Formuła punktu środkowego to ((X ₁ + x ₂ )/2 i ₁ + i ₂ )/2). Współrzędne obu punktów to (x₁, I₁) i (x₂, I₂), a punkt środkowy to punkt leżący w połowie odległości między tymi dwoma punktami.

Punkt środkowy jest podstawową koncepcją geometrii współrzędnych. Odgrywa kluczową rolę w znalezieniu środka odcinka. Istnieją przypadki w geometrii współrzędnych, w których musimy znać punkt środkowy dwóch danych punktów lub punkt środkowy odcinka linii. W tym przypadku korzystamy ze wzoru na punkt środkowy, ponieważ jest to prosty i skuteczny sposób na obliczenie środka dowolnego odcinka linii, niezależnie od jego długości i położenia w płaszczyźnie współrzędnych.

Szczegółowo omówiliśmy wzór punktu środkowego wraz z jego wyprowadzeniem na podstawie podobieństwa trójkątów. Wraz z nim wybraliśmy rozwiązane przykłady w formule Mid Point.

Definicja punktu środkowego

Punkt, który dzieli linię dokładnie na dwie równe połowy, jest środkiem linii. Innymi słowy, stosunek obu połówek linii, w której środek ją dzieli, wynosi 1:1.

Punkt środkowy linii

Wzór punktu środkowego linii

Dla odcinka AB we współrzędnych kartezjańskich, gdzie współrzędna punktu A na osi x wynosi x₁a współrzędna osi Y punktu A wynosi y₁i podobnie współrzędna osi x punktu B wynosi x₂a współrzędna osi Y punktu B wynosi y_2,punkt środkowy linii zostanie określony wzorem (x_M, I_M).

Wzór na środek (x_M, I_M) Jest:

Formuła punktu środkowego

Wyprowadzenie wzoru na punkt środkowy

Niech P(x₁,I₁) i Q(x₂,I₂) będą dwoma końcami danej linii w płaszczyźnie współrzędnych, a R(x,y) będzie punktem na tej prostej, który dzieli PQ w stosunku m₁:M₂takie, że

PR/RQ = m₁/M₂. . .(1)

Wyprowadzenie wzoru na punkt środkowy

Rysując linie PM, QN i RL prostopadle do osi x i przechodząc przez R, narysuj linię prostą równoległą do osi x, aby spotkać się z MP w S i NQ w T.

Zatem na podstawie rysunku możemy powiedzieć:

SR = ML = OL – OM = x – x₁. . . (2)

kod kodujący Huffmana

RT = LN = WŁ. – Ol = x₂- X . . . (3)

PS = MS – MP = LR – MP = y – y₁. . . (4)

TQ = NQ – NT = NQ – LR = y₂- I . . . (5)

Teraz trójkąt ∆ SPR jest podobny do trójkąta ∆TQR .

Dlatego,

SR/RT = PR/RQ

Korzystając z równań 2, 3 i 1, wiemy:

x – x₁/ X₂– x = m₁/ M₂

⇒ m₂x – m₂X₁= m₁X₂- M₁X

⇒ m₁x + m₂x = m₁X₂+ m₂X₁

⇒ (m.in₁+ m₂)x = m₁X₂+ m₂X₁

funkcja statyczna w Javie

⇒ x = (m₁X₂+ m₂X₁) / (M₁+ m₂)

Teraz trójkąt ∆ SPR jest podobne do trójkąta ∆ TQR,

Dlatego,

PS/TQ = PR/RQ

Korzystając z równań 4, 5 i 1, wiemy:

i i₁/ I₂– y = m₁/ M₂

⇒ m₂y – m₂I₁= m₁I₂- M₁I

⇒ m₁y + m₂y = m₁I₂+ m₂I₁

⇒ (m.in₁+ m₂)y = m₁I₂+ m₂I₁

⇒ y = (m₁I₂+ m₂I₁) / (M₁+ m₂)

Stąd współrzędne R(x,y) to:

R(x, y) = (m ₁ X ₂ + m ₂ X ₁ ) / (M ₁ + m ₂ ), (M ₁ I ₂ + m ₂ I ₁ ) / (M ₁ + m ₂ )

Ponieważ musieliśmy obliczyć punkt środkowy, zachowujemy obie wartości m₁oraz m₂tak samo, tj.

Dla punktu środkowego znamy z definicji punktu środkowego m₁= m₂= 1.

(x, y) = ((1.x₂+ 1.x₁) / (1 + 1), (1.r₂+ 1. rok₁) / (1 + 1))

x, y = (x ₂ + x ₁ ) / 2 i ₂ + i ₁ ) / 2

Jak znaleźć punkt środkowy?

Aby znaleźć współrzędne środka dowolnego odcinka linii, możemy skorzystać ze wzoru na punkt środkowy, jeśli podane są punkty końcowe odcinka. Rozważmy następujący przykład tego samego.

Przykład: Znajdź współrzędne środka odcinka, którego końce to (5, 6) i (-3, 4).

Rozwiązanie:

Jak wiemy, środek odcinka wyznacza się wzorem:

Punkt środkowy = ((x₁+x₂)/2 i₁+y₂)/2)

gdzie (x₁, I₁) i (x₂, I₂) są współrzędnymi punktów końcowych odcinka linii.

Punkt środkowy = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)

⇒ Punkt środkowy = (2/2, 10/2)

⇒ Punkt środkowy = (1, 5)

Zatem współrzędne środka odcinka wynoszą (1, 5).

Powiązana formuła

Istnieją podobne wzory do wzoru na punkt środkowy, które są następujące:

• Formuła sekcji
• Wzór centroidu

Formuła sekcji

Formuła sekcji służy do znalezienia współrzędnej punktu dzielącego dany odcinek linii w żądanym stosunku. Załóżmy, że końce odcinka to A i B wraz ze współrzędnymi (X ₁ , I ₁ ) I (X ₂ , I ₂ ) , a P będzie punktem dzielącym odcinek łączący prostą AB w m:n. Następnie współrzędna P jest dana wzorem:

P(x, y) = [(mx ₂ + nx ₁ )/(m+n) , (moje ₂ + ₁ )/(m+n)]

Wzór centroidu

Wzór na środek ciężkości służy do znajdowania środka wielokątów, a matematycznie dla trójkątów i czworokątów jest podawany w następujący sposób:

Środek ciężkości wzoru na trójkąt

Współrzędne środka ciężkości trójkąta z wierzchołkami (x₁, I₁), (X₂, I₂) i (x₃, I₃) Czy:

C(x, y) = ((x ₁ + x ₂ + x ₃ )/3, (i ₁ + i ₂ + i ₃ )/3)

Środek ciężkości trójkąta

Środek ciężkości wzoru czworobocznego

Współrzędne środka ciężkości czworokąta z wierzchołkami (x₁, I₁), (X₂, I₂), (X₃, I₃) i (x₄, I₄) Czy:

C(x, y) = ((x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ )/4, (i ₁ + i ₂ + i ₃ + i ₄ )/4)

Środek ciężkości czworoboku

Rozwiązane pytania dotyczące formuły punktu środkowego

Pytanie 1: Jaki jest środek odcinka AB, gdzie punkt A znajduje się w (6,8), a punkt B w (3,1)?

pyton __imię__

Rozwiązanie:

Niech środkiem będzie M(x_M, I_M),

X_M= (x₁+ x₂) / 2

X₁= 6, x₂= 3

Zatem x_M= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5

I_M= (i₁+ i₂) / 2

I₁= 8 i₂= 1

Zatem y_M= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5

Stąd środek prostej AB wynosi (4,5, 4,5).

Pytanie 2: Jaki jest środek odcinka AB, gdzie punkt A znajduje się w (-6,4), a punkt B w (4,2)?

Rozwiązanie:

monitor kineskopowy

Niech środkiem będzie M(x_M, I_M),

X₁= -6, x₂= 4 i₁= 4 i₂= 2

(X_M, I_M) = ((x₁+ x₂) / 2 i₁+ i₂) / 2)

(X_M, I_M) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)

(X_M, I_M) = ((-2)/2, (6)/2)

(X_M, I_M) = (-1, 3)

Stąd środek prostej AB to (-1, 3).

Pytanie 3: Znajdź wartość p tak, aby (–2, 2,5) było punktem środkowym między (p, 2) a (–1, 3).

Rozwiązanie:

Niech środkiem będzie M(x_M, I_M) = (-2, 2,5) gdzie,

X₁= -1, x_M= -2

współrzędna y punktu końcowego jest już znana jako 2, dlatego musimy znaleźć tylko współrzędną x

X_M= (x₁+ x₂) / 2

-2 = (-1 + p) / 2

-4 = -1 + p

p = -3

Stąd inny punkt końcowy linii to (-3, 2).

Pytanie 4: Jeżeli współrzędne punktów końcowych odcinka to (3, 4) i (7, 8), znajdź odległość pomiędzy środkiem odcinka a punktem (3, 4).

Rozwiązanie:

Opis przypadku Java

Niech A(3, 4) i B(7, 8) będą końcami danego odcinka, zaś C będzie środkiem odcinka AB.

Następnie korzystając ze wzoru na punkt środkowy,

Współrzędna C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)

Korzystanie ze wzoru na odległość

Odległość = √{(x₂- X₁)²+ (i₂- I₁)²}

⇒ Odległość = √{(3 – 5)²+ (4 – 6)²}

⇒ Odległość =√{(-2)²+ (-2)²}

⇒ Odległość =√8 = 2√2

Zatem odległość pomiędzy środkiem odcinka a punktem (3, 4) wynosi 2√2.

Formuła punktu środkowego – często zadawane pytania

Co to jest formuła punktu środkowego?

Matematycznie wzór na punkt środkowy podaje się w następujący sposób:

Punkt środkowy = ((x ₁ + x ₂ )/2 i ₁ + i ₂ )/2)

Jakie znaczenie ma formuła punktu środkowego?

Wzór na punkt środkowy jest istotny, ponieważ pozwala nam znaleźć punkt środkowy dowolnego odcinka linii w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Jakie są zastosowania formuły punktu środkowego?

Istnieje wiele przypadków użycia wzoru punktu środkowego, ponieważ w geometrii możemy go zastosować do rozwiązań i właściwości trójkątów, wielokątów i innych kształtów, w fizyce ma on również zastosowanie do znajdowania środka masy.

Czy formuły punktu środkowego można użyć dla trzech lub więcej punktów?

Nie, wzoru na punkt środkowy nie można zastosować w przypadku trzech punktów, ponieważ punkt środkowy jest zdefiniowany tylko dla dwóch punktów. Dla trzech punktów możemy skorzystać ze wzoru na środek ciężkości, jeśli chcemy znaleźć współrzędne środka ciężkości trójkąta utworzonego przez dane trzy punkty.

Ile punktów środkowych ma odcinek?

Segment ma tylko jeden punkt środkowy.