, jak i kierunek. Mówi się, że dwa wektory są równe, jeśli mają tę samą wielkość i kierunek. Projekcja wektorowa jest niezbędna w rozwiązywaniu problemów numerycznych w fizyce i matematyce.

W tym artykule dowiemy się, czym jest projekcja wektorowa, przykładowy wzór na projekcję wektorową, wzór na projekcję wektorową, wyprowadzenie formuły na projekcję wektorową, algebrę liniową na projekcję wektorową, wzór na projekcję wektorową 3d i kilka innych powiązanych pojęć.

Spis treści

• Co to jest projekcja wektorowa?
• Formuła projekcji wektorowej
• Wyprowadzenie formuły rzutowania wektorowego
• Przykłady formuł projekcji wektorowych
• Praktyczne zastosowania i znaczenie rzutowania wektorowego
• Przykłady rozwiązywania problemów w świecie rzeczywistym za pomocą projekcji wektorowej

Co to jest projekcja wektorowa?

Projekcja wektorowa to metoda obracania wektora i umieszczania go na drugim wektorze. Zatem wektor uzyskuje się, gdy wektor zostanie rozdzielony na dwie składowe, równoległą i prostopadłą. Wektor równoległy nazywany jest wektorem projekcji. Zatem projekcja wektora to długość cienia wektora na innym wektorze.

Rzut wektorowy wektora uzyskuje się poprzez pomnożenie wektora przez Cos kąta między dwoma wektorami. Powiedzmy, że mamy dwa wektory „a” i „b” i musimy znaleźć rzut wektora a na wektor b, a następnie pomnożymy wektor „a” przez cosθ, gdzie θ jest kątem między wektorem a i wektorem b.

Formuła projekcji wektorowej

Jeślivec Ajest reprezentowany jako A ivec Bjest reprezentowany jako B, rzut wektorowy A na B jest podany jako iloczyn A z Cos θ, gdzie θ jest kątem pomiędzy A i B. Drugi wzór na rzut wektorowy A na B jest podany jako iloczyn A i B podzielone przez wielkość B. Otrzymany wektor projekcji jest skalarną wielokrotnością A i ma kierunek w kierunku B.

Wyprowadzenie formuły rzutowania wektorowego

Wyprowadzenie wzoru na rzut wektorowy omówiono poniżej:

Załóżmy, OP =vec Ai OQ =vec Ba kąt pomiędzy OP i OQ wynosi θ. Narysowano PN prostopadle do OQ.

W prawym trójkącie OPN, Cos θ = ON/OP

⇒ WŁ. = WŁ. Cos θ

⇒ WŁ. = |vec A| Ponieważ θ

ON jest wektorem projekcjivec ANAvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

pokrój Javę

⇒ WŁ. =frac{vec A.vec B}

Dlatego ON =|vec A|.hat B

Zatem rzut wektorowyvec ANAvec Bpodaje się jakofrac{vec A.vec B}

projekcja wektorowavec BNAvec Apodaje się jakofrac{vec A.vec B}

Sprawdź także: Rodzaje wektorów

Projekcja wektorowa Ważne terminy

Aby znaleźć rzut wektorowy, musimy nauczyć się znajdować kąt między dwoma wektorami, a także obliczać iloczyn skalarny między dwoma wektorami.

konwersja int na ciąg znaków w Javie

Kąt między dwoma wektorami

Kąt między dwoma wektorami jest podawany jako odwrotność cosinusa iloczynu skalarnego dwóch wektorów podzielonego przez iloczyn wielkości dwóch wektorów.

Powiedzmy, że mamy dwa wektoryvec AIvec Bkąt między nimi wynosi θ

⇒ sałata θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = sałata^-1frac{vec A.vec B}.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów

Powiedzmy, że mamy dwa wektoryvec AIvec Bzdefiniowana jakovec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kIvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k następnie iloczyn skalarny między nimi jest podawany jako

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= za₁B₁+ za₂B₂+a₃B₃

Powiązany artykuł:

• Dodatek wektorowy
• Wektor jednostkowy
• Algebra wektorowa
• Algebra liniowa

Przykłady formuł projekcji wektorowych

Przykład 1. Znajdź rzut wektora 4hat i + 2hat j + hat k NA 5hat i -3hat j + 3hat k .

Rozwiązanie:

Tutaj,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Wiemy, rzut wektora a na wektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Przykład 2. Znajdź rzut wektora 5hat i + 4hat j + hat k NA 3hat i + 5hat j – 2hat k

Rozwiązanie:

Tutaj,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Wiemy, rzut wektora a na wektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Przykład 3. Znajdź rzut wektora 5hat i – 4hat j + hat k NA 3hat i – 2hat j + 4hat k

Tokenizator ciągów Java

Rozwiązanie:

Tutaj,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Wiemy, rzut wektora a na wektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Przykład 4. Znajdź rzut wektora 2hat i – 6hat j + hat k NA 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Rozwiązanie:

Tutaj,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Wiemy, rzut wektora a na wektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Przykład 5. Znajdź rzut wektora 2hat i – hat j + 5hat k NA 4hat i – hat j + hat k .

Rozwiązanie:

Tutaj,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Wiemy, rzut wektora a na wektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Sprawdzać: Operacje wektorowe

Praktyczne zastosowania i znaczenie rzutowania wektorowego

Fizyka

• Siłowy rozkład : W fizyce wzór na rzut wektorowy ma kluczowe znaczenie przy rozkładaniu sił na składowe równoległe i prostopadłe do powierzchni. Na przykład zrozumienie siły wywieranej przez linę w grze w przeciąganie liny wymaga rzutowania wektora siły na kierunek liny.

• Obliczanie pracy : Praca wykonana przez siłę podczas przemieszczenia jest obliczana przy użyciu rzutowania wektorowego. Praca jest iloczynem skalarnym wektora siły i wektora przemieszczenia, zasadniczo rzutując jeden wektor na drugi, aby znaleźć składową siły w kierunku przemieszczenia.

Inżynieria

• Analiza strukturalna : Inżynierowie używają rzutowania wektorowego do analizy naprężeń na komponentach. Rzutując wektory sił na osie konstrukcyjne, można określić składowe naprężenia w różnych kierunkach, pomagając w projektowaniu bezpieczniejszych i bardziej wydajnych konstrukcji.

• Dynamika płynów : W dynamice płynów projekcja wektorowa pomaga w analizie przepływu płynu wokół obiektów. Projektując wektory prędkości płynu na powierzchnie, inżynierowie mogą badać wzorce przepływu i siły, kluczowe dla projektowania aerodynamicznego i inżynierii hydraulicznej.

Grafika komputerowa

• Techniki renderowania : Projekcja wektorowa ma w grafice komputerowej podstawowe znaczenie przy renderowaniu cieni i odbić. Projektując wektory światła na powierzchnie, oprogramowanie graficzne oblicza kąty i intensywność cieni i odbić, zwiększając realizm modeli 3D.

• Animacja i tworzenie gier : W animacji projekcja wektorowa służy do symulacji ruchów i interakcji. Na przykład określenie, w jaki sposób postać porusza się po nierównym terenie, obejmuje rzutowanie wektorów ruchu na powierzchnię terenu, co pozwala na realistyczne animacje.

Sprawdzać: Wektory bazowe w algebrze liniowej

rosomak kontra borsuk

Przykłady rozwiązywania problemów w świecie rzeczywistym za pomocą projekcji wektorowej

Przykład 1: Nawigacja GPS

• Kontekst : W systemach nawigacji GPS do obliczenia najkrótszej drogi pomiędzy dwoma punktami na powierzchni Ziemi wykorzystuje się projekcję wektorową.
• Aplikacja : Projektując wektor przemieszczenia pomiędzy dwoma lokalizacjami geograficznymi na wektor powierzchni Ziemi, algorytmy GPS mogą dokładnie obliczyć odległości i kierunki, optymalizując trasy podróży.

Przykład 2: Analityka sportowa

• Kontekst : W analityce sportowej, szczególnie w piłce nożnej i koszykówce, projekcja wektorowa pomaga w analizie ruchów zawodników i trajektorii piłek.
• Aplikacja : Projektując wektory ruchu zawodników na pole gry lub kort, analitycy mogą badać wzorce, prędkość i efektywność ruchów, przyczyniając się do planowania strategicznego i poprawy wydajności.

Przykład 3: Inżynieria energii odnawialnej

• Kontekst : Przy projektowaniu turbin wiatrowych zrozumienie składowych siły wiatru jest niezbędne do optymalizacji produkcji energii.
• Aplikacja : Inżynierowie rzutują wektory prędkości wiatru na płaszczyznę łopatek turbiny. Analiza ta pomaga w określeniu optymalnego kąta i orientacji łopat, aby zmaksymalizować wychwytywanie energii wiatru.

Przykład 4: Rzeczywistość rozszerzona (AR)

• Kontekst : W zastosowaniach rzeczywistości rozszerzonej projekcja wektorowa służy do dokładnego umieszczania obiektów wirtualnych w przestrzeniach świata rzeczywistego.
• Aplikacja : Projektując wektory z obiektów wirtualnych na płaszczyzny świata rzeczywistego przechwycone przez urządzenia AR, programiści mogą zapewnić realistyczną interakcję obiektów wirtualnych z otoczeniem, poprawiając wrażenia użytkownika.

Sprawdzać: Składniki wektora

Często zadawane pytania dotyczące projekcji wektorowej

Zdefiniuj wektor rzutowania.

Wektor projekcyjny to cień wektora na innym wektorze.

Jaki jest wzór na projekcję wektorową?

Wzór na projekcję wektora podano jakofrac{vec A.vec B}

Jak znaleźć wektor projekcji?

Wektor projekcji znajduje się poprzez obliczenie iloczynu skalarnego dwóch wektorów podzielonego przez wektor, na który rzucany jest cień.

Jakie pojęcia są potrzebne do obliczenia wektora rzutowania?

Aby obliczyć rzut wektorowy, musimy znać kąt między dwoma wektorami i iloczyn skalarny dwóch wektorów.

Gdzie używany jest wektor projekcyjny?

Wektor projekcyjny służy do rozwiązywania różnych obliczeń numerycznych z fizyki, które wymagają podziału wielkości wektora na składowe.

Jakie jest znaczenie projekcji wektorów w fizyce?

W fizyce rzut wektorowy ma kluczowe znaczenie dla rozkładu sił, obliczenia pracy wykonanej przez siłę w określonym kierunku i analizy ruchu. Pomaga zrozumieć, w jaki sposób różne składniki wektora przyczyniają się do efektów w różnych kierunkach.

Czy projekcja wektora może być ujemna?

Tak, składnik skalarny rzutu wektorowego może być ujemny, jeśli kąt między dwoma wektorami jest większy niż 90 stopni, co wskazuje, że rzut odbywa się w kierunku przeciwnym do wektora bazowego.

Jak wykorzystuje się projekcję wektorową w inżynierii?

Inżynierowie wykorzystują projekcję wektorową do analizy naprężeń konstrukcyjnych, optymalizacji projektów poprzez rozkład sił na możliwe do zarządzania komponenty oraz dynamiki płynów do badania wzorców przepływu na powierzchniach.

Jaka jest różnica między projekcją skalarną a wektorową?

Projekcja skalarna podaje wielkość jednego wektora wzdłuż kierunku drugiego i może być dodatnia lub ujemna. Z drugiej strony rzut wektorowy nie tylko uwzględnia wielkość, ale także podaje kierunek rzutu jako wektor.

Jakie są rzeczywiste zastosowania rzutowania wektorowego?

Projekcja wektorowa ma zastosowanie w nawigacji GPS, analityce sportowej, grafice komputerowej do renderowania cieni i odbić oraz w rzeczywistości rozszerzonej do umieszczania obiektów wirtualnych w przestrzeniach świata rzeczywistego.