Pole pod krzywą to obszar ograniczony krzywą i osiami współrzędnych. Oblicza się go biorąc bardzo małe prostokąty i sumując je, jeśli weźmiemy nieskończenie małe prostokąty, to ich sumę oblicza się biorąc granicę tak utworzonej funkcji.

Dla danej funkcji f(x) określonej w przedziale [a, b] pole (A) pod krzywą f(x) od „a” do „b” wyraża się wzorem ZA = ∫ _A ^B f(x)dx . Pole pod krzywą oblicza się, przyjmując wartość bezwzględną funkcji w przedziale [a, b], zsumowaną po całym zakresie.

W tym artykule dowiemy się szczegółowo o obszarze pod krzywą, jego zastosowaniach, przykładach i innych szczegółach.

Spis treści

• Co to jest obszar pod krzywą?
• Obliczanie pola pod krzywą
• Korzystanie z sum Reimanna
• Korzystanie z całek oznaczonych
• Przybliżanie obszaru pod krzywą
• Obliczanie obszaru pod krzywą
• Obszar pod wzorami krzywej

Co to jest obszar pod krzywą?

Pole pod krzywą to obszar ograniczony dowolną krzywą o osi x i danych warunkach brzegowych, tj. obszar ograniczony funkcją y = f(x), osią x i linią x = a i x = b. W niektórych przypadkach istnieje tylko jeden warunek brzegowy lub nie ma go wcale, ponieważ krzywa przecina oś x odpowiednio raz lub dwa razy.

Pole pod krzywą można obliczyć za pomocą różnych metod, takich jak suma Reimanna i Określona całka możemy też przybliżać pole za pomocą podstawowych kształtów tj. trójkąta, prostokąta, trapezu itp.

Przeczytaj szczegółowo: Rachunek matematyczny

Obliczanie pola pod krzywą

Aby obliczyć pole pod krzywą, możemy skorzystać z następujących metod, takich jak:

algorytmy wyszukiwania

• Korzystanie z sum Reimanna
• Korzystanie z całek oznaczonych
• Korzystanie z przybliżenia

Przeanalizujmy szczegółowo te metody w następujący sposób:

Korzystanie z sum Reimanna

Sumy Reimanna oblicza się dzieląc wykres danej funkcji na mniejsze prostokąty i sumując pola każdego prostokąta. Im więcej prostokątów rozważymy, dzieląc podany przedział, tym dokładniejszy będzie obszar obliczony w ten sposób; niemniej jednak, im więcej podprzedziałów weźmiemy pod uwagę, tym trudniejsze stają się obliczenia.

Reimann Sum można podzielić na trzy kolejne kategorie, takie jak:

• Lewa suma Reimanna
• Prawa suma Reimanna
• Suma punktu środkowego Reimanna

Powierzchnię korzystając z sumy Reimanna podaje się w następujący sposób:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

Gdzie,

• f(x _I ) jest wartością funkcji całkowanej w punkcie I ^t punkt próbny
• Δx = (b-a)/n jest szerokością każdego podprzedziału,
  • A I B są granicami całkowania i
  • N jest liczbą podprzedziałów
• ∑ reprezentuje sumę wszystkich wyrazów od i=1 do n,

Przykład: Znajdź pole pod krzywą dla funkcji f(x) = x ² pomiędzy granicami x = 0 i x = 2.

Rozwiązanie:

Chcemy znaleźć pole pod krzywą tej funkcji pomiędzy x = 0 a x = 2. Do przybliżenia pola użyjemy lewej sumy Reimanna z n = 4 podprzedziałami.

Obliczmy pole pod krzywą, korzystając z 4 podprzedziałów.

Zatem szerokość podprzedziałów Δx = (2-0)/4 = 0,5

Wszystkie 4 podprzedziały to:

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

X₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Teraz możemy ocenić funkcję przy tych wartościach x, aby znaleźć wysokości każdego prostokąta:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Pole pod krzywą można teraz przybliżyć, sumując pola prostokątów utworzonych przez te wysokości:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Zatem pole pod krzywą f(x) = x²między x = 0 a x = 2, przybliżone przy użyciu lewej sumy Reimanna z 4 podprzedziałami, wynosi w przybliżeniu 1,25.

Korzystanie z całek oznaczonych

Całka oznaczona jest prawie taka sama jak suma Reimanna, ale tutaj liczba podprzedziałów zbliża się do nieskończoności. Jeżeli funkcja jest podana dla przedziału [a, b], to całkę oznaczoną definiuje się jako:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Całka oznaczona podaje dokładne pole pod krzywą, w przeciwieństwie do sumy Reimanna. Całkę oznaczoną oblicza się, znajdując funkcję pierwotną funkcji i wyznaczając ją na granicach całkowania.

Obszar względem osi X

Krzywa pokazana na poniższym obrazku jest reprezentowana za pomocą y = f(x). Musimy obliczyć pole pod krzywą w odniesieniu do osi x. Wartości graniczne krzywej na osi x to odpowiednio a i b. Pole A pod tą krzywą względem osi x oblicza się pomiędzy punktami x = a i x = b. Rozważ następującą krzywą:

Wzór na pole pod krzywą względem osi x wyraża się wzorem:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

Gdzie,

• A to Powierzchnia pod krzywą
• I Lub k(x) jest równaniem krzywej
• A, I B są wartościami x lub granicą integracji, dla której musimy obliczyć pole

Powierzchnia względem osi Y

Krzywa pokazana na powyższym obrazku jest reprezentowana przez x = f(y). Musimy obliczyć pole pod krzywą w odniesieniu do osi Y. Wartości graniczne krzywej na osi Y to odpowiednio a i b. Pole A pod tą krzywą względem osi Y pomiędzy punktami y = a i y = b. Rozważ następującą krzywą:

Wzór na pole pod krzywą w.r.t do osi y jest określony wzorem:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

Gdzie,

• A to Powierzchnia pod krzywą
• X Lub f(y) to Równanie krzywej
• a, b są punktami przecięcia y

Ucz się więcej, Obszar pomiędzy dwiema krzywymi

Przybliżanie obszaru pod krzywą

Aproksymacja pola pod krzywą polega na wykorzystaniu prostych kształtów geometrycznych, takich jak prostokąty czy trapezy, do oszacowania pola pod krzywą. Metoda ta jest przydatna, gdy funkcja jest trudna do całkowania lub gdy nie jest możliwe znalezienie funkcji pierwotnej. Dokładność przybliżenia zależy od wielkości i liczby użytych kształtów.

Obliczanie obszaru pod krzywą

Korzystając z koncepcji omówionych w danym artykule, możemy łatwo obliczyć pole różnych krzywych. Rozważmy teraz kilka przykładów obliczania pola pod krzywą dla niektórych typowych krzywych.

Obszar pod krzywą: Parabola

Wiemy, że standardowa parabola jest podzielona na dwie symetryczne części albo przez oś x, albo przez oś y. Załóżmy, że weźmiemy parabolę y²= 4ax i wówczas jego pole należy obliczyć od x = 0 do x = a. W razie potrzeby podwajamy jego pole, aby znaleźć pole paraboli w obu ćwiartkach.

Obliczanie powierzchni,

I²= 4 oś

y = √(4oś)

A = 2∫₀^Ay.dx

A = 2∫₀^A√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^A√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Zatem pole pod parabolą od x = 0 do x = a wynosi 8/3a ² jednostki kwadratowe

Obszar pod krzywą: okrąg

Okrąg jest zamkniętą krzywą, której obwód znajduje się zawsze w jednakowej odległości od jego środka. Jego pole oblicza się, obliczając najpierw pole w pierwszej ćwiartce, a następnie mnożąc je przez 4 dla wszystkich czterech ćwiartek.

Załóżmy, że weźmiemy okrąg x²+ i²= za²i następnie jego pole należy obliczyć od x = 0 do x = a w pierwszej ćwiartce. A jeśli trzeba, czterokrotnie zwiększamy jego pole, aby znaleźć pole koła.

Obliczanie powierzchni,

X²+ i²= za²

y = √(a²- X²).dx

A = 4∫₀^Ay.dx

A = 4∫₀^A√(a²- X²).dx

A = 4[x/2√(a²- X²) + a²/2 bez^-1(x/a)]^A₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.bez^-1} – 0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Zatem pole pod okręgiem wynosi rocznie ² jednostki kwadratowe

Obszar pod krzywą: elipsa

Okrąg jest zamkniętą krzywą. Jego pole oblicza się, obliczając najpierw pole w pierwszej ćwiartce, a następnie mnożąc je przez 4 dla wszystkich czterech ćwiartek.

Załóżmy, że weźmiemy okrąg (x/a)²+ (t/b)²= 1 i wówczas jego pole należy obliczyć od x = 0 do x = a w pierwszej ćwiartce. W razie potrzeby czterokrotnie zwiększamy jego pole, aby znaleźć pole elipsy.

Obliczanie powierzchni,

(x/do)²+ (t/b)²= 1

wybierz z wielu tabel sql

y = b/a√(a²- X²).dx

A = 4∫₀^Ay.dx

A = 4b/a∫₀^A√(a²- X²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²- X²) + a²/2 bez^-1(x/a)]^A₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.bez^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Zatem pole pod elipsą wynosi πab jednostki kwadratowe.

Obszar pod wzorami krzywej

Wzór do różnych typów obliczeń obszaru pod krzywą przedstawiono w poniższej tabeli:

Przeczytaj także

• Całki
• Pole jako całka oznaczona

Przykładowe przykłady obszaru pod krzywą

Przykład 1: Znajdź pole pod krzywą y ² = 12x i oś X.

Rozwiązanie:

Dane równanie krzywej to y²= 12x

To jest równanie paraboli, w którym a = 3, więc y²= 4(3)(x)

Wykres wymaganego obszaru pokazano poniżej:

Oś X dzieli powyższą parabolę na 2 równe części. Możemy więc znaleźć pole w pierwszej ćwiartce, a następnie pomnożyć je przez 2, aby uzyskać wymagane pole

Możemy więc znaleźć wymagany obszar jako:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 jednostki kwadratowe

Przykład 2: Oblicz pole pod krzywą x = y ³ – 9 pomiędzy punktami y = 3 i y = 4.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, równanie krzywej to x = y³– 9

Punkty graniczne to (0, 3) i (0, 4)

Ponieważ równanie krzywej ma postać x = f(y), a punkty również leżą na osi Y, skorzystamy ze wzoru:

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

numer Java na ciąg

⇒ A = 139/4 jednostek kwadratowych

Przykład 3: Oblicz pole pod krzywą y = x ² – 7 pomiędzy punktami x = 5 i x = 10.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, krzywa ma postać y = x²−7, a punkty graniczne to (5, 0) i (10, 0)

Zatem pole pod krzywą wyraża się wzorem:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 jednostek kwadratowych

Przykład 4: Znajdź obszar ograniczony parabolą ² = 4ax i linia x = a w pierwszej ćwiartce.

Rozwiązanie:

Krzywą i daną linię można narysować w następujący sposób:

Teraz równanie krzywej to y²= 4 oś

Punktami granicznymi są (0, 0) i (a, 0)

Zatem obszar względem osi X można obliczyć jako:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Przykład 5: Znajdź obszar objęty okręgiem x ² + i ² = 25 w pierwszej ćwiartce.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, x²+ i²= 25

Krzywą można narysować jako:

Wymagany obszar został zacieniony na powyższym rysunku. Z równania widzimy, że promień okręgu wynosi 5 jednostek.

Jak, x²+ i²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Aby znaleźć obszar, użyjemy:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 jednostek kwadratowych

Często zadawane pytania dotyczące obszaru pod krzywą

Zdefiniuj obszar pod krzywą.

Obszar objęty krzywą, osią i punktami granicznymi nazywany jest obszarem pod krzywą. Korzystając z osi współrzędnych i wzoru całkowania, pole pod krzywą określono jako pole dwuwymiarowe.

Jak obliczyć pole pod krzywą?

Istnieją trzy metody obliczania pola pod krzywą:

lista czcionek w gimpie

• Sumy Reimanna polegają na podzieleniu krzywej na mniejsze prostokąty i zsumowaniu ich pól, przy czym liczba podprzedziałów ma wpływ na dokładność wyniku.
• Całki oznaczone są podobne do sum Reimanna, ale wykorzystują nieskończoną liczbę podprzedziałów, aby zapewnić dokładny wynik.
• Metody aproksymacyjne wykorzystuje znane kształty geometryczne do przybliżenia pola pod krzywą.

Jaka jest różnica między całką oznaczoną a sumą Reimanna?

Kluczowa różnica między całką oznaczoną a sumą Reimanna polega na tym, że całka oznaczona reprezentuje dokładny obszar pod daną krzywą, podczas gdy suma Reimanna reprezentuje przybliżoną wartość pola, a dokładność sumy zależy od wybranego rozmiaru podziału.

Czy pole pod krzywą może być ujemne?

Jeśli krzywa znajduje się poniżej osi lub leży w ujemnych ćwiartkach osi współrzędnych, obszar pod krzywą jest ujemny. Również w tym przypadku pole pod krzywą oblicza się metodą konwencjonalną, a następnie moduluje się rozwiązanie. Nawet w przypadku, gdy odpowiedź jest negatywna, pod uwagę brana jest tylko wartość obszaru, a nie znak ujemny odpowiedzi.

Co oznacza obszar pod krzywą w statystykach?

Pole pod krzywą (ROC) jest miarą dokładności ilościowego testu diagnostycznego.

Jak interpretować znak pola pod krzywą?

Znak pola pokazuje, że obszar pod krzywą znajduje się powyżej osi x lub poniżej osi x. Jeśli pole jest dodatnie, to pole pod krzywą znajduje się powyżej osi x, a jeśli jest ujemne, to pole pod krzywą znajduje się poniżej osi x.

W jaki sposób przybliżany jest obszar pod krzywą?

Dzieląc obszar na małe prostokąty, można z grubsza oszacować obszar pod krzywą. Dodając pola tych prostokątów, można otrzymać pole pod krzywą.