WYZNACZNIK MACIERZY 3×3

Wyznacznik jest podstawowym pojęciem algebry liniowej używanym do znalezienia pojedynczej wartości skalarnej dla danej macierzy. W tym artykule wyjaśnimy, czym jest macierz 3 × 3 i jak krok po kroku obliczyć wyznacznik macierzy 3 × 3, a także jej zastosowania. Niezależnie od tego, czy jesteś uczniem uczącym się algebry liniowej, czy entuzjastą szukającym głębszego zrozumienia operacji na macierzach, zrozumienie wyznacznika macierzy 3 × 3 jest cenną umiejętnością, którą warto nabyć.

Co jest wyznacznikiem macierzy?

Wyznacznik macierzy jest pojedynczą liczbą obliczoną z macierzy kwadratowej. W dziedzinie algebry liniowej wyznaczniki znajdują się za pomocą wartości znajdujących się w macierzy kwadratowej. Liczba ta pełni rolę współczynnika skalującego, wpływającego na transformację macierzy. Wyznaczniki są przydatne przy rozwiązywaniu układów równań liniowych, znajdowaniu odwrotności macierzy i różnych operacjach różniczkowych.

Co to jest macierz 3 × 3?

Macierz 3×3 to a matryca w którym liczba wierszy i kolumn jest równa 3. Ponieważ liczba wierszy i kolumn jest równa, stąd 3 × 3 jest macierzą kwadratową rzędu 3 × 3. Macierz przypomina tabelę złożoną z liczb, uporządkowaną w wiersze i kolumny. Służy do przechowywania i pracy z danymi w matematyce i innych dziedzinach. Natomiast macierz 3 × 3 to specyficzny typ macierzy, który składa się z trzech wierszy i trzech kolumn. Można to przedstawić jako:

Macierz 3 × 3

Właściwości macierzy 3 × 3

Podobnie jak inne macierze, macierze 3 × 3 również mają pewne ważne właściwości.

Matryca kwadratowa : Macierz 3 × 3 ma trzy wiersze i trzy kolumny, co czyni ją macierzą kwadratową.

Wyznacznik: Macierz 3 × 3 ma wyznacznik, czyli wartość liczbową niezbędną do rozwiązywania równań i znajdowania odwrotności.

Mnożenie macierzy: Możesz pomnożyć macierz 3 × 3 przez inną macierz, jeśli liczba kolumn w pierwszej macierzy odpowiada liczbie wierszy w drugiej.

Odwrotność: Macierz 3 × 3 może mieć odwrotność, jeśli jej wyznacznik jest niezerowy. Macierz odwrotna pomnożona przez macierz pierwotną daje macierz jednostkową.

Wyznacznik wzoru macierzowego 3 × 3

Istnieją różne metody obliczania wyznacznika macierzy. Najbardziej powszechnym podejściem jest rozbicie danej macierzy 3 × 3 na mniejsze wyznaczniki 2 × 2. Upraszcza to proces znajdowania wyznacznika i jest szeroko stosowane w algebrze liniowej.

Weźmy macierz kwadratową 3 × 3 zapisaną jako:

Aby obliczyć wyznacznik macierzy A, tj. |A|.

Rozwiń macierz wzdłuż elementów pierwszego rzędu.

Dlatego,

posortowana krotka Pythona

Jak znaleźć wyznacznik macierzy 3 × 3?

Przyjrzyjmy się obliczeniom macierzy 3 × 3 na przykładzie. Dla podanej macierzy 3 × 3 poniżej.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Krok 1: Wybierz wiersz lub kolumnę odniesienia

Na początek wybierz wiersz i kolumnę. Załóżmy, że w tym przykładzie weźmiemy pierwszy element (2) jako odniesienie do obliczenia wyznacznika macierzy 3 × 3.

Zatem rozwijając się wzdłuż rzędu R₁

usunąć

Krok 2: Przekreśl wiersz i kolumnę

Usuń wybrany wiersz i kolumnę, aby uprościć je w macierzy 2 × 2.

Macierz 2×2

Krok 3: Znajdź wyznacznik macierzy 2 × 2

Znajdź wyznacznik macierzy 2 × 2, korzystając ze wzoru

Wyznacznik = (a × d) – (b × c)

Pomnóż krzyżowo

Tutaj a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

umieszczając te wartości w powyższym wzorze na wyznacznik, otrzymujemy

Wyznacznik = (0 × 2) – (1 × -1)

Wyznacznik = 0- (-1)

Wyznacznik = 0+1

∴ Wyznacznik macierzy 2 × 2 = 1

Krok 4: Pomnóż przez wybrany element

Pomnóż wyznacznik macierzy 2 × 2 przez wybrany element z wiersza odniesienia (czyli w tym przypadku 2,1 i 3):

pierwszy element = 2 × 1 = 2

Krok 5: Powtórz ten proces dla drugiego elementu w wybranym wierszu odniesienia

Dla drugiego elementu

Znajdź wyznacznik drugiego elementu 1, wstawiając do wzoru wartości macierzy 2×2

Wyznacznik = (a × d) – (b × c)

Tutaj a = 4, b= 1, c= 2, d= 2

Wyznacznik = (4 × 2) – (1 × 2)

Wyznacznik = 8 – 2

Wyznacznik = 6

Teraz pomnóż wyznacznik macierzy 2 × 2 przez wybrany element z wiersza odniesienia (czyli w tym przypadku 1):

drugi element = 1 × 6 = 6

Krok 6: Powtórz ten proces dla trzeciego elementu w wybranym wierszu odniesienia

Dla trzeciego elementu

Znajdź wyznacznik trzeciego elementu 3, wstawiając wartości macierzy 2×2 do wzoru

Wyznacznik = (a × d) – (b × c)

Tutaj a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

Wyznacznik = (4 × -1) – (0 × 2)

Wyznacznik = -4 – 0

Wyznacznik = -4

Teraz pomnóż wyznacznik macierzy 2×2 przez wybrany element z wiersza odniesienia (czyli w tym przypadku 3):

drugi element = 3 × (-4) = -12

Krok 7: Korzystanie z formuły

Dodaj wszystkie wyniki z kroków 4, 5 i 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 jest wyznacznikiem macierzy 3 × 3.

Zastosowanie wyznacznika macierzy 3 × 3

Wyznacznik macierzy można wykorzystać do znalezienia odwrotności i rozwiązania układu równań liniowych. W ten sposób uczymy się znajdować odwrotność macierzy 3 × 3, a także rozwiązywać układ równań liniowych, korzystając z reguły Cramera, która wymaga użycia wyznacznika macierzy 3 × 3.

Odwrotność macierzy 3 × 3

Wzór na znalezienie odwrotności macierzy kwadratowej A jest następujący:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Gdzie,

A-1 to odwrotność macierzy A .
Det(A) reprezentuje wyznacznik macierzy A.
adj(A) oznacza sprzężenie macierzy A

Mówiąc najprościej, możesz wykonać następujące kroki, aby znaleźć odwrotność macierzy:

Krok 1. Oblicz wyznacznik macierzy A.

Krok 2. Znajdź sprzężoną macierz A.

Krok 3. Pomnóż każdy element elementu pomocniczego przez 1/det(A).

Wzór ten stosuje się do macierzy kwadratowych (macierzy o tej samej liczbie wierszy i kolumn) i zakłada, że wyznacznik jest niezerowy, co jest warunkiem koniecznym, aby macierz miała odwrotność.

Reguła Cramera

Reguła Cramera podaje wzór na rozwiązanie układu równań liniowych za pomocą wyznaczników. Dla układu równań liniowych z n zmiennymi podaje się postać

AX=B

Gdzie,

A = współczynnik macierzy kwadratowej
X = macierz kolumnowa zawierająca zmienne
B = macierz kolumnowa zawierająca stałe

Rozważmy następujący układ równań liniowych

A₁x + b₁y + c₁z + . . . = re₁

A₂x + b₂y + c₂z + . . . = re₂

. . .

A_Nx + b_Ny + c_Nz + . . . = re_N

Zmienne x, y, z, … wyznaczane są za pomocą następujących wzorów:

x = D_X/D
y = D_I/D
z = D_z/D

Gdzie:

D jest wyznacznikiem macierzy współczynników.
D_Xjest wyznacznikiem macierzy otrzymanej przez zastąpienie współczynników x stałymi po prawej stronie.
D_Ijest wyznacznikiem macierzy otrzymanej przez zastąpienie współczynników y
D_zjest wyznacznikiem macierzy otrzymanej przez zastąpienie współczynników z

Reguła Cramera ma zastosowanie, gdy wyznacznik macierzy współczynników D jest różny od zera. Jeśli D = 0, nie można zastosować reguły, która wskazuje albo na brak rozwiązania, albo na nieskończenie wiele rozwiązań w zależności od konkretnego przypadku.

Sprawdź także

Rodzaje macierzy
Układ równań liniowych z trzema zmiennymi
Operacje na macierzach

Wyznacznik przykładów rozwiązanych macierzy 3 × 3

Przykład 1: Znajdź wyznacznik macierzy A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Wyznacznik A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Wyznacznik A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Wyznacznik A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Wyznacznik A = (-44) +15 – 4

⇒ Wyznacznik A =-44+11

∴ Wyznacznik A tj. |A| = (-33)

Przykład 2: Znajdź wyznacznik macierzy B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Wyznacznik B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Wyznacznik B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Wyznacznik B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Wyznacznik B =6-12

⇒ Wyznacznik B = (-6)

∴ Wyznacznik B tj. |B| = 6

Przykład 3: Znajdź wyznacznik macierzy C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Wyznacznik macierzy C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Wyznacznik C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Wyznacznik C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Wyznacznik C = 24 + 10 -8

⇒ Wyznacznik C = 26

∴ Wyznacznik C, tj. |C| = 26

Przykład 4: Rozwiąż podany układ równań, korzystając z reguły Cramera

2x + 3 lata – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Rozwiązanie:

Krok 1: Najpierw znajdź wyznacznik D macierzy współczynników.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

O rozwiązaniu tego wyznacznika D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10
błąd atrybutu Pythona

⇒ D= -19

Krok 2: Teraz znajdź wyznaczniki D_X,D_Ii D_z

Dla D_X, zastępujemy współczynniki x stałymi po prawej stronie:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Dla D_I, zastępujemy współczynniki y stałymi:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Dla D_z, zastępujemy współczynniki z stałymi:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

O rozwiązaniu wyznacznika D_X

D_X= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_X= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_X= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_X= -49 + 42 + 28

Zatem D_X= 21

O rozwiązaniu wyznacznika D_I

D_I= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_I= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_I= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_I= -68 + 14 + 24

⇒ D_I= -30

O rozwiązaniu wyznacznika D_z

D_z= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_z= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_z= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_z= 20 – 6 – 98

⇒ D_z= -84

Krok 3: Teraz wstaw wartości D, D_X, D_Ii D_zwe wzorze reguły Carmera, aby znaleźć wartości x, y i z.

x = D_X/D = 21/(-19)

y = D_I/D = (-30)/(-19)

z = D_z/D = (-84)/(-19)

Ćwicz pytania dotyczące wyznacznika macierzy 3 × 3

Pytanie 1. Oblicz wyznacznik macierzy tożsamości:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Pytanie 2. Znajdź wyznacznik macierzy:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Pytanie 3. Określ wyznacznik macierzy:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Pytanie 4. Oblicz wyznacznik macierzy:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Pytanie 5. Znajdź wyznacznik macierzy:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Pytanie 6. Określ wyznacznik macierzy:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}