Wartości własne i wektory własne to powiązane wielkości skalarne i wektorowe Matryca wykorzystywane do transformacji liniowej. Wektor, który nie zmienia się nawet po zastosowaniu przekształceń, nazywa się wektorem własnym, a wartość skalarna dołączona do wektorów własnych nazywa się Wartości własne . Wektory własne to wektory powiązane ze zbiorem równań liniowych. W przypadku macierzy wektory własne nazywane są także wektorami charakterystycznymi i możemy znaleźć wektor własny tylko macierzy kwadratowych. Wektory własne są bardzo przydatne w rozwiązywaniu różnych problemów macierzy i równań różniczkowych.

W tym artykule dowiemy się o wartościach własnych, wektorach własnych macierzy i innych wraz z przykładami.

Spis treści

• Czym są wartości własne?
• Co to są wektory własne?
• Równanie wektora własnego
• Co to są wartości własne i wektory własne?
• Jak znaleźć wektor własny?
• Rodzaje wektorów własnych
• Prawy wektor własny
• Lewy wektor własny
• Wektory własne macierzy kwadratowej
• Wektor własny macierzy 2 × 2
• Wektor własny macierzy 3 × 3
• Przestrzeń własna
• Zastosowania wartości własnych
• Diagonalizacja macierzy za pomocą wartości własnych i wektorów własnych
• Rozwiązane przykłady na wektorach własnych
• Często zadawane pytania dotyczące wektorów własnych

Czym są wartości własne?

Wartości własne to wartości skalarne powiązane z wektorami własnymi w transformacji liniowej. Słowo „Eigen” ma pochodzenie niemieckie i oznacza „charakterystyczny”. Są to zatem wartości charakterystyczne, wskazujące współczynnik rozciągnięcia wektorów własnych w ich kierunku. Nie wiąże się to ze zmianą kierunku wektora, z wyjątkiem sytuacji, gdy wartość własna jest ujemna. Gdy wartość własna jest ujemna, kierunek jest po prostu odwrócony. Równanie wartości własnej jest podane przez

Wył. = λv

Gdzie,

• A jest macierzą,
• v jest powiązanym wektorem własnym, oraz
• λ jest skalarną wartością własną.

Co to są wektory własne?

Wektory własne macierzy kwadratowych definiuje się jako niezerowe wartości wektorów, które pomnożone przez macierze kwadratowe dają wielokrotność skalera wektora, tj. wektor własny macierzy A definiujemy jako v, jeśli określa warunek, Wył. = λv

Wielokrotność skalera λ w powyższym przypadku nazywana jest wartością własną macierzy kwadratowej. Zawsze musimy najpierw znaleźć wartości własne macierzy kwadratowej, zanim znajdziemy wektory własne macierzy.

Dla dowolnej macierzy kwadratowej A rzędu n × n wektor własny jest macierzą kolumnową rzędu n × 1. Jeśli wektor własny macierzy A znajdziemy według wzoru, Av = λv, v nazywa się to prawym wektorem własnym macierzy A i jest zawsze mnożona do prawej strony, ponieważ mnożenie macierzy nie ma charakteru przemiennego. Ogólnie rzecz biorąc, gdy znajdujemy wektor własny, jest to zawsze właściwy wektor własny.

Możemy również znaleźć lewy wektor własny macierzy kwadratowej A, korzystając z zależności: vA = w

Tutaj v jest lewym wektorem własnym i jest zawsze mnożone przez lewą stronę. Jeśli macierz A jest rzędu n × n, to v jest macierzą kolumnową rzędu 1 × n.

Równanie wektora własnego

Równanie wektora własnego to równanie używane do znajdowania wektora własnego dowolnej macierzy kwadratowej. Równanie wektora własnego to:

Wył. = λv

Gdzie,

• A jest podaną macierzą kwadratową,
• W jest wektorem własnym macierzy A, oraz
• l jest dowolną wielokrotnością skalera.

Co to są wartości własne i wektory własne?

Jeśli A jest A macierz kwadratowa rzędu n × n, to możemy łatwo znaleźć wektor własny macierzy kwadratowej, postępując zgodnie z metodą omówioną poniżej,

Wiemy, że wektor własny jest dany za pomocą równania Av = λv, dla macierzy jednostkowej rzędu tego samego co rząd A, tj. n × n, stosujemy następujące równanie:

(A-λI)v = 0

Rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy różne wartości λ jako λ₁, l₂, ..., l_Nwartości te nazywane są wartościami własnymi i otrzymujemy indywidualne wektory własne powiązane z każdą wartością własną.

Upraszczając powyższe równanie, otrzymujemy v, które jest macierzą kolumnową rzędu n × 1, a v jest zapisane jako:

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Jak znaleźć wektor własny?

Wektor własny poniższej macierzy kwadratowej można łatwo obliczyć, wykonując poniższe kroki:

Krok 1: Znajdź wartości własne macierzy A korzystając z równania det |(A – λI| =0, gdzie I jest macierzą jednostkową rzędu podobnego do macierzy A

Krok 2: Wartości uzyskane w kroku 2 nazywane są λ₁, l₂, l₃….

Krok 3: Znajdź wektor własny (X) powiązany z wartością własną λ₁korzystając z równania (A – λ₁ja) X = 0

Krok 4: Powtórz krok 3, aby znaleźć wektor własny powiązany z innymi pozostałymi wartościami własnymi λ₂, l₃….

Wykonanie tych kroków daje wektor własny powiązany z daną macierzą kwadratową.

Rodzaje wektorów własnych

Wektory własne obliczone dla macierzy kwadratowej są dwojakiego rodzaju:

• Prawy wektor własny
• Lewy wektor własny

Prawy wektor własny

Wektor własny, który jest mnożony przez daną macierz kwadratową z prawej strony, nazywany jest prawym wektorem własnym. Oblicza się go za pomocą następującego równania:

Z _R = λV _R

Gdzie,

• A ma daną macierz kwadratową rzędu n×n,
• l jest jedną z wartości własnych, oraz
• W _R jest macierzą wektorów kolumnowych

Wartość V_RJest,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Lewy wektor własny

Wektor własny, który jest mnożony przez daną macierz kwadratową z lewej strony, nazywany jest lewym wektorem własnym. Oblicza się go za pomocą następującego równania:

W _L A = V _L l

Gdzie,

• A ma daną macierz kwadratową rzędu n×n,
• l jest jedną z wartości własnych, oraz
• W _L jest macierzą wektorów wierszowych.

Wartość V_LJest,

W _L = [w ₁ , W ₂ , W ₃ ,…, W _N ]

Wektory własne macierzy kwadratowej

Możemy łatwo znaleźć wektor własny macierzy kwadratowych rzędu n × n. Znajdźmy teraz następujące macierze kwadratowe:

• Wektory własne macierzy 2 × 2
• Wektory własne macierzy 3 × 3.

Wektor własny macierzy 2 × 2

Wektor własny macierzy 2 × 2 można obliczyć, korzystając z powyższych kroków. Przykładem tego samego jest np.

Przykład: Znajdź wartości własne i wektor własny macierzy A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

klasa obiektu w Javie

Rozwiązanie:

Jeśli wartości własne są reprezentowane za pomocą λ, a wektor własny jest reprezentowany jako v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Następnie wektor własny jest obliczany za pomocą równania

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

przejazd w przedsprzedaży

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 i λ = -1

Zatem wartości własne wynoszą 6 i -1. Następnie odpowiednie wektory własne to:

Dla λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Upraszczając powyższe równanie otrzymujemy,

5a=2b

Wymagany wektor własny to

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Dla λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

upraszczając powyższe równanie otrzymujemy,

a = -b

Wymagany wektor własny to

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Wtedy wektory własne danej macierzy 2 × 2 wynosząegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Są to dwa możliwe wektory własne, ale wiele odpowiednich wielokrotności tych wektorów własnych można również uznać za inne możliwe wektory własne.

Wektor własny macierzy 3 × 3

Wektor własny macierzy 3 × 3 można obliczyć, korzystając z powyższych kroków. Przykładem tego samego jest np.

Przykład: Znajdź wartości własne i wektor własny macierzy A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Jeśli wartości własne są reprezentowane za pomocą λ, a wektor własny jest reprezentowany jako v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Następnie wektor własny jest obliczany za pomocą równania

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Upraszczając powyższy wyznacznik otrzymujemy

⇒ (2-l)(l²) + 2 minuty²+ 2 minuty²= 0

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Dla λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Upraszczając powyższe równanie otrzymujemy

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Niech b = k₁i c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Zatem wektor własny to

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

biorąc k₁= 1 i k₂= 0

wektor własny to

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

biorąc k₁= 0 i k₂= 1

wektor własny to

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Dla λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Upraszczając powyższe równanie otrzymujemy,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + do) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + do

Niech b = k₁i c = k₂i biorąc k₁= k₂= 1,

dostajemy,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Zatem wektor własny to

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Przestrzeń własna

Przestrzeń własną macierzy definiujemy jako zbiór wszystkich wektorów własnych macierzy. Wszystkie wektory w przestrzeni własnej są od siebie liniowo niezależne.

Aby znaleźć przestrzeń własną macierzy, musimy wykonać następujące kroki

Krok 1: Znajdź wszystkie wartości własne danej macierzy kwadratowej.

Krok 2: Dla każdej wartości własnej znajdź odpowiedni wektor własny.

Krok 3: Weź zbiór wszystkich wektorów własnych (powiedzmy A). Powstały w ten sposób zbiór nazywa się przestrzenią własną następnego wektora.

liczba do ciągu Java

Z powyższego przykładu danej macierzy A 3 × 3 wynika, że ​​tak utworzona przestrzeń własna wynosi {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Zastosowania wartości własnych

Niektóre z typowych zastosowań wartości własnych to:

Algebra liniowa

Diagonalizacja: Wartości własne służą do diagonalizowania macierzy, upraszczając obliczenia i efektywniej rozwiązując układy liniowe.

Potęgowanie macierzy: Wartości własne odgrywają kluczową rolę w obliczaniu potęgowania macierzy.

Mechanika kwantowa

Równanie Schrödingera: Wartości własne operatora Hamiltona odpowiadają poziomom energii układów kwantowych, dostarczając informacji o możliwych stanach.

Wibracje i analiza konstrukcyjna:

Wibracje mechaniczne: Wartości własne reprezentują częstotliwości naturalne układów wibracyjnych. W analizie strukturalnej pomagają zrozumieć stabilność i zachowanie konstrukcji.

Statystyka

Macierz kowariancji: W statystykach wielowymiarowych wartości własne są wykorzystywane w analizie macierzy kowariancji, dostarczając informacji o rozproszeniu i orientacji danych.

Grafika komputerowa

Analiza głównych składowych (PCA): Wartości własne są wykorzystywane w PCA w celu znalezienia głównych składników zbioru danych, redukując wymiarowość przy jednoczesnym zachowaniu niezbędnych informacji.

Systemy kontrolne

Stabilność systemu: Wartości własne macierzy systemu mają kluczowe znaczenie przy określaniu stabilności systemu sterowania. Analiza stabilności pomaga zapewnić, że odpowiedź systemu jest ograniczona.

Diagonalizacja macierzy za pomocą wartości własnych i wektorów własnych

Wartości własne i wektory własne służą do znajdowania macierzy diagonalnych. A macierz diagonalna jest macierzą, którą można zapisać jako,

A = XDX ^-1

Gdzie,

• D jest macierzą utworzoną poprzez zastąpienie jedynek w macierzy jednostkowej wartościami własnymi, oraz
• X jest macierzą utworzoną przez wektory własne.

Możemy zrozumieć koncepcję macierzy diagonalnej, biorąc pod uwagę następujący przykład.

Przykład: Przekątna macierzy A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Rozwiązaliśmy już wartości własne i wektory własne układu A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Wartości własne A to λ = 0, λ = 0 i λ = -8

Wektory własne A sąegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Zatem,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Możemy łatwo znaleźć odwrotność X jako:

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Czytaj więcej,

• Elementarne operacje na macierzach
• Macierz jednostkowa
• Odwrotność macierzy

Rozwiązane przykłady na wektorach własnych

Przykład 1: Znajdź wektory własne macierzy A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Wartości własne macierzy wyznacza się za pomocą:

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

Zatem wartości własne to:

λ = 1, 1, 1

Ponieważ wszystkie wartości własne są równe, mamy trzy identyczne wektory własne. Znajdziemy wektory własne dla λ = 1, korzystając z (A – λI)v = O

co to znaczy xdxd

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Wtedy wektor własny to

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Przykład 2: Znajdź wektory własne macierzy A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Rozwiązanie:

Wartości własne macierzy wyznacza się za pomocą:

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Zatem wartości własne to:

λ = 5,5

Ponieważ wszystkie wartości własne są równe, mamy trzy identyczne wektory własne. Znajdziemy wektory własne dla λ = 1, korzystając

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Po prostu powyższe otrzymujemy,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Wtedy wektor własny to

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Często zadawane pytania dotyczące wektorów własnych

Co to są wektory własne?

Definiujemy wektor własny dowolnej macierzy jako wektor, który po pomnożeniu przez macierz daje wielokrotność skalowania macierzy.

Jak znaleźć wektory własne?

Wektor własny dowolnej macierzy A jest oznaczony przez W . Wektor własny macierzy oblicza się najpierw znajdując wartość własną macierzy.

• Wartość własną macierzy wyznacza się ze wzoru |A-λI| = 0 gdzie λ daje wartości własne.
• Po znalezieniu wartości własnej znaleźliśmy wektor własny ze wzoru Av = λv, gdzie v daje wektor własny.

Jaka jest różnica między wartością własną a wektorem własnym?

Dla dowolnej macierzy kwadratowej A wartości własne są reprezentowane przez λ i obliczane są ze wzoru |A – λI| = 0. Po znalezieniu wartości własnej znajdujemy wektor własny według wzoru: Av = λv.

Co to jest macierz diagonalizowalna?

Dowolna macierz, którą można wyrazić jako iloczyn trzech macierzy jako XDX^-1jest macierzą diagonalizowalną, tutaj D nazywa się macierzą diagonalną.

Czy wartości własne i wektory własne są takie same?

Nie, wartości własne i wektory własne to nie to samo. Wartości własne to skaler używany do znajdowania wektorów własnych, podczas gdy wektory własne to wektory używane do znajdowania transformacji wektorów macierzowych.

Czy wektor własny może być wektorem zerowym?

Możemy mieć wartości własne równe zero, ale wektor własny nigdy nie może być wektorem zerowym.

Co to jest wzór na wektory własne?

Wektor własny dowolnej macierzy oblicza się ze wzoru:

Wył. = λv

Gdzie,
l jest wartością własną
W jest wektorem własnym