Pochodna odwrotnej funkcji trygonometrycznej odnosi się do szybkości zmian odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Wiemy, że pochodną funkcji jest szybkość zmian funkcji względem zmiennej niezależnej. Zanim się tego nauczymy, warto poznać wzory na różniczkowanie funkcji trygonometrycznych. Aby znaleźć pochodną odwrotnej funkcji trygonometrycznej, najpierw przyrównamy funkcję trygonometryczną do innej zmiennej, aby znaleźć jej odwrotność, a następnie różniczkujemy ją za pomocą ukrytego wzoru na różniczkowanie.

W tym artykule poznamy D pochodna odwrotnej funkcji trygonometrycznej, wzory na różniczkowanie odwrotnej funkcji trygonometrycznej, i rozwiąż na ich podstawie kilka przykładów. Zanim jednak przejdziemy dalej, odświeżmy koncepcję I Odwrotne funkcje trygonometryczne i różniczkowanie ukryte.

• Odwrotne funkcje trygonometryczne
• Co to jest ukryte różnicowanie?
• Co to jest pochodna odwrotnych funkcji trygonometrycznych?
• Dowód pochodnej odwrotnej funkcji trygonometrycznej
• Wzór na pochodną odwrotną trygonometryczną
• Przykłady pochodnej odwrotnej trygonometrii

Odwrotne funkcje trygonometryczne

Odwrotne funkcje trygonometryczne są odwrotnymi funkcjami stosunków trygonometrycznych, tj. sin, cos, tan, cot, sec i cosec. Funkcje te są szeroko stosowane w takich dziedzinach, jak fizyka, matematyka, inżynieria i inne dziedziny badań. Podobnie jak dodawanie i odejmowanie są swoimi odwrotnościami, to samo dotyczy odwrotności funkcji trygonometrycznych.

bez θ = x

⇒ ja = s W ⁻¹ X ​

Reprezentacja odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Są one reprezentowane przez dodanie łuk w przedrostku lub przez dodanie -1 do potęgi.

Odwrotny sinus można zapisać na dwa sposoby:

• bez^-1X
• Arcsin x

To samo dotyczy Cos i Tan.

Notatka: Nie myl grzechu^-1x z (grzechem x)^-1. Oni są różni. Pisanie grzechu^-1x to sposób na zapisanie odwrotności sinusa, podczas gdy (sin x)^-1oznacza 1/grzech x.

Dziedzina odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Wiemy, że funkcja jest różniczkowalna tylko wtedy, gdy jest ciągła w tym punkcie i jeśli funkcja jest ciągła w danym punkcie, to ten punkt jest dziedziną funkcji. Dlatego powinniśmy poznać dziedzinę odwrotnych funkcji trygonometrycznych dla tego samego.

Przyjrzyjmy się teraz pokrótce technice ukrytego różnicowania.

Co to jest ukryte różnicowanie?

Ukryte różnicowanie to metoda wykorzystująca regułę łańcuchową do różnicowania niejawnie zdefiniowanych funkcji. Funkcje ukryte to takie, które zawierają dwie zmienne zamiast jednej. W takim przypadku czasami możemy jawnie przekonwertować funkcję na jedną zmienną, ale nie zawsze tak jest. Ponieważ generalnie nie jest łatwo znaleźć funkcję jawnie, a następnie ją różniczkować. Zamiast tego możemy całkowicie rozróżnić f(x, y), tj. obie zmienne, a następnie rozwiązać resztę równania, aby znaleźć wartość f'(x).

Przeczytaj szczegółowo: Rachunek matematyczny

Co to jest pochodna odwrotnych funkcji trygonometrycznych?

Odwrotna pochodna trygonometryczna jest pochodną odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Jest sześć funkcje trygonometryczne i istnieje odwrotność każdej z tych funkcji trygonometrycznych. To są grzechy^-1x, bo^-1x, więc^-1x, cosek^-1x, sek^-1x, łóżeczko^-1X. Pochodną odwrotnych funkcji trygonometrycznych możemy znaleźć, stosując metodę utajonego różniczkowania. Dowiedzmy się najpierw, jakie są pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

• Pochodna grzechu^-1x to d(grzech^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) dla wszystkich x ϵ (-1, 1)
• Pochodna cos^-1x to d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) dla wszystkich x ϵ (-1, 1)
• Pochodna tan^-1x oznacza d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) dla wszystkich x ϵ R
• Pochodna cosec^-1x oznacza d(cosec^-1x)/dx = -1/ dla wszystkich x ϵ R – [-1, 1]
• Pochodna sek^-1x oznacza d (sek^-1x)/dx = 1/x dla wszystkich x ϵ R – [-1, 1]
• Pochodna słowa łóżeczko dziecięce^-1x to d(łóżeczko^-1x)/dx = -1/(1 + x²) dla wszystkich x ϵ R

Obraz odwrotnej pochodnej trygonometrycznej znajduje się poniżej:

Teraz dowiedzieliśmy się, jakie są pochodne wszystkich sześciu odwrotnych funkcji trygonometrycznych, teraz dowiemy się, jak znaleźć pochodną sześciu odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Dowód pochodnej odwrotnej funkcji trygonometrycznej

Odwrotne funkcje trygonometryczne różniczkujemy, korzystając z pierwszej zasady, a także korzystając z ukrytego wzoru na różniczkowanie, który obejmuje również zastosowanie reguły łańcuchowej. Znalezienie pochodnej odwrotnych funkcji trygonometrycznych przy użyciu pierwszej zasady jest długotrwałym procesem. W tym artykule dowiemy się, jak różniczkować odwrotne funkcje trygonometryczne za pomocą różniczkowania ukrytego. Pochodną (dy/dx) odwrotnej funkcji trygonometrycznej możemy znaleźć, wykonując następujące kroki

Krok 1: Załóżmy, że funkcje trygonometryczne mają postać sin y = x

Krok 2: Znajdź pochodną powyższej funkcji, korzystając z różniczkowania ukrytego

Krok 3: Oblicz dy/dx

Krok 4: Zastąp wartość funkcji trygonometrycznej obecną w kroku 3 tożsamościami trygonometrycznymi.

Pochodna grzechu odwrotna x

Załóżmy, że grzech y = x

Różniczkowanie obu stron względem x

⇒ co i. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Ponieważ wiemy, że Sin²i + Kos²y = 1

⇒ Kos²y = 1 – grzech²I

Java do char

⇒ przytulny = √(1 – grzech²y) = √(1 – x²), ponieważ mamy grzech y = x

Umieszczając tę ​​wartość cos y w równaniu (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²) gdzie y = grzech^-1X

Pochodna odwrotności cos X

Załóżmy, że cos y = x

Różniczkowanie obu stron względem x

⇒ – bez i. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Ponieważ wiemy, że Sin²i + Kos²y = 1

⇒ bez²y = 1 – sałata²I

⇒ grzech y = √(1 – sałata²y) = √(1 – x²), ponieważ mamy cos y = x

Umieszczając tę ​​wartość sin y w równaniu (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²) gdzie y = cos^-1X

Pochodna tangenu odwrotnego X

Załóżmy, że tan y = x

Różniczkowanie obu stron względem x

⇒ sek²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sek²i →(i)

Ponieważ wiemy, że sek²a więc²y = 1

⇒ sek²y = 1 + opalenizna²I

⇒ sek²y = (1 + tan²y) = (1 + x²), ponieważ mamy tan y = x

Umieszczenie tej wartości sec²y w równaniu (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) gdzie y = tan^-1X

Pochodna odwrotności łóżeczka X

Załóżmy, że łóżko y = x

Różniczkowanie obu stron względem x

⇒ –cosek²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosek²i →(i)

Ponieważ wiemy, że csec²i – łóżeczko dziecięce²y = 1

⇒ cosek²y = 1 + łóżeczko dziecięce²I

⇒ cosek²y = (1 + łóżeczko²y) = (1 + x²), ponieważ mamy łóżeczko y = x

Umieszczenie tej wartości cosec²y w równaniu (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) gdzie y = łóżeczko dziecięce^-1X

Pochodna sec odwrotności X

Załóżmy, że sec y = x

Różniczkowanie obu stron względem x

⇒ s y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/s y.tan y →(i)

Ponieważ wiemy, że sek²a więc²y = 1

⇒ więc²y = sek²i 1

⇒ tan y = √(sek²y – 1) = √(x²– 1)ponieważ mamy sec y = x

Umieszczając tę ​​wartość tan y w równaniu (i)

dy/dx = 1/x gdzie s y = x i y = sek^-1X

Pochodna odwrotności cosec X

Załóżmy, że cosec y = x

Różniczkowanie obu stron względem x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Ponieważ wiemy, że cosec²i – łóżeczko dziecięce²y = 1

⇒ łóżeczko²y = cosek²i 1

⇒ łóżko y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1)ponieważ mamy cosec y = x

Umieszczając tę ​​wartość tan y w równaniu (i)

dy/dx = -1/x gdzie cosec y = x i y = cosec^-1X

Wzór na pochodną odwrotną trygonometryczną

Teraz nauczyliśmy się różniczkować odwrotne funkcje trygonometryczne, dlatego przyjrzymy się teraz wzorom na pochodną odwrotnych funkcji trygonometrycznych, które można zastosować bezpośrednio w zadaniach. Poniżej znajduje się tabela pochodnych odwrotnego wzoru funkcji trygonometrycznej.

Czytaj więcej,

• Pochodna w formie parametrycznej
• Formuły pochodne
• Zastosowanie pochodnej
• Pochodna funkcji wykładniczej

Przykłady pochodnej odwrotnej trygonometrii

Przykład 1: Odróżnij grzech ^-1 (X)?

Rozwiązanie:

Pozwalać, I = bez ⁻¹( X )

Biorąc sinus po obu stronach równania, otrzymujemy,

grzech y = grzech(grzech^-1X)

Dzięki właściwości odwrotnej trygonometrii wiemy, że grzech(grzech^-1x) = x

grzech y = x

Teraz różniczkując obie strony wrt do x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Możemy to jeszcze bardziej uprościć, korzystając z poniższej obserwacji:

bez²i + sałata²y = 1

X²+ bo²y = 1 {Jak grzech y = x}

sałata²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Zastępując wartość, otrzymujemy

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Przykład 2: Zróżniczkuj cos ^-1 (X)?

Rozwiązanie:

Pozwalać,

I = ponieważ⁻¹( X )

Biorąc cosinus po obu stronach równania, otrzymujemy,

cos y = cos (cos^-1X)

Z właściwości odwrotnej trygonometrii wiemy, że cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Teraz różniczkując obie strony wrt do x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

co to jest przesyłanie katalogu

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Możemy to jeszcze bardziej uprościć, korzystając z poniższej obserwacji:

bez²i + sałata²y = 1

bez²y + x²= 1 {Jak cos y = x}

bez²y = 1-x²

grzech y = √(1 – x²)

Zastępując wartość, otrzymujemy

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Przykład 3: Odróżnij opaleniznę ^-1 (X)?

Rozwiązanie:

Pozwalać, I = tak⁻¹( X )

Biorąc opaleniznę po obu stronach równania, otrzymujemy,

tan y = tan(tan^-1X)

Z właściwości odwrotnej trygonometrii wiemy, że tan(tan^-1x) = x

tan y = x

Teraz różniczkując obie strony wrt do x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sek²(x).dy/dx= 1

bash, jeśli jeszcze

dy/dx = 1/sek²X

Możemy to jeszcze bardziej uprościć, korzystając z poniższej obserwacji:

sek²a więc²y = 1

sek²y–x²= 1

sek²y = 1 + x²

Zastępując wartość, otrzymujemy

dy/dx = 1/sek²I

dy/dx = 1/(1 + x²)

Przykład 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Znajdź dy/dx przy x = 1/2?

Rozwiązanie:

Metoda 1 (przy użyciu ukrytego różnicowania)

Dany, I = sałata ⁻¹(-2 X ²)

⇒ kosm I = −2 X ²

Różniczkowanie obu stron wrt x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Uproszczenie

bez²i + sałata²y = 1

bez²i + (-2x²)²= 1 {Jak cos y = -2x²}

bez²y + 4x⁴= 1

bez²y = 1 – 4x⁴

grzech y = √(1 – 4x⁴)

Wstawiając uzyskaną wartość otrzymujemy,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Metoda 2 (używając reguły łańcuchowej, ponieważ znamy różniczkowanie cos odwrotnego x)

Dany, I = sałata ⁻¹(-2 X ²)

Różniczkowanie obu stron wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Przykład 5: Różnicowanie egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Rozwiązania:

Pozwalać,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Różniczkowanie obu stron wrt x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Pytania dotyczące pochodnej odwrotnej trygonometrii

Wypróbuj poniższe pytania z pytań dotyczących pochodnej odwrotnej trygonometrii

Pytanie 1: Odróżnij grzech ^-1 (3x – 4x ³ ) dla x ϵ -1/2