Twierdzenie Bayesa służy do określenia prawdopodobieństwa warunkowego zdarzenia. Został nazwany na cześć angielskiego statystyka, Thomasa Bayesa który odkrył ten wzór w 1763 roku. Twierdzenie Bayesa jest bardzo ważnym twierdzeniem w matematyce, które położyło podwaliny pod unikalne podejście do wnioskowania statystycznego zwane Wnioskowanie Bayesa. Służy do znalezienia prawdopodobieństwa zdarzenia na podstawie wcześniejszej wiedzy o warunkach, które mogą być powiązane z tym zdarzeniem.

Na przykład, jeśli chcemy znaleźć prawdopodobieństwo, że z pierwszego worka pochodzi losowo wylosowana biała kulka, biorąc pod uwagę, że biała kulka została już wylosowana, oraz są trzy torby, każda zawierająca trochę białych i czarnych kulek, wtedy możemy skorzystać z twierdzenia Bayesa.

W tym artykule omówiono twierdzenie Bayesa, w tym jego stwierdzenie, dowód, wyprowadzenie i wzór twierdzenia, a także jego zastosowania z różnymi przykładami.

aktualna data Java

Co to jest twierdzenie Bayesa?

Twierdzenie Bayesa (znane również jako reguła Bayesa lub prawo Bayesa) służy do określenia prawdopodobieństwa warunkowego zdarzenia A, gdy zdarzenie B już nastąpiło.

Ogólne stwierdzenie twierdzenia Bayesa brzmi: Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A, przy założeniu wystąpienia innego zdarzenia B, jest równe iloczynowi zdarzenia B, przy danym A i prawdopodobieństwa A podzielonego przez prawdopodobieństwo zdarzenia B. tj.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

Gdzie,

• ROCZNIE) I P(B) są prawdopodobieństwami zdarzeń A i B
• P(A|B) jest prawdopodobieństwem zdarzenia A, gdy zajdzie zdarzenie B
• P(B|A) jest prawdopodobieństwem zdarzenia B, gdy nastąpi A

Sprawdzać: Twierdzenie Bayesa dotyczące prawdopodobieństwa warunkowego

Twierdzenie Bayesa

Twierdzenie Bayesa dla n zbioru zdarzeń definiuje się jako:

Niech E₁, I₂,…, I_Nbędzie zbiorem zdarzeń związanych z przestrzenią próbną S, w której wszystkie zdarzenia E₁, I₂,…, I_Nmają niezerowe prawdopodobieństwo wystąpienia. Wszystkie wydarzeniaE₁, I₂,…, E tworzą podział S. Niech A będzie zdarzeniem z przestrzeni S, dla którego musimy znaleźć prawdopodobieństwo, to zgodnie z twierdzeniem Bayesa:

P(E _I |A) = P(E _I )P(A|E _I ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

dla k = 1, 2, 3, …., n

Wzór twierdzenia Bayesa

Dla dowolnych dwóch zdarzeń A i B wzór twierdzenia Bayesa jest określony wzorem: (poniższy rysunek przedstawia wzór twierdzenia Bayesa)

Wzór twierdzenia Bayesa

Gdzie,

• ROCZNIE) I P(B) są prawdopodobieństwami zdarzeń A i B, a także P(B) nigdy nie jest równe zero.
• P(A|B) jest prawdopodobieństwem zdarzenia A, gdy zajdzie zdarzenie B
• P(B|A) jest prawdopodobieństwem zdarzenia B, gdy nastąpi A

Wyprowadzenie twierdzenia Bayesa

Dowód twierdzenia Bayesa przedstawiono w następujący sposób, zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo warunkowe:

P(E _I |A) = P(E _I ∩A) / P(A)…..(i)

Następnie, korzystając z reguły mnożenia prawdopodobieństwa, otrzymujemy

P(E _I ∩A) = P(E _I )P(A|E _I )……(ii)

Teraz, zgodnie z twierdzeniem o prawdopodobieństwie całkowitym,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Zastępując wartość P(E_I∩A) i P(A) z równań (ii) i eq(iii) w równaniu (i) otrzymujemy,

P(E _I |A) = P(E _I )P(A|E _I ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Twierdzenie Bayesa jest również znane jako wzór na prawdopodobieństwo przyczyn . Jak wiemy, E _I „s” są podziałem przestrzeni próbek S i w danym momencie tylko jednym ze zdarzeń E _I występuje. Zatem dochodzimy do wniosku, że wzór twierdzenia Bayesa podaje prawdopodobieństwo konkretnego E_I, biorąc pod uwagę, że zaszło zdarzenie A.

Terminy związane z twierdzeniem Bayesa

Po szczegółowym zapoznaniu się z twierdzeniem Bayesa, przyjrzyjmy się kilku ważnym terminom związanym z pojęciami, które omówiliśmy we wzorze i wyprowadzeniu.

• Hipotezy: Zdarzenia dziejące się w przykładowej przestrzeni I ₁ , I ₂ ,… I _N nazywa się hipotezami

• Prawdopodobieństwo priorytetowe: Prawdopodobieństwo priorytetowe to początkowe prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przed uwzględnieniem jakichkolwiek nowych danych. P(E_I) jest prawdopodobieństwem apriorycznym hipotezy E_I.

• Prawdopodobieństwo późniejsze: Prawdopodobieństwo późniejsze to zaktualizowane prawdopodobieństwo zdarzenia po uwzględnieniu nowych informacji. Prawdopodobieństwo P(E_I|A) jest traktowane jako prawdopodobieństwo późniejsze hipotezy E_I.

Warunkowe prawdopodobieństwo

• Prawdopodobieństwo zdarzenia A oparte na wystąpieniu innego zdarzenia B nazywa się warunkowe prawdopodobieństwo .
• Jest oznaczony jako P(A|B) i reprezentuje prawdopodobieństwo zdarzenia A, gdy zdarzenie B już miało miejsce.

Wspólne prawdopodobieństwo

Kiedy mierzone jest prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch kolejnych zdarzeń jednocześnie i w tym samym czasie, oznacza się je jako prawdopodobieństwo łączne. Dla dwóch zdarzeń A i B oznacza się to łącznym prawdopodobieństwem jako: P(A∩B).

Zmienne losowe

Zmienne o wartościach rzeczywistych, których możliwe wartości są określone w eksperymentach losowych, nazywane są zmiennymi losowymi. Prawdopodobieństwo znalezienia takich zmiennych jest prawdopodobieństwem eksperymentalnym.

Zastosowania twierdzenia Bayesa

Wnioskowanie bayesowskie jest bardzo ważne i znalazło zastosowanie w różnych dziedzinach, w tym w medycynie, nauce, filozofii, inżynierii, sporcie, prawie itp., a wnioskowanie bayesowskie wywodzi się bezpośrednio z twierdzenia Bayesa.

Przykład: Twierdzenie Bayesa definiuje dokładność testu lekarskiego, biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo choroby u danej osoby i ogólną dokładność testu.

Różnica między prawdopodobieństwem warunkowym a twierdzeniem Bayesa

Różnicę między prawdopodobieństwem warunkowym a twierdzeniem Bayesa można zrozumieć za pomocą tabeli podanej poniżej:

Twierdzenie o całkowitym prawdopodobieństwie

Niech E₁, I₂, . . ., I_Njest wzajemnie wykluczającymi się i wyczerpującymi zdarzeniami związanymi z losowym eksperymentem i pozwala E być zdarzeniem, które zachodzi z pewnym E_I. Następnie udowodnij to

P(E) = ^N ∑ _ja=1 ROBIĆ SIKU _I ) . P(E _J )

Dowód:

Niech S będzie przestrzenią próbną. Następnie,

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ Jeden i E_I∩ E_J= ∅ dla i ≠ j.

mi = mi ∩ S

⇒ mi = mi ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_N)

⇒ mi = (E ∩ mi₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_N)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_N)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_N)

{Dlatego (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_N)} są parami rozłączne}

⇒ P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + . . . + P(E/E_N) . P(E_N) [na podstawie twierdzenia o mnożeniu]

⇒ P(E) =^N∑_ja=1ROBIĆ SIKU_I) . P(E_I)

Artykuły związane z twierdzeniem Bayesa

• Rozkład prawdopodobieństwa
• Twierdzenie Bayesa dotyczące prawdopodobieństwa warunkowego
• Permutacje i kombinacje
• Dwumian newtona

Wniosek – twierdzenie Bayesa

Twierdzenie Bayesa oferuje potężne ramy umożliwiające aktualizację prawdopodobieństwa hipotezy w oparciu o nowe dowody lub informacje. Uwzględniając wcześniejszą wiedzę i aktualizując ją zaobserwowanymi danymi, twierdzenie Bayesa pozwala na dokładniejsze i bardziej świadome podejmowanie decyzji w wielu dziedzinach, w tym w statystyce, uczeniu maszynowym, medycynie i finansach. Jej zastosowania obejmują diagnostykę medyczną i ocenę ryzyka, filtrowanie spamu i przetwarzanie języka naturalnego.

Zrozumienie i zastosowanie twierdzenia Bayesa umożliwia nam dokonywanie lepszych przewidywań, szacowanie niepewności i wyciąganie znaczących wniosków z danych, co ostatecznie zwiększa naszą zdolność do podejmowania świadomych decyzji w złożonych i niepewnych sytuacjach.

Sprawdź także:

pyton __imię__

• Twierdzenie Bayesa w eksploracji danych
• Twierdzenie Bayesa w sztucznej inteligencji
• Twierdzenie Bayesa w uczeniu maszynowym

Przykłady twierdzeń Bayesa

Przykład 1: Osoba podjęła pracę. Prawdopodobieństwo ukończenia pracy w terminie przy deszczu i bez deszczu wynosi odpowiednio 0,44 i 0,95. Jeżeli prawdopodobieństwo, że będzie padać deszcz wynosi 0,45, to określ prawdopodobieństwo, że praca zostanie wykonana w terminie.

Rozwiązanie:

Niech E₁będzie w przypadku, gdy zadanie wydobywcze zostanie ukończone w terminie i E₂niech będzie deszcz. Mamy,

P(A) = 0,45,

P(brak deszczu) = P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,45 = 0,55

Z prawa prawdopodobieństwa mnożenia

P(E₁) = 0,44 i P(E₂) = 0,95

Ponieważ zdarzenia A i B tworzą podziały przestrzeni próbki S, zgodnie z twierdzeniem o całkowitym prawdopodobieństwie mamy

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Zatem prawdopodobieństwo, że zadanie zostanie wykonane w terminie, wynosi 0,7205

Przykład 2: Istnieją trzy urny zawierające 3 kule białe i 2 czarne; 2 białe i 3 czarne kule; Odpowiednio 1 kula czarna i 4 białe. Prawdopodobieństwo wybrania każdej urny jest równe. Jedna kula ma równe prawdopodobieństwo, wybrana losowo. jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana zostanie kula biała?

Rozwiązanie:

Niech E₁, I₂i E₃będą zdarzeniami wyboru odpowiednio pierwszej, drugiej i trzeciej urny. Następnie,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Niech E będzie zdarzeniem, w którym wylosowana zostanie kula biała. Następnie,

ROBIĆ SIKU₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym mamy

P(E) = P(E/E₁) . P(E₁) + P(E/E₂) . P(E₂) + P(E/E₃) . P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Przykład 3: Karta z talii 52 kart została zgubiona. Z pozostałych kart z talii losujemy dwie karty i okazuje się, że obie są kierami. oblicz prawdopodobieństwo, że zgubiona karta będzie kierem.

Rozwiązanie:

Niech E₁, I₂, I_3,i E₄będą to zdarzenia polegające na utracie karty składającej się odpowiednio z kier, trefl, pik i karo.

Następnie P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Niech E będzie zdarzeniem polegającym na wylosowaniu 2 serc z pozostałych 51 kart. Następnie,

P(E|E₁) = prawdopodobieństwo wylosowania 2 kierów, przy założeniu, że brakuje karty kier

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = prawdopodobieństwo wylosowania 2 trefl, przy założeniu, że brakuje karty trefl

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = prawdopodobieństwo wylosowania 2 pików, przy braku karty kier

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = prawdopodobieństwo wylosowania 2 karo, przy założeniu, że brakuje karty karo

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Dlatego,

P(E₁|E) = prawdopodobieństwo, że zgubioną kartą będzie kier, biorąc pod uwagę, że z pozostałych 51 kart wylosowano 2 serca

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

tablica.z Java

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Zatem wymagane prawdopodobieństwo wynosi 0,22.

Przykład 4: Załóżmy, że 15 mężczyzn na 300 mężczyzn i 25 kobiet na 1000 jest dobrymi mówcami. Mówca jest wybierany losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że wybrany zostanie mężczyzna. Załóżmy, że jest równa liczba mężczyzn i kobiet.

Rozwiązanie:

Gievn,

• Całkowita liczba mężczyzn = 300
• Razem kobiety = 1000
• Dobrzy mówcy wśród mężczyzn = 15
• Dobrzy mówcy wśród kobiet = 25

Ogólna liczba dobrych mówców = 15 (od mężczyzn) + 25 (od kobiet) = 40

Prawdopodobieństwo wyboru mówcy płci męskiej:

P(Mówca) = Liczba mówców płci męskiej / całkowita liczba mówców = 15/40

Przykład 5: Wiadomo, że mężczyzna kłamie 1 na 4 razy. Rzuca kostką i stwierdza, że ​​wypadła szóstka. Znajdź prawdopodobieństwo, że rzeczywiście będzie to szóstka.

Rozwiązanie:

Za rzutem kostką niech

I₁= zdarzenie polegające na zdobyciu szóstki,

I₂= zdarzenie polegające na nieotrzymaniu szóstki i

E = zdarzenie, w którym mężczyzna melduje, że jest to szóstka.

nazwa użytkownika

Następnie P(E₁) = 1/6 i P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = prawdopodobieństwo, że mężczyzna zgłosi, że sześć ma miejsce, podczas gdy sześć rzeczywiście miało miejsce

⇒ P(E|E₁) = prawdopodobieństwo, że mężczyzna mówi prawdę

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = prawdopodobieństwo, że mężczyzna zgłosi, że sześć ma miejsce, podczas gdy sześć w rzeczywistości nie miało miejsca

⇒ P(E|E₂) = prawdopodobieństwo, że mężczyzna nie mówi prawdy

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Prawdopodobieństwo otrzymania szóstki, biorąc pod uwagę, że mężczyzna podaje, że wynosi szóstka

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [według twierdzenia Bayesa]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Zatem wymagane prawdopodobieństwo wynosi 3/8.

Często zadawane pytania dotyczące twierdzenia Bayesa

Co to jest twierdzenie Bayesa?

Twierdzenie Bayesa, jak sama nazwa wskazuje, jest twierdzeniem matematycznym używanym do wyznaczania prawdopodobieństwa warunkowości zdarzenia. Prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo zdarzenia, które nastąpi w przyszłości. Oblicza się go na podstawie wcześniejszych wyników wydarzeń.

Kiedy stosuje się twierdzenie Bayesa?

Twierdzenie Bayesa ma szeroki zakres zastosowań, zwłaszcza w dziedzinach zajmujących się aktualizacją prawdopodobieństw na podstawie nowych danych. Reguła Bayesa pozwala obliczyć prawdopodobieństwo późniejsze (lub zaktualizowane). Służy do obliczania prawdopodobieństwa warunkowego zdarzeń.

Jakie są kluczowe terminy umożliwiające zrozumienie twierdzenia Bayesa?

Oto niektóre z kluczowych terminów:

• Prawdopodobieństwo wcześniejsze (P(A))
• Prawdopodobieństwo późniejsze (P(A | B))
• Prawdopodobieństwo (P(B | A))
• Prawdopodobieństwo krańcowe (P(B))

Kiedy stosować twierdzenie Bayesa?

Twierdzenie Bayesa ma zastosowanie, gdy podane jest prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia, służy do znalezienia odwrotnego prawdopodobieństwa zdarzenia.

Czym twierdzenie Bayesa różni się od prawdopodobieństwa warunkowego?

Twierdzenie Bayesa służy do określenia prawdopodobieństwa zdarzenia na podstawie poprzednich warunków zdarzenia. Natomiast twierdzenie Bayesa wykorzystuje prawdopodobieństwo warunkowe do znalezienia odwrotnego prawdopodobieństwa zdarzenia.

Jaki jest wzór na twierdzenie Bayesa?

Wzór twierdzenia Bayesa wyjaśniono poniżej,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)