Algebra jest jednym z podstawowych zagadnień matematyki. Wielomiany są istotną częścią algebry. Wzór Viety jest używany w wielomianach. Artykuł ten dotyczy wzoru Viety, który wiąże sumę i iloczyn pierwiastków ze współczynnikiem wielomianu. Wzór ten jest szczególnie używany w algebrze.
Formuła Viety
Wzory Viety to te wzory, które określają relację między sumą i iloczynem pierwiastków wielomianu a współczynnikami wielomianów. Wzór Viety opisuje współczynniki wielomianu w postaci sumy i iloczynu jego pierwiastka.
Formuła Viety
Wzór Viety dotyczy sumy i iloczynu pierwiastków oraz współczynnika wielomianu. Stosuje się go, gdy musimy znaleźć wielomian, gdy podane są pierwiastki, lub gdy musimy znaleźć sumę lub iloczyn pierwiastków.
Wzór Viety na równanie kwadratowe
- Jeśli f(x) = oś 2 + bx + c jest równaniem kwadratowym z pierwiastkami A I B Następnie,
- Suma pierwiastków = α + β = -b/a
- Iloczyn pierwiastków = αβ = c/a
- Jeżeli podana jest suma i iloczyn pierwiastków, równanie kwadratowe wyraża się wzorem:
- X 2 – (suma pierwiastków)x + (iloczyn pierwiastków) = 0
Wzór Viety na równanie sześcienne
- Jeśli f(x) = oś 3 + bx 2 + cx +d jest równaniem kwadratowym z pierwiastkami a, b I C Następnie,
- Suma pierwiastków = α + β + γ = -b/a
- Suma iloczynu dwóch pierwiastków = αβ + αγ + βγ = c/a
- Iloczyn pierwiastków = αβγ = -d/a
- Jeżeli podana jest suma i iloczyn pierwiastków, równanie sześcienne wyraża się wzorem:
- X 3 – (suma pierwiastków)x 2 + (suma iloczynu dwóch pierwiastków)x – (iloczyn pierwiastków) = 0
Wzór Viety na równanie uogólnione
Jeśli f(x) = a N X N + za n-1 X n-1 + za n-2 X n-2 + ……… + a 2 X 2 + za 1 x + a 0 jest równaniem kwadratowym z pierwiastkami R 1 , R 2 , R 3 , …… R n-1 , R N Następnie,
R 1 + r 2 + r 3 +……. + r n-1 + r N = -a n-1 /A N
(R 1 R 2 + r 1 R 3 +…. +r 1 R N ) + (r 2 R 3 + r 2 R 4 +……. +r 2 R N ) + ……… + r n-1 R N = za n-2 /A N
:
:
R 1 R 2 …R N = (-1) N (A 0 /A N )
Przykładowe problemy
Zadanie 1: Jeśli α, β są pierwiastkami równania: x 2 – 10x + 5 = 0 , następnie znajdź wartość (α 2 + b 2 )/(A 2 b + ab 2 ).
sortowanie przez wstawianie w Javie
Rozwiązanie:
Dany Równanie:
- X2– 10x + 5 = 0
Według formuły Vita
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Jak2+b2) = (a + b )2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(A2+b2) = 90
Teraz wartość (α2+ b2)/(A2b + ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Zadanie 2: Jeśli α, β są pierwiastkami równania: x 2 + 7x + 2 = 0 , następnie znajdź wartość 14÷(1/α + 1/ β).
Rozwiązanie:
Dane równanie:
- X2+ 7x + 2 = 0
Według formuły Vita
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Teraz (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/ b) = -7/2
Teraz wartość 14 ÷ (1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Zadanie 3: Jeśli α, β są pierwiastkami równania: x 2 + 10x + 2 = 0 , następnie znajdź wartość (α/β + β/α).
Rozwiązanie:
Dane równanie:
- X2+ 10x + 2 = 0
Według formuły Vita
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Jak2+b2) = (a + b )2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Teraz wartość (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
Java konwertująca liczbę całkowitą na ciąg znaków= 96/2
= 48
Zadanie 4: Jeśli α i β są pierwiastkami równania i biorąc pod uwagę, że α + β = -100 i αβ = -20, znajdź równanie kwadratowe.
Rozwiązanie:
Dany,
- Suma pierwiastków = α + β = -100
- Iloczyn pierwiastków = αβ = -20
Równanie kwadratowe jest dane wzorem:
X2– (suma pierwiastków)x + (iloczyn pierwiastków) = 0
X2– (-100)x + (-20) = 0
X 2 + 100x – 20 = 0
Zadanie 5: Jeśli α, β i γ są pierwiastkami równania i biorąc pod uwagę, że α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 i αβ γ = -6, znajdź równanie sześcienne.
Rozwiązanie:
Dany,
- Suma pierwiastków = α + β + γ = 10,
- Suma iloczynu dwóch pierwiastków = αβ + αγ + βγ = -1
- Iloczyn pierwiastków = średnia = -6
Równanie sześcienne jest dane wzorem:
X3– (suma pierwiastków)x2+ (suma iloczynu dwóch pierwiastków)x – (iloczyn pierwiastków) = 0
X3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
X 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Zadanie 6: Jeśli α, β i γ są pierwiastkami równania x 3 + 1569x 2 – 3 = 0, to znajdź wartość [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
Rozwiązanie:
Dany,
wiek dharmendry
- Suma pierwiastków = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Suma iloczynu dwóch pierwiastków = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Iloczyn pierwiastków = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Ponieważ (s3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r)(s2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Niech, p = (1/a) + (1/b ), q = (1/c) + (1/b ), r = (1/c) + (1/a )
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
Z równania (1):
(P3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
P3+ q3+ r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )
= -3/średnio = -3/3
= -1
Zadanie 7: Jeśli α i β są pierwiastkami równania x 2 – 3x +2 =0, to znajdź wartość α 2 - B 2 .
Rozwiązanie:
Dany,
- Suma pierwiastków = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Iloczyn pierwiastków = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Jako (a – b)2= (a + b)2-4ab
(a – b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
Od,
A2- B2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
A 2 - B 2 = 3