Jeśli uczysz się trygonometrii lub rachunku różniczkowego lub przygotowujesz się do tego, musisz zapoznać się z kołem jednostkowym. Okrąg jednostkowy to podstawowe narzędzie używane do rozwiązywania sinusów, cosinusów i tangensów kąta. Ale jak to działa? A jakie informacje musisz znać, żeby z nich skorzystać?

W tym artykule wyjaśniamy, czym jest okrąg jednostkowy i dlaczego warto go znać. Dajemy Ci również trzy wskazówki, które pomogą Ci zapamiętać, jak używać okręgu jednostkowego.

Obraz funkcji: Gustaw /Wikimedia

Koło Jednostki: Podstawowe Wprowadzenie

Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu 1. Oznacza to, że dla dowolnej linii prostej poprowadzonej od środka okręgu do dowolnego punktu na krawędzi okręgu długość tej linii będzie zawsze równa 1. (Oznacza to również, że średnica okręgu będzie równa 2, ponieważ średnica jest równa dwukrotności długości promienia.)

Zazwyczaj punkt środkowy okręgu jednostkowego znajduje się w miejscu przecięcia osi x i y lub we współrzędnych (0, 0):

Warto znać okrąg jednostkowy, zwany także kołem trygonometrycznym, ponieważ pozwala nam łatwo obliczyć cosinus, sinus i tangens dowolnego kąta z zakresu od 0° do 360° (lub 0 do 2π radianów).

Jak widać na powyższym schemacie, rysując promień pod dowolnym kątem (oznaczony ∝ na obrazku), utworzysz trójkąt prostokątny. W tym trójkącie cosinus jest linią poziomą, a sinus jest linią pionową. Innymi słowy, cosinus =współrzędna x i sinus = współrzędna y. (Najdłuższa linia trójkąta, czyli przeciwprostokątna, to promień i dlatego wynosi 1.)

Dlaczego to wszystko jest ważne? Pamiętaj, że możesz obliczyć długości boków trójkąta za pomocą Twierdzenie Pitagorasa, czyli $a^2+b^2=c^2$ (w którym A I B są długościami boków trójkąta i C jest długością przeciwprostokątnej).

Wiemy, że cosinus kąta jest równy długości linii poziomej, sinus jest równy długości linii pionowej, a przeciwprostokątna jest równa 1. Zatem możemy powiedzieć, że wzór na dowolny trójkąt prostokątny w okręgu jednostkowym jest następujący:

jak sprawdzić rozmiar ekranu

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Ponieważ 1^2=1$, możemy uprościć to równanie w następujący sposób:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Miej świadomość, że wartości te mogą być ujemne w zależności od utworzonego kąta i ćwiartki, w której mieszczą się współrzędne x i y (wyjaśnię to bardziej szczegółowo później).

Oto przegląd wszystkich głównych kątów w stopniach i radianach na okręgu jednostkowym:

Okrąg jednostkowy — stopnie

Okrąg jednostkowy — radiany

Ale co, jeśli nie ma utworzonego trójkąta? Spójrzmy na co się stanie, gdy kąt wyniesie 0°, tworząc poziomą linię prostą wzdłuż osi x:

Na tej linii współrzędna x jest równa 1, a współrzędna y jest równa 0. Wiemy, że cosinus jest równy współrzędnej x, a sinus jest równy współrzędnej y, więc możemy napisać to:

• $cos0°=1$
• $grzech0°=0$

Co jeśli kąt wynosi 90° i tworzy idealnie pionową linię wzdłuż osi Y?

Tutaj widzimy, że współrzędna x jest równa 0, a współrzędna y równa się 1. Daje nam to następujące wartości sinusa i cosinusa:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

To hasło z pewnością ma zastosowanie, jeśli nie jesteś miłośnikiem matematyki.

Dlaczego powinieneś znać okrąg jednostkowy

Jak wspomniano powyżej, okrąg jednostkowy jest pomocny, ponieważ pozwala nam łatwo znaleźć sinus, cosinus lub tangens dowolnego stopnia lub radiana. Znajomość wykresu koła jednostkowego jest szczególnie przydatna, jeśli musisz obliczyć pewne wartości trygonometryczne w zadaniu domowym z matematyki lub jeśli przygotowujesz się do nauki rachunku różniczkowego.

Ale w jaki sposób znajomość koła jednostkowego może ci pomóc? Załóżmy, że na teście z matematyki masz następujący problem – i tak się stało nie wolno używać kalkulatora do rozwiązania tego zadania:

$$sin30°$$

Gdzie zaczynasz? Przyjrzyjmy się jeszcze raz wykresowi koła jednostkowego — tym razem ze wszystkimi głównymi kątami (w stopniach i radianach) i odpowiadającymi im współrzędnymi:

Jim.belk /Wikimedia

Nie daj się przytłoczyć! Pamiętaj, że rozwiązujesz tylko $sin30°$. Patrząc na ten wykres, możemy to zobaczyć współrzędna y jest równa /2$ pod kątem 30°. A ponieważ współrzędna y jest równa sinusowi, nasza odpowiedź jest następująca:

$$sin30°=1/2$$

Ale co, jeśli pojawi się problem, który używa radianów zamiast stopni? Proces jego rozwiązania jest nadal taki sam. Załóżmy na przykład, że masz problem wyglądający tak:

$$cos{{3π}/4}$$

Ponownie, korzystając z powyższego wykresu, możemy zobaczyć, że współrzędna x (lub cosinus) dla ${3π}/4$ (co jest równe 135°) wynosi $-{√2}/2$. Oto jak wyglądałaby wtedy nasza odpowiedź na ten problem:

Java pobiera aktualną datę

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Wszystko to jest całkiem proste, jeśli masz powyższy wykres koła jednostkowego, który możesz wykorzystać jako odniesienie. Jednak w większości (jeśli nie we wszystkich) przypadkach tak się nie stanie i oczekuje się, że będziesz odpowiadać na tego typu pytania matematyczne, używając wyłącznie mózgu.

Jak więc zapamiętać okrąg jednostkowy? Przeczytaj nasze najlepsze wskazówki!

Jak zapamiętać okrąg jednostkowy: 3 niezbędne wskazówki

W tej sekcji podajemy najlepsze wskazówki dotyczące zapamiętywania koła trygonometrycznego, dzięki czemu można go z łatwością używać w przypadku każdego wymagającego go problemu matematycznego.

Nie polecałbym ćwiczenia okręgu jednostkowego z karteczkami samoprzylepnymi, ale cóż, od czegoś trzeba zacząć.

#1: Zapamiętaj wspólne kąty i współrzędne

Aby efektywnie wykorzystać okrąg jednostkowy, musisz to zrobić zapamiętaj najpopularniejsze kąty (w stopniach i radianach), a także odpowiadające im współrzędne x i y.

Powyższy diagram jest pomocnym diagramem koła jednostkowego, ponieważ zawiera wszystkie główne kąty w stopniach i radianach, oprócz odpowiadających im punktów współrzędnych wzdłuż osi x i y.

Oto wykres zawierający te same informacje w formie tabeli:

Teraz, chociaż możesz spróbować zapamiętać wszystkie te współrzędne i kąty, to jest to bardzo rzeczy do zapamiętania.

Na szczęście istnieje trik, który pomoże Ci zapamiętać najważniejsze części okręgu jednostkowego.

Spójrz na współrzędne powyżej, a zauważysz wyraźny wzór: wszystkie punkty (z wyjątkiem tych przy 0°, 90°, 270° i 360°) naprzemiennie tylko trzy wartości (dodatnie lub ujemne):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Każda wartość odpowiada krótka, średnia lub długa linia dla cosinusa i sinusa:

Oto znaczenie tych długości:

Krótka linia pozioma lub pionowa= 1/2 dolara Średnia linia pozioma lub pionowa= ${√2}/2$ Długa linia pozioma lub pionowa= ${√3}/2$

Na przykład, jeśli próbujesz rozwiązać $cos{π/3}$, powinieneś od razu wiedzieć, że ten kąt (równy 60°) wskazuje krótka pozioma linia na okręgu jednostkowym. Dlatego, odpowiadająca jej współrzędna x musi być równa /2$ (wartość dodatnia, ponieważ $π/3$ tworzy punkt w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych).

psy półkowe

Na koniec, choć pomocne jest zapamiętanie wszystkich kątów z powyższej tabeli, pamiętaj o tym zdecydowanie najważniejsze kąty, o których należy pamiętać, to:

• 30° / $p / 6 $
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Traktuj swoje negatywy i pozytywów tak, jak kable, które mogą potencjalnie cię zabić, jeśli zostaną nieprawidłowo podłączone.

#2: Dowiedz się, co jest negatywne, a co pozytywne

Niezwykle istotna jest umiejętność rozróżnienia dodatnich i ujemnych współrzędnych x i y, aby znaleźć właściwą wartość dla problemu trygonometrycznego. Jako przypomnienie, w zależy od tego, czy współrzędna na okręgu jednostkowym będzie dodatnia czy ujemna Do której ćwiartki (I, II, III lub IV) należy dany punkt:

Oto wykres pokazujący, czy współrzędna będzie dodatnia czy ujemna w zależności od ćwiartki, w której znajduje się dany kąt (w stopniach lub radianach):

Załóżmy na przykład, że na teście z matematyki masz następujący problem:

$$cos210°$$

Zanim w ogóle spróbujesz go rozwiązać, powinieneś być w stanie rozpoznać, że odpowiedź będzie liczba ujemna ponieważ kąt 210° należy do ćwiartki III (gdzie znajdują się współrzędne x zawsze negatywny).

Teraz, korzystając ze sztuczki, której nauczyliśmy się w końcówce 1, możesz dowiedzieć się, że tworzy się kąt 210° długa pozioma linia. Dlatego nasza odpowiedź jest następująca:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Naucz się rozwiązywać styczne

Na koniec niezbędna jest wiedza, jak wykorzystać wszystkie informacje dotyczące koła trygonometrycznego oraz sinusa i cosinusa, aby móc rozwiązać tangens kąta.

W trygonometrii, aby znaleźć tangens kąta θ (w stopniach lub radianach), wystarczy podziel sinus przez cosinus:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Załóżmy na przykład, że próbujesz rozwiązać ten problem:

właściwości kwasowe

$$ an300°$$

Pierwszym krokiem jest ułożenie równania w postaci sinusa i cosinusa:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Teraz, aby znaleźć styczną, musimy znaleźć sinus I cosinus 300°. Powinieneś być w stanie szybko rozpoznać, że kąt 300° należy do czwartej ćwiartki, co oznacza, że cosinus, czyli współrzędna x, będzie dodatnia, a sinus, czyli współrzędna y, będzie ujemna.

To też powinieneś od razu wiedzieć tworzy kąt 300° krótka linia pozioma i długa linia pionowa. Dlatego cosinus (linia pozioma) będzie równy /2$, a sinus (linia pionowa) będzie równy $-{√3}/2$ (ujemna wartość y, ponieważ ten punkt znajduje się w ćwiartce IV) .

Teraz, aby znaleźć styczną, wystarczy podłączyć i rozwiązać:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Czas mruczeć i wykazać się umiejętnościami matematycznymi!

Zestaw pytań do ćwiczenia koła jednostkowego

Teraz, gdy już wiesz, jak wygląda okrąg jednostkowy i jak go używać, przetestujmy, czego się nauczyłeś, rozwiązując kilka praktycznych problemów.

pytania

1. $grzech45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Odpowiedzi

1. ${√2}/2$
2. $-1/2 $
3. /2$
4. $-√3$

Odpowiedzi na wyjaśnienia

#1: $sin45°$

W przypadku tego problemu istnieją dwie informacje, które powinieneś być w stanie od razu zidentyfikować:

Odpowiedź będzie pozytywna,ponieważ kąt 45° leży w ćwiartce I, a sinus kąta jest równy współrzędnej y

• Tworzy się kąt 45° pionowa linia średniej długości (Dla ich)

Ponieważ 45° wskazuje dodatnią linię średniej długości, poprawna odpowiedź to ${√2}/2$.

Jeśli nie masz pewności, jak to obliczyć, narysuj diagram, który pomoże Ci określić, czy długość linii będzie krótka, średnia czy długa.

#2: $cos240°$

Podobnie jak w przypadku problemu nr 1 powyżej, w przypadku tego problemu powinieneś szybko zrozumieć dwie informacje:

Odpowiedź będzie negatywna,ponieważ kąt 240° leży w ćwiartce III, a cosinus kąta jest równy współrzędnej x

• Tworzy się kąt 240° krótka pozioma linia (dla cosinusa)

Ponieważ 240° oznacza ujemną, krótką linię, poprawna odpowiedź to $-1/2 $.

#3: $cos{5π}/3$

W przeciwieństwie do powyższych problemów, ten problem wykorzystuje radiany zamiast stopni. Chociaż może to sprawiać, że problem będzie wyglądał na trudniejszy do rozwiązania, w rzeczywistości wykorzystuje te same podstawowe kroki, co w przypadku pozostałych dwóch problemów.

Po pierwsze, powinieneś zauważyć, że kąt ${5π}/3$ leży w ćwiartce IV, więc współrzędna x, czyli cosinus, będzie wynosić liczba dodatnia. Powinieneś także być w stanie to powiedzieć${5π}/3$tworzy krótka pozioma linia.

Daje to wystarczająco dużo informacji, aby to ustalić the odpowiedź to /2$.

#4: $ an{2π}/3$

To zadanie dotyczy tangensa, a nie sinusa lub cosinusa, co oznacza, że ​​będzie wymagało z naszej strony nieco więcej matematyki. Po pierwsze, przypomnij sobie podstawowy wzór na znalezienie tangensa:

co sprawia, że ​​komputer jest szybki

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Weźmy teraz stopień, jaki otrzymaliśmy – ${2π}/3$– i podłącz to do równania:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Powinieneś teraz być w stanie oddzielnie obliczyć sinus i cosinus, korzystając z tego, co zapamiętałeś o okręgu jednostkowym. Ponieważ kąt ${2π}/3$ leży w ćwiartce II, współrzędna x (lub cosinus) będzie ujemna, a współrzędna y (lub sinus) będzie dodatnia.

Następnie powinieneś być w stanie określić na podstawie samego kąta, że ​​jest to linia pozioma krótka linia, a linia pionowa to długa kolejka. Oznacza to, że cosinus jest równy $-1/2$, a sinus jest równy ${√3}/2$.

Teraz, gdy już obliczyliśmy te wartości, jedyne, co musimy zrobić, to podłączyć je do naszego równania początkowego i obliczyć styczną:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Co dalej?

Jeśli wkrótce zdajesz egzamin SAT lub ACT, musisz znać pewne triki, aby dobrze radzić sobie z matematyką. Zapoznaj się z naszymi przewodnikami eksperckimi na temat wyzwalania egzaminów SAT i ACT, aby dowiedzieć się dokładnie, co musisz wiedzieć na dzień testu!

Oprócz zapamiętywania okręgu jednostkowego, dobrym pomysłem jest nauczenie się, jak podłączać liczby i odpowiedzi. Przeczytaj nasze przewodniki, aby dowiedzieć się wszystkiego o tych dwóch przydatnych strategiach, które możesz wykorzystać na dowolnym teście z matematyki – w tym SAT i ACT!