Równanie prostej w płaszczyźnie podano jako y = mx + C gdzie x i y to współrzędne płaszczyzny, m to nachylenie linii, a C to punkt przecięcia. Jednak budowa linii nie ogranicza się tylko do samolotu.

Wiemy, że linia to droga łącząca dwa punkty. Te dwa punkty można zlokalizować w dowolnym miejscu, niezależnie od tego, czy mogą znajdować się w jednej płaszczyźnie, czy też mogą znajdować się w przestrzeni. W przypadku płaszczyzny położenie linii charakteryzują dwie współrzędne ułożone w parę uporządkowaną podane jako (x, y), natomiast w przypadku przestrzeni położenie punktu charakteryzują trzy współrzędne wyrażone jako (x , y, z).

W tym artykule poznamy różne formy równań linii w przestrzeni 3D.

Spis treści

• Co to jest równanie linii?
• Równanie linii w 3D
• Kartezjańska postać równania linii w 3D
• Forma wektorowa równania linii w 3D
• Formuły linii 3D
• Rozwiązane przykłady równania linii w 3D

Co to jest równanie linii?

Równanie linii jest algebraicznym sposobem wyrażenia linii za pomocą współrzędnych punktów, które łączy. Równanie prostej będzie zawsze mieć postać a równanie liniowe .

Jeśli spróbujemy wykreślić punkty uzyskane z równania liniowego, będzie to a linia prosta . Standardowe równanie linii jest podane jako:

topór + o + c = 0

Gdzie,

• aib są współczynnikami x i y
• c jest wyrazem stałym

Inne formy równania linii są wymienione poniżej:

Teraz nauczymy się równania prostej w 3D.

Równanie linii w 3D

Równanie prostej w 3D wymaga dwóch punktów znajdujących się w przestrzeni. Położenie każdego punktu podaje się za pomocą trzech współrzędnych wyrażonych jako (x, y, z).

Równanie 3D linii jest podane w dwóch formatach, formę kartezjańską I forma wektorowa . W tym artykule nauczymy się równania linii w przestrzeni 3D zarówno w formie kartezjańskiej, jak i wektorowej, a także nauczymy się wyprowadzać równanie. Poniżej wymieniono różne przypadki równania linii:

• Kartezjańska forma linii
  • Linia przechodząca przez dwa punkty
  • Linia przechodząca przez dany punkt i równoległa do danego wektora
• Forma wektorowa linii
  • Linia przechodząca przez dwa punkty
  • Linia przechodząca przez dany punkt i równoległa do danego wektora

Kartezjańska postać równania linii w 3D

Kartezjańską postać linii podaje się za pomocą współrzędnych dwóch punktów znajdujących się w przestrzeni, z której linia przechodzi. W tym artykule omówimy dwa przypadki, gdy linia przechodzi przez dwa punkty i gdy linia przechodzi przez punkty i jest równoległa do wektora.

Przypadek 1: Równanie 3D prostej w formie kartezjańskiej przechodzącej przez dwa punkty

Załóżmy, że mamy dwa punkty A i B, których współrzędne podano jako A(x₁, I₁, z₁) i B(x₂, I₂, z₂).

Następnie podano równanie 3D linii prostej w formie kartezjańskiej jako

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

gdzie x, yiz są współrzędnymi prostokątnymi.

Wyprowadzenie równania linii przechodzącej przez dwa punkty

Możemy wyprowadzić kartezjańską postać równania 3D linii prostej, wykonując następujące kroki:

• Krok 1: Znajdź DR (współczynniki kierunku), biorąc różnicę odpowiednich współrzędnych pozycji dwóch podanych punktów. l = (x₂- X₁), M = (i₂- I₁), N = (z₂– z₁); Tutaj l, m, rz są DR.
• Krok 2: Wybierz jeden z dwóch podanych punktów, powiedzmy, wybieramy (X₁, I₁, z₁).
• Krok 3: Zapisz wymagane równanie prostej przechodzącej przez punkty (X₁, I₁, z₁) i (x₂, I₂, z₂).
• Krok 4: Równanie 3D linii prostej w postaci kartezjańskiej jest podane jako L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(I₂- I₁) = (z – z₁)/(z₂– z₁)

Gdzie (X i Z) są współrzędnymi położenia dowolnego punktu zmiennego leżącego na linii prostej.

Przykład: Jeśli linia prosta przechodzi przez dwa stałe punkty w trójwymiarowości, których współrzędne położenia to P (2, 3, 5) i Q (4, 6, 12), to jej równanie kartezjańskie w postaci dwupunktowej jest dane przez

Rozwiązanie:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Wybór punktu P (2, 3, 5)

Wymagane równanie prostej

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Przypadek 2: Równanie 3D prostej w kartezjańskim przejściu przez punkt i równoległej do danego wektora

Załóżmy, że prosta przechodzi przez punkt P(x₁, I₁, z₁) i jest równoległy do ​​wektora podanego jakovec n = ahat i + bhat j + chat k .

Następnie równanie linii jest podane jako

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

gdzie x, y, z to współrzędne prostokątne, a a, b, c to cosinusy kierunkowe.

Wyprowadzenie równania 3D linii w kartezjańskim przejściu przez punkt i równolegle do danego wektora

Załóżmy, że mamy punkt P, którego wektor położenia jest określony jakovec pod pochodzenia. Niech linia przechodząca przez P jest równoległa do innego wektoravec n. Weźmy punkt R na prostej przechodzącej przez P, wówczas wektor położenia R jest podany jakovec r .

Ponieważ PR jest równoległy dovec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Jeśli teraz poruszymy się po linii PR, to współrzędna dowolnego punktu leżącego na tej linii będzie miała współrzędną w postaci (x₁+ λa), (i₁+ λb), (z₁+ λc), gdzie λ jest parametrem, którego wartość waha się od -∞ do +∞ w zależności od kierunku od P, w którym się poruszamy.

Zatem współrzędne nowego punktu będą wynosić

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/A

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/B

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/C

Porównując powyższe trzy równania mamy równanie linii jako

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Przykład: Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt (2, 1, 3) i równoległej do wektora 3i – 2j + k

Rozwiązanie:

Równanie linii przechodzącej przez punkt i równoległej do wektora podano jako

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/C

Z pytania, które mamy, x₁= 2 i₁= 1, z₁= 3 i a = 3, b = -2 i c = k. Stąd wymagane równanie linii będzie

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Forma wektorowa równania linii w 3D

Postać wektorowa równania linii w 3D jest dana za pomocą równania wektorowego, które obejmuje wektor położenia punktów. W tym nagłówku otrzymamy równanie 3D linii w postaci wektorowej dla dwóch przypadków.

Przypadek 1: Równanie 3D linii przechodzącej przez dwa punkty w postaci wektorowej

Załóżmy, że mamy dwa punkty A i B, których wektor położenia jest określony jakovec aIvec b.

Następnie równanie wektorowe linii L jest podane jako

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Gdzie(vec b – vec a)jest odległością między dwoma punktami, a λ jest parametrem, który leży na linii.

Wyprowadzenie równania 3D linii przechodzącej przez dwa punkty w postaci wektorowej

Załóżmy, że mamy dwa punkty A i B, których wektor położenia jest podany jakovec aIvec b. Wiemy już, że linia to odległość pomiędzy dowolnymi dwoma punktami. Dlatego musimy odjąć dwa wektory położenia, aby otrzymać odległość.

⇒vec d = vec b – vec a

Teraz wiemy, że dowolny punkt na tej prostej będzie podany jako suma wektora położeniavec a space or space vec b z iloczynem parametru λ i wektora położenia odległości między dwoma punktami, tj.vec d

Zatem równanie prostej w postaci wektorowej będzie miało postaćvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)Lubvec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Przykład: Znajdź równanie wektora linii w 3D przechodzącej przez dwa punkty, których wektory położenia są podane jako 2i + j – k i 3i + 4j + k

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, że oba wektory położenia są podane jako 2i + j – k i 3i + 4j + k

Odległość d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Wiemy, że równanie prostej jest podane jakovec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Zatem równanie prostej będzie wyglądałovec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Przypadek 2: Postać wektorowa równania 3D linii przechodzącej przez punkt i równoległej do wektora

Załóżmy, że mamy punkt P, którego wektor położenia jest podany jakovec p. Niech ta linia będzie równoległa do innej linii, której wektor położenia jest podany jakovec d .

konwersja typów i rzutowanie w Javie

Następnie podaje się równanie wektorowe prostej „l” jako

vec l = vec p + lambda vec d

gdzie λ jest parametrem leżącym na prostej.

Wyprowadzenie postaci wektorowej równania 3D linii przechodzącej przez punkt i równoległej do wektora

Rozważmy punkt P, którego wektor położenia jest podany jakovec p. Załóżmy teraz, że ta prosta jest równoległa do wektoravec dwtedy równanie linii będzievec l = lambda vec d. Ponieważ linia również przechodzi przez punkt P, to w miarę oddalania się od punktu P w dowolnym kierunku na linii wektor położenia punktu będzie miał postaćvec p + lambda vec d . Zatem równanie prostej będzie wyglądałovec l = vec p + lambda vec dgdzie λ jest parametrem leżącym na prostej.

Przykład: Znajdź postać wektorową równania prostej przechodzącej przez punkt (-1, 3, 2) i równoległej do wektora 5i + 7j – 3k.

Rozwiązanie:

Wiemy, że postać wektorowa równania linii przechodzącej przez punkt i równoległej do wektora jest dana jakovec l = vec p + lambda vec d

Biorąc pod uwagę, że punkt wynosi (-1, 3, 2), stąd wektor położenia punktu będzie wynosił -i + 3j + 2k, a podany wektor to 5i + 7j – 3k.

Dlatego wymagane będzie równanie liniivec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Formuły linii 3D

Podobne lektury

• Równanie prostej
• Styczna i normalna
• Nachylenie linii

Rozwiązane przykłady równania linii w 3D

Przećwicz równania linii w 3D, korzystając z tych rozwiązanych pytań praktycznych.

Przykład 1: Jeśli linia prosta przechodzi przez dwa stałe punkty w przestrzeni trójwymiarowej, których wektorami położenia są (2 i + 3 j + 5 k) i (4 i + 6 j + 12 k), to jej równanie wektora przy użyciu dwupunktowego formularz podaje

Rozwiązanie:

{vec {p}}= (4 I + 6 J + 12 k ) - (2 I + 3 J + 5 k )

{vec {p}}= (2 I + 3 J + 7 k ) ; Tutaj{vec {p}}jest wektorem równoległym do prostej

Wybór wektora położenia (2 I + 3 J + 5 k )

Wymagane równanie prostej

L:{vec {r}}= (2 I + 3 J + 5 k ) + T . (2 I + 3 J + 7 k )

Przykład 2: Jeśli linia prosta przechodzi przez dwa stałe punkty w przestrzeni trójwymiarowej, których współrzędne położenia to (3, 4, -7) i (1, -1, 6), to jej równanie wektorowe wykorzystujące dwupunktową formularz podaje

Rozwiązanie:

Wektorami położenia danych punktów będą (3 i + 4 j – 7 k) oraz (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 ja + 4 jot – 7 k) – (i – jot + 6 k)

{vec {p}}= (2 ja + 5 jot – 13 k) ; Tutaj{vec {p}}jest wektorem równoległym do prostej

Wybór wektora położenia (i – j + 6 k)

Wymagane równanie prostej

L:{vec {r}}= (i – jot + 6 k) + T . (2 ja + 5 j – 13 tys.)

Przykład 3: Jeśli linia prosta przechodzi przez dwa stałe punkty w przestrzeni trójwymiarowej, których wektorami położenia są (5 i + 3 j + 7 k) i (2 i + j – 3 k), to jej równanie wektora w postaci dwupunktowej jest dany przez

Rozwiązanie:

{vec {p}}= (5 ja + 3 jot + 7 k) – (2 ja + jot – 3 k)

{vec {p}}= (3 ja + 2 jot + 10 k) ; Tutaj{vec {p}}jest wektorem równoległym do prostej

Wybór wektora położenia (2 i + j – 3 k)

Wymagane równanie prostej

L:{vec {r}}= (2 ja + jot – 3 k) + T . (3 ja + 2 jot + 10k)

Przykład 4: Jeśli linia prosta przechodzi przez dwa stałe punkty w przestrzeni trójwymiarowej, której współrzędne położenia to A (2, -1, 3) i B (4, 2, 1), to jej równanie kartezjańskie wykorzystujące dwupunktową formularz podaje

Rozwiązanie:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Wybór punktu A (2, -1, 3)

Wymagane równanie prostej

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 lub

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Przykład 5: Jeśli linia prosta przechodzi przez dwa stałe punkty w trójwymiarowym, którego współrzędne położenia to X (2, 3, 4) i Y (5, 3, 10), to jej równanie kartezjańskie w postaci dwupunktowej jest dane przez

Rozwiązanie:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Wybór punktu X (2, 3, 4)

Wymagane równanie prostej

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 lub

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Równanie prostej w 3D – często zadawane pytania

Co to jest równanie linii w 3D?

Równanie linii w 3D jest podane jako (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(I₂- I₁) = (z – z₁)/(z₂– z₁)

Jaka jest kartezjańska postać równania linii w 3D?

Kartezjańska postać równania linii w 3D jest podana dla dwóch przypadków

Przypadek 1: Gdy linia przechodzi przez dwa punkty:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Przypadek 2: Gdy linia przechodzi przez jeden punkt i jest równoległa do wektora:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Jaka jest postać wektorowa równania linii w 3D?

Postać wektorowa równania prostej w 3D jest podana dla dwóch przypadków:

Przypadek 1: Linia przechodząca przez dwa punkty:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Przypadek 2: Linia przechodząca przez punkt i równoległa do wektora:vec l = vec p + lambda vec d

Co to jest równanie punktu nachylenia linii?

Punkt nachylenia Równanie linii wyraża się wzorem y = mx + C, gdzie m jest nachyleniem

Jakie jest równanie standardowe linii?

Standardowe równanie prostej to ax + by + c = 0