Macierz to prostokątna tablica liczb, symboli, punktów lub znaków, z których każdy należy do określonego wiersza i kolumny. Macierz identyfikowana jest poprzez jej kolejność podaną w postaci wierszy ⨯ i kolumn. Liczby, symbole, punkty lub znaki obecne wewnątrz macierzy nazywane są elementami macierzy. Położenie każdego elementu jest określone przez wiersz i kolumnę, do której należy.

Macierze są ważne dla uczniów klasy 12, mają także duże znaczenie w matematyce inżynierskiej. W tym wprowadzającym artykule na temat macierzy dowiemy się szczegółowo o typach macierzy, transpozycji macierzy, randze macierzy, sprzężeniu i odwrotności macierzy, wyznacznikach macierzy i wielu innych szczegółach.

Spis treści

• Czym są matryce?
• Porządek matrycy
• Przykłady macierzy
• Operacje na macierzach
• Dodawanie macierzy
• Skalarne mnożenie macierzy
• Mnożenie macierzy
• Własności dodawania i mnożenia macierzy
• Transpozycja macierzy
• Ślad matrixa
• Rodzaje macierzy
• Wyznacznik macierzy
• Odwrotność macierzy
• Rozwiązywanie równań liniowych za pomocą macierzy
• Ranga matrycy
• Wartość własna i wektory własne macierzy

Czym są matryce?

Macierze to prostokątne tablice liczb, symboli lub znaków, w których wszystkie te elementy są rozmieszczone w każdym wierszu i kolumnie. Tablica to zbiór elementów rozmieszczonych w różnych miejscach.

Załóżmy, że punkty są rozmieszczone w przestrzeni, a każdy z nich należy do określonej lokalizacji, wówczas tworzona jest tablica punktów. Ta tablica punktów nazywana jest macierzą. Elementy zawarte w macierzy nazywane są elementami macierzy. Każda macierz ma skończoną liczbę wierszy i kolumn, a każdy element należy tylko do tych wierszy i kolumn. Liczba wierszy i kolumn występujących w macierzy określa porządek macierzy. Załóżmy, że macierz ma 3 wiersze i 2 kolumny, a rząd macierzy jest określony jako 3⨯2.

Definicja macierzy

Prostokątna tablica liczb, symboli lub znaków nazywana jest macierzą. Macierze identyfikuje się według ich kolejności. Kolejność macierzy podaje się w postaci liczby wierszy ⨯ liczby kolumn. Macierz jest reprezentowana jako [P]_m⨯ngdzie P to macierz, m to liczba wierszy, a n to liczba kolumn. Macierze w matematyce są przydatne w rozwiązywaniu wielu problemów równań liniowych i wielu innych.

Porządek matrycy

Porządek macierzy mówi o liczbie wierszy i kolumn występujących w macierzy. Porządek macierzy jest przedstawiany jako liczba wierszy razy liczba kolumn. Załóżmy, że jeśli macierz ma 4 wiersze i 5 kolumn, to rząd macierzy będzie wynosić 4⨯5. Zawsze pamiętaj, że pierwsza liczba w kolejności oznacza liczbę wierszy występujących w macierzy, a druga liczba oznacza liczbę kolumn w macierzy.

Przykłady macierzy

Przykłady macierzy są wymienione poniżej:

Przykład: egin{bmatrix} 1 & 2 3 &4 end{bmatrix}_{2 imes 2},egin{bmatrix} 1 & -1 & 2 3 & 2 & 6 4 & -2& 5\end{bmatrix}_{3 imes3}

Operacje na macierzach

Macierze podlegają różnym operacjom matematycznym, takim jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez skalar i mnożenie. Operacje te wykonuje się pomiędzy elementami dwóch macierzy, uzyskując macierz równoważną zawierającą elementy, które powstają w wyniku operacji pomiędzy elementami dwóch macierzy. Nauczmy się działanie macierzy .

Dodawanie macierzy

W dodawanie macierzy , elementy dwóch macierzy są dodawane w celu uzyskania macierzy zawierającej elementy otrzymane jako suma dwóch macierzy. Dodawanie macierzy przeprowadza się pomiędzy dwiema macierzami tego samego rzędu.

Przykład: Znajdź sumę old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} I old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Rozwiązanie:

jak przekonwertować ciąg na znak

Tutaj mamy A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}i B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

A + B =egin{bmatrix} 1& 2 4& 5 end{bmatrix}+egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ A + B =egin{bmatrix} 1 + 2 & 2 + 3 4 + 6& 5 + 7 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 3 & 5 10& 12 end{bmatrix}

Odejmowanie macierzy

Odejmowanie macierzy to różnica między elementami dwóch macierzy tego samego rzędu, dająca równoważną macierz tego samego rzędu, której elementy są równe różnicy elementów dwóch macierzy. Odejmowanie dwóch macierzy można przedstawić za pomocą dodania dwóch macierzy. Powiedzmy, że musimy odjąć macierz B od macierzy A i możemy zapisać A – B. Możemy to również zapisać jako A + (-B). Rozwiążmy przykład

Przykład: Odejmij old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} z old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix} }.

Załóżmy, że A =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}i B =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

A – B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}–egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

⇒ A – B =egin{bmatrix} 2 – 1 & 3 – 2 6 – 4 & 7 – 5 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 1 2 & 2 end{bmatrix}

Skalarne mnożenie macierzy

Skalarne Mnożenie macierzy oznacza mnożenie każdego wyrazu macierzy przez wyraz skalarny. Jeśli skalar, niech „k” zostanie pomnożony przez macierz, wówczas równoważna macierz będzie zawierać elementy równe iloczynowi skalara i elementu macierzy pierwotnej. Zobaczmy przykład:

Przykład: pomnóż 3 przez old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}}.

3[A] =egin{bmatrix} 3 imes1 & 3 imes 2 3 imes4& 3 imes5 end{bmatrix}

⇒ 3[A] =egin{bmatrix} 3 & 6 12& 15 end{bmatrix}

Mnożenie macierzy

w mnożenie macierzy , dwie macierze są mnożone w celu uzyskania jednej równoważnej macierzy. Mnożenie wykonuje się w ten sposób, że elementy wiersza pierwszej macierzy mnoży się przez elementy kolumn drugiej macierzy, a iloczyn elementów dodaje się, otrzymując pojedynczy element macierzy równoważnej. Jeżeli macierz [A]_i⨯jjest mnożony przez macierz [B]_j⨯kwtedy iloczyn jest podawany jako [AB]_ja⨯k.

Zobaczmy przykład.

Przykład: Znajdź produkt old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} I old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Rozwiązanie:

Niech A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}i B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 imes2+2 imes6 & 1 imes3+2 imes7 4 imes2+5 imes6& 4 imes3+5 imes7 end{bmatrix}

⇒AB = egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

Własności dodawania i mnożenia macierzy

Właściwości, po których następuje mnożenie i dodawanie macierzy, są wymienione poniżej:

• A + B = B + A (przemienne)
• (A + B) + C = A + (B + C) (Zespołne)
• AB ≠ BA (nieprzemienne)
• (AB) C = A (BC) (Zespołne)
• A (B+C) = AB + AC (rozdzielność)

Transpozycja macierzy

Transpozycja macierzy jest w zasadzie przestawianiem elementów wierszy w kolumnach i elementów kolumn w rzędzie w celu uzyskania równoważnej macierzy. Macierz, w której elementy wiersza pierwotnej macierzy ułożone są w kolumny lub odwrotnie, nazywana jest macierzą transpozycyjną. Macierz transpozycji jest reprezentowana jako A^T. jeśli A = [a_ja]_mxn, następnie^T= [b_ja]_nxmgdzie b_ja= za_z.

Zobaczmy przykład:

Przykład: Znajdź transpozycję egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix} .

Rozwiązanie:

jak przekonwertować liczbę całkowitą na ciąg Java

Niech A =egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

⇒ A^T=egin{bmatrix} 18 & 38 17& 47 end{bmatrix}

Własności transpozycji macierzy

Właściwości transpozycji macierzy są wymienione poniżej:

• (A^T)^T= A
• (A+B)^T= A^T+ B^T
• (AB)^T= B^TA^T

Ślad matrixa

Ślad matrixa jest sumą głównych elementów diagonalnych macierzy kwadratowej. Ślad macierzy można znaleźć tylko w przypadku macierzy kwadratowej, ponieważ elementy przekątne występują tylko w macierzach kwadratowych. Zobaczmy przykład.

Przykład: Znajdź ślad macierzy egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Załóżmy, że A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Ślad(A) = 1 + 5 + 9 = 15

Rodzaje macierzy

Na podstawie liczby obecnych wierszy i kolumn oraz wykazanych specjalnych cech, macierze dzieli się na różne typy.

• Macierz wierszowa : Macierz, w której jest tylko jeden wiersz i nie ma żadnej kolumny, nazywana jest macierzą wierszy.
• Matryca kolumnowa : Macierz, w której jest tylko jedna kolumna i teraz wiersz, nazywana jest macierzą kolumnową.
• Matryca pozioma: Macierz, w której liczba wierszy jest mniejsza niż liczba kolumn, nazywana jest macierzą poziomą.
• Matryca pionowa: Macierz, w której liczba kolumn jest mniejsza niż liczba wierszy, nazywana jest macierzą pionową.
• Macierz prostokątna : Macierz, w której liczba wierszy i kolumn jest różna, nazywana jest macierzą prostokątną.
• Matryca kwadratowa : Macierz, w której liczba wierszy i kolumn jest taka sama, nazywa się macierzą kwadratową.
• Matryca diagonalna : Macierz kwadratowa, w której elementy niediagonalne mają wartość zero, nazywana jest macierzą diagonalną.
• Macierz zerowa lub zerowa : Macierz, której wszystkie elementy są równe zero, nazywana jest macierzą zerową. Macierz zerowa nazywana jest także macierzą zerową.
• Jednostka lub macierz tożsamości : Macierz diagonalna, której wszystkie elementy przekątne wynoszą 1, nazywana jest macierzą jednostkową. Macierz jednostkowa nazywana jest także macierzą tożsamości. Macierz tożsamości jest reprezentowana przez I.
• Macierz symetryczna : Mówi się, że macierz kwadratowa jest symetryczna, jeśli transpozycja macierzy pierwotnej jest równa jej macierzy pierwotnej. tj. (A^T) = A.
• Macierz skośno-symetryczna : Macierz skośnosymetryczna (lub antysymetryczna lub antymetryczna[1]) jest macierzą kwadratową, której transpozycja jest równa jej wartości ujemnej, tj. (A^T) = -A.
• Macierz ortogonalna: Mówi się, że macierz jest ortogonalna, jeśli AA^T= A^TA = ja
• Idempotentna macierz: Macierz nazywamy idempotentną, jeśli A²= A
• Macierz inwolucyjna: Macierz nazywamy inwolucyjną, jeśli A²= ja
• Górna macierz trójkątna : Macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy poniżej przekątnej wynoszą zero, nazywana jest macierzą górną trójkątną
• Dolna macierz trójkątna : Macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy powyżej przekątnej wynoszą zero, nazywana jest macierzą dolną trójkątną
• Pojedyncza macierz : Mówi się, że macierz kwadratowa jest macierzą osobliwą, jeśli jej wyznacznik wynosi zero, tj. |A|=0
• Macierz nieosobliwa: Mówi się, że macierz kwadratowa jest macierzą nieosobliwą, jeśli jej wyznacznik jest różny od zera.

Notatka: Każdą macierz kwadratową można jednoznacznie wyrazić jako sumę macierzy symetrycznej i macierzy skośno-symetrycznej. A = 1/2 (A^T+ A) + 1/2 (A – A^T).

Ucz się więcej, Rodzaje macierzy

Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy jest liczbą związaną z tą macierzą kwadratową. Wyznacznik macierzy można obliczyć tylko dla macierzy kwadratowej. Jest reprezentowany przez |A|. Wyznacznik macierzy oblicza się poprzez dodanie iloczynu elementów macierzy wraz z ich kofaktorami.

Wyznacznik macierzy

Zobaczmy, jak znaleźć wyznacznik macierzy kwadratowej.

Przykład 1: Jak znaleźć wyznacznik macierzy kwadratowej 2⨯2?

Powiedzmy, że mamy macierz A =egin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}

Zatem wyznacznikiem A jest |A| = reklama – bc

Przykład 2: Jak znaleźć wyznacznik macierzy kwadratowej 3⨯3?

Załóżmy, że mamy macierz 3⨯3 A =egin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}

Następnie |A| = a(-1)¹⁺¹egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}+ b(-1)¹⁺²egin{vmatrix} d& f g & i end{vmatrix}+ c(-1)¹⁺³egin{vmatrix} d& e g & h end{vmatrix}

Minor matrycy

Drobny macierzy elementu jest wyznaczany przez wyznacznik macierzy otrzymany po usunięciu wiersza i kolumny, do której należy dany element. Minora Matrixa reprezentuje Mij. Zobaczmy przykład.

Przykład: Znajdź moll macierzyegin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}dla elementu „a”.

Drugorzędny element „a” jest podawany jako M₁₂=egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}

Kofaktor Matrixa

Kofaktor macierzy wyznacza się mnożąc moll macierzy dla danego elementu przez (-1)i+j. Kofaktor macierzy jest reprezentowany jako Cij. Zatem relację między mollem a kofaktorem macierzy podaje się jako Mij = (-1)^ja+jMij. Jeśli uporządkujemy cały kofaktor uzyskany dla elementu, otrzymamy macierz kofaktorów podaną jako C =egin{bmatrix} c_{11} & c_{12}& c_{13} c_{21} & c_{22} & c_{23} c_{31} & c_{32} &c_{33} end{bmatrix}

Ucz się więcej , Nieletni i kofaktorzy

Spójność macierzy

Sprzężenie oblicza się dla macierzy kwadratowej. Spójność macierzy jest transpozycją kofaktora macierzy. Sprzężenie macierzy wyraża się zatem jako adj(A) = C_Tgdzie C jest macierzą kofaktorów.

Powiedzmy na przykład, że mamy macierz
A = egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}
Następnie
mathrm{adj(A)} = egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}^T Rightarrow mathrm{adj(A)} =egin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3 B_1 & B_2 & B_3 C_1 & C_2 & C_3 end{bmatrix}
Gdzie,
egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}jest kofaktorem macierzy A.

Właściwości sprzężenia macierzy

Właściwości sprzężenia macierzy są wymienione poniżej:

• A(Przym. A) = (Przym. A) A = |A| I_N
• Przym.(AB) = (Przym.B) . (Przym. A)
• |Przym A| = |A|^n-1
• Przym.(kA) = k^n-1Przym.(A)
• |przym(przym(A))| =|A| ^ (n-1) ^ 2
• przym(przym(A)) = |A|^(n-2)× A
• Jeżeli A = [L,M,N] to adj(A) = [MN, LN, LM]
• adj(I) = I {gdzie ja to macierz tożsamości}

Gdzie, n = liczba wierszy = liczba kolumn

Odwrotność macierzy

Mówi się, że macierz jest odwrotność macierzy „A”, jeśli macierz zostanie podniesiona do potęgi -1, tj. A-1. Odwrotność oblicza się tylko dla macierzy kwadratowej, której wyznacznik jest niezerowy. Wzór na odwrotność macierzy jest podany jako:

A^-1= przym(A)/det(A) = (1/|A|)(Przym A), gdzie |A| nie powinna być równa zeru, co oznacza, że ​​macierz A nie powinna być pojedyncza.

Właściwości odwrotności macierzy

• (A^-1)^-1= A
• (AB)^-1= B^-1A^-1
• tylko nieosobliwa macierz kwadratowa może mieć odwrotność.

Elementarne operacje na macierzach

Elementarne operacje na macierzach są wykonywane w celu rozwiązania równania liniowego i znalezienia odwrotności macierzy. Podstawowe operacje wykonywane są pomiędzy wierszami i pomiędzy kolumnami. Istnieją trzy typy elementarnych operacji wykonywanych na wierszach i kolumnach. Operacje te są wymienione poniżej:

Podstawowe operacje na wierszach obejmują:

• Zamiana dwóch rzędów
• Mnożenie wiersza przez liczbę niezerową
• Dodanie dwóch wierszy

Podstawowe operacje na kolumnach obejmują:

• Zamiana dwóch kolumn
• Mnożenie kolumny przez liczbę niezerową
• Dodanie dwóch kolumn

Rozszerzona matryca

Macierz utworzona przez połączenie kolumn dwóch macierzy nazywa się Rozszerzona matryca . Macierz rozszerzona służy do wykonywania elementarnych operacji na wierszach, rozwiązywania równań liniowych i znajdowania odwrotności macierzy. Zrozumiemy to na przykładzie.

Załóżmy, że mamy macierz A =egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}, X =egin{bmatrix} x y z end{bmatrix}i B =egin{bmatrix} p_{1} p_{2} p_{3} end{bmatrix}następnie tworzona jest macierz rozszerzona pomiędzy A i B. Macierz rozszerzona dla A i B jest podana jako

[A|B] =left[egin{array}lll a_1 & b_1 & c_1&p_1 a_2 & b_2 & c_2&p_2 a_3 & b_3 & c_3 &p_3end{array} ight]

Rozwiązywanie równań liniowych za pomocą macierzy

Macierze służą do rozwiązywania równań liniowych. Aby rozwiązać równania liniowe, musimy utworzyć trzy macierze. Pierwsza macierz składa się ze współczynników, druga macierz ze zmiennych, a trzecia macierz ze stałych. Rozumiemy to na przykładzie.

Powiedzmy, że mamy dwa równania podane jako a₁x + b₁y = do₁i a₂x + b₂y = do₂. W tym przypadku utworzymy pierwszą macierz współczynników, powiedzmy A =egin{bmatrix}a_{1} & b_{1}a_{2} & b_{2}end{bmatrix}, druga macierz składa się ze zmiennych, powiedzmy X =egin{bmatrix}xyend{bmatrix}a trzecia macierz ma współczynnik B =egin{bmatrix}c_{1}c_{2}end{bmatrix}następnie równanie macierzowe podaje się jako

AX = B

⇒ X = A ^-1 B

Gdzie,

• A jest macierzą współczynników
• X jest macierzą zmiennych
• B jest stałą macierzą

Widzimy zatem, że wartość zmiennej X można obliczyć mnożąc odwrotność macierzy A przez B, a następnie zrównując równoważny iloczyn dwóch macierzy z macierzą X.

Ranga matrycy

Ranga macierzy jest określona przez maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy lub kolumn macierzy. Ranga macierzy jest zawsze mniejsza lub równa całkowitej liczbie wierszy lub kolumn występujących w macierzy. Macierz kwadratowa ma liniowo niezależne wiersze lub kolumny, jeśli macierz nie jest pojedyncza, tj. wyznacznik nie jest równy zero. Ponieważ macierz zerowa nie ma liniowo niezależnych wierszy ani kolumn, jej ranga wynosi zero.

test wydajności

Rangę macierzy można obliczyć, przekształcając ją do postaci wierszowo-eszelonowej. W formie rzutu wierszowego próbujemy przekonwertować wszystkie elementy należące do wiersza na zero za pomocą elementarnej operacji na wierszu. Po operacji łączna liczba wierszy, w których znajduje się co najmniej jeden element niezerowy, stanowi rząd macierzy. Rangę macierzy A reprezentuje ρ(A).

Wartość własna i wektory własne macierzy

Wartości własne to zbiór skalarów powiązany z równaniem liniowym w postaci macierzowej. Wartości własne nazywane są także pierwiastkami charakterystycznymi macierzy. Wektory utworzone za pomocą wartości własnej do określenia kierunku w tych punktach nazywane są wektorami własnymi. Wartości własne zmieniają wielkość wektorów własnych. Jak każdy wektor, wektor własny nie zmienia się pod wpływem transformacji liniowej.

Dla macierzy kwadratowej A rzędu n tworzy się inną macierz kwadratową A – λI tego samego rzędu, gdzie I jest macierzą tożsamości, a λ jest wartością własną. Wartość własna λ spełnia równanie Av = λv, gdzie v jest wektorem niezerowym.

Dowiedz się więcej o Wartości własne i wektory własne na naszej stronie internetowej.

Wzory macierzowe

Podstawowe wzory na macierze omówiono poniżej:

• A^-1= przym(A)/|A|
• A(adj A) = (adj A)A = I, gdzie I jest macierzą tożsamości
• |przym A| = |A|n-1 gdzie n jest rzędem macierzy A
• adj(adj A) = |A|n-2A gdzie n jest rządem macierzy
• |przym(przym A)| = |A|^{(n-1)^2}
• przym(AB) = (przym B)(przym A)
• przym (A^P) = (przym A)^P
• adj(kA) = kn-1(adj A) gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą
• przym(I) = I
• przym 0 = 0
• Jeśli A jest symetryczny, to adj(A) jest również symetryczny
• Jeśli A jest macierzą diagonalną, to adj(A) jest także macierzą diagonalną
• Jeśli A jest macierzą trójkątną, to adj(A) jest także macierzą trójkątną
• Jeśli A jest macierzą pojedynczą, to |adj A| = 0
• (AB)^-1= B^-1A^-1

Czytaj więcej,

• Teoria zbiorów
• Rachunek różniczkowy
• Trygonometria

Pytania dotyczące macierzy JEE

Pytanie 1. Liczba macierzy kwadratowych rzędu 5 z wpisami ze zbioru {0, 1}, takimi że suma wszystkich elementów w każdym wierszu wynosi 1 i suma wszystkich elementów w każdej kolumnie wynosi również 1, wynosi

Pytanie 2. Niech A będzie macierzą 3 × 3 taką, że |adj(adj(adj A))| = 12 ⁴ . Następnie |A ^-1 przym A| jest równe,

Pytanie 3. Niech α i β będą liczbami rzeczywistymi. Rozważmy macierz 3 × 3 A taką, że A ² = 3A + αI. Jeśli ⁴ = 21A + βI, następnie znajdź wartość α i β.

Pytanie 4. Niech A = [a]ij, aij ϵ Z ∩ [0, 4], 1 ≤ i, j ≤ 2. Liczba macierzy A taka, że ​​suma wszystkich wpisów jest liczbą pierwszą p ϵ (2, 13) wynosi

Pytanie 5. Niech A będzie macierzą n × n taką, że |A| = 2. Jeżeli wyznacznik macierzy Adj (2. Adj(2A ^-1 )) wynosi 2 ⁸⁴ wtedy n jest równe,

Matryce – często zadawane pytania

Czym jest matryca w matematyce?

Macierze w matematyce to prostokątne układy tablicowe liczb lub zmiennych, które znajdują się w określonych wierszach i kolumnach i podlegają różnym operacjom.

Jak rozwiązywać macierze?

Rozwiązujemy macierze dla różnych operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, transpozycja itp. Metody te omówione są pod tytułem Operacje na macierzach.

Jakie są różne typy macierzy?

Różne typy macierzy to macierz wierszowa, macierz kolumnowa, macierz pozioma, macierz pionowa, macierz kwadratowa, macierz diagonalna, macierz zerowa, macierz jednostkowa, macierze trójkątne, macierze symetryczne i skośno-symetryczne, macierze hermitowskie i skośne hermitowskie itp. Te typy mają zostało omówione pod tytułem „Typy macierzy”

Co to jest ranga macierzy?

Rząd macierzy to liczba liniowo niezależnych wierszy lub kolumn występujących w macierzy.

Co to jest transpozycja macierzy?

Transpozycja macierzy polega na przestawieniu elementów wierszy w kolumny i odwrotnie.

Jaki jest wzór na znalezienie odwrotności macierzy?

Odwrotność macierzy można znaleźć za pomocą wzoru A^-1= (1/|A|)(przym A)

Jaki jest warunek pomnożenia dwóch macierzy?

Dwie macierze można pomnożyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy.

Jak znaleźć wyznacznik macierzy 2⨯2?

Wyznacznik macierzy 2⨯2 można znaleźć odejmując iloczyn elementów przekątnych macierzy.

Jaka jest główna przekątna macierzy?

Przekątna macierzy kwadratowej biegnącej od lewego górnego elementu do prawego dolnego rogu jest główną przekątną macierzy.