FUNKCJA TOTIENT EULERA - TECHCODEVIEW.COM

Funkcja Totient Eulera Φ(n) dla wejścia n to liczba liczb w {1, 2, 3, …, n-1}, które są względnie pierwsze do n, tj. liczb, których GCD (największy wspólny dzielnik) z n jest 1.

Przykłady:

Φ(1) = 1
gcd(1, 1) wynosi 1

Φ(2) = 1
gcd(1, 2) wynosi 1, ale gcd(2, 2) wynosi 2.

Φ(3) = 2
gcd(1, 3) wynosi 1, a gcd(2, 3) wynosi 1

Φ(4) = 2
gcd(1, 4) wynosi 1, a gcd(3, 4) wynosi 1

Φ(5) = 4
gcd(1, 5) wynosi 1, gcd(2, 5) wynosi 1,
gcd(3, 5) wynosi 1, a gcd(4, 5) wynosi 1

Φ(6) = 2
gcd(1, 6) wynosi 1 i gcd(5, 6) wynosi 1,

Zalecana praktyka Funkcja Eulera Totienta Wypróbuj!

Jak obliczyć Φ(n) dla wejścia n?
A proste rozwiązanie polega na iteracji po wszystkich liczbach od 1 do n-1 i zliczeniu liczb za pomocą gcd z n jako 1. Poniżej znajduje się implementacja prostej metody obliczenia funkcji Totient Eulera dla wejściowej liczby całkowitej n.

 // A simple C program to calculate Euler's Totient Function #include  // Function to return gcd of a and b int gcd(int a, int b) {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a); } // A simple method to evaluate Euler Totient Function int phi(unsigned int n) {  unsigned int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result; } // Driver program to test above function int main() {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Jawa

 // A simple java program to calculate // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by sunnusingh>

Python3

 # A simple Python3 program  # to calculate Euler's  # Totient Function # Function to return # gcd of a and b def gcd(a, b): if (a == 0): return b return gcd(b % a, a) # A simple method to evaluate # Euler Totient Function def phi(n): result = 1 for i in range(2, n): if (gcd(i, n) == 1): result+=1 return result # Driver Code for n in range(1, 11): print('phi(',n,') = ', phi(n), sep = '') # This code is contributed # by Smitha>

 // A simple C# program to calculate // Euler's Totient Function using System; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void Main()  {  for (int n = 1; n <= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal>

JavaScript >PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function // Function to return  // gcd of a and b function gcd($a, $b) {  if ($a == 0)  return $b;  return gcd($b % $a, $a); } // A simple method to evaluate // Euler Totient Function function phi($n) {  $result = 1;  for ($i = 2; $i <$n; $i++)  if (gcd($i, $n) == 1)  $result++;  return $result; } // Driver Code for ($n = 1; $n <= 10; $n++)  echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
'; // This code is contributed by Sam007 Φ>>

C++

 // A simple C++ program to calculate // Euler's Totient Function  #include  using namespace std;  // Function to return gcd of a and b  int gcd(int a, int b)  {   if (a == 0)   return b;   return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate Euler Totient Function  int phi(unsigned int n)  {   unsigned int result = 1;   for (int i = 2; i < n; i++)   if (gcd(i, n) == 1)   result++;   return result;  }  // Driver program to test above function  int main()  {   int n;   for (n = 1; n <= 10; n++)   cout << 'phi('<

Wyjście

fi(1) = 1 fi(2) = 1 fi(3) = 2 fi(4) = 2 fi(5) = 4 fi(6) = 2 fi(7) = 6 fi(8) = 4 fi( 9) = 6 fi(10) = 4

Powyższy kod wywołuje funkcję gcd O(n) razy. Złożoność czasowa funkcji gcd wynosi O(h), gdzie h jest liczbą cyfr mniejszej liczby danych dwóch liczb. Dlatego górna granica na złożoność czasu powyższego rozwiązania to O(N^2 log N) [Jak Φ może być co najwyżej Log₁₀n cyfr we wszystkich liczbach od 1 do n]

Przestrzeń pomocnicza: O(log N)

Poniżej znajduje się Lepsze rozwiązanie . Pomysł opiera się na wzorze na iloczyn Eulera, który stwierdza, że wartość funkcji tocjalnych jest niższa od ogólnych czynników pierwszych iloczynu p z n.

Wzór zasadniczo mówi, że wartość Φ(n) jest równa n pomnożonemu produktowi ubocznemu (1 – 1/p) dla wszystkich czynników pierwszych p z n. Na przykład wartość Φ(6) = 6 * (1-1/2) * (1 – 1/3) = 2.
Możemy znaleźć wszystkie czynniki pierwsze, korzystając z idei użytej w Ten post.

1) Zainicjuj: wynik = n
2) Uruchom pętlę od „p” = 2 do sqrt(n), wykonaj następujące czynności dla każdego „p”.
a) Jeśli p dzieli n, to
Ustaw: wynik = wynik * (1,0 - (1,0 / (float) p));
Podziel wszystkie wystąpienia p w n.
3) Zwróć wynik

Poniżej znajduje się implementacja formuły iloczynu Eulera.

C++

 // C++ program to calculate Euler's  // Totient Function using Euler's // product formula #include  using namespace std; int phi(int n) {    // Initialize result as n  float result = n;     // Consider all prime factors of n   // and for every prime factor p,  // multiply result with (1 - 1/p)  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)  {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) wynik -= wynik / n;  //Ponieważ w zbiorze {1,2,....,n-1} wszystkie liczby są względnie pierwsze z n //jeśli n jest liczbą pierwszą, return (int)result; } // Kod sterownika int main() { int n;    dla(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) <

 // C program to calculate Euler's Totient Function // using Euler's product formula #include  int phi(int n) {  float result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and for every prime  // factor p, multiply result with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) wynik -= wynik / n;  //Ponieważ w zbiorze {1,2,....,n-1} wszystkie liczby są względnie pierwsze z n //jeśli n jest liczbą pierwszą, return (int)result; } // Program sterownika do testowania powyższej funkcji int main() { int n;  dla (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Jawa

 // Java program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula import java.io.*; class GFG {  static int phi(int n)  {  // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors of n and for  // every prime factor p, multiply result  // with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {  // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {  // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) wynik -= wynik / n;  //Ponieważ w zbiorze {1,2,....,n-1} wszystkie liczby są względnie pierwsze z n //jeśli n jest liczbą pierwszą, return (int)result;  } // Program sterownika do testowania powyższej funkcji public static void main(String args[]) { int n;  dla (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by Nikita Tiwari.>

Python3

 # Python 3 program to calculate # Euler's Totient Function # using Euler's product formula def phi(n) : result = n # Initialize result as n # Consider all prime factors # of n and for every prime # factor p, multiply result with (1 - 1 / p) p = 2 while p * p<= n : # Check if p is a prime factor. if n % p == 0 : # If yes, then update n and result while n % p == 0 : n = n // p result = result * (1.0 - (1.0 / float(p))) p = p + 1 # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most one # such prime factor) if n>1 : wynik -= wynik // n #Ponieważ w zbiorze {1,2,....,n-1} wszystkie liczby są względnie pierwsze z n #if n jest liczbą pierwszą return int(result) # Sterownik program do testowania powyższej funkcji dla n w zakresie(1, 11): print('phi(', n, ') = ', phi(n)) # Ten kod został napisany # przez Nikitę Tiwari.>

 // C# program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula using System; class GFG {    static int phi(int n)  {    // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors  // of n and for every prime   // factor p, multiply result  // with (1 - 1 / p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (float)(1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor   // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) wynik -= wynik / n;  //Ponieważ w zbiorze {1,2,....,n-1} wszystkie liczby są względnie pierwsze z n //jeśli n jest liczbą pierwszą, return (int)result;  } // Kod sterownika public static void Main() { int n;  dla (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal.>

JavaScript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi(n) {  // Initialize result as n  let result = n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for (let p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if (n>1) wynik -= wynik / n;  //Ponieważ w zbiorze {1,2,....,n-1} wszystkie liczby są względnie pierwsze z n //jeśli n jest liczbą pierwszą return parseInt(result); } // Kod kierowcy dla (niech n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi($n) {  // Initialize result as n  $result = $n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for ($p = 2; $p * $p <= $n; ++$p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while ($n % $p == 0)  $n /= $p;  $result *= (1.0 - (1.0 / $p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if ($n>1) $wynik -= $wynik / $n;  //Ponieważ w zbiorze {1,2,....,n-1} wszystkie liczby są względnie pierwsze z n //jeśli n jest liczbą pierwszą return intertval($result); } // Kod sterownika dla ($n = 1; $n<= 10; $n++) echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
';   // This code is contributed by Sam007 Φ>>

Wyjście

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Fi(10) = 4

Złożoność czasowa: O(Φ n log n)
Przestrzeń pomocnicza: O(1)

W powyższej metodzie możemy uniknąć obliczeń zmiennoprzecinkowych. Pomysł polega na tym, aby policzyć wszystkie czynniki pierwsze i ich wielokrotności, a następnie odjąć tę liczbę od n, aby otrzymać wartość funkcji totient (czynniki pierwsze i wielokrotności czynników pierwszych nie będą miały gcd równego 1)

1) Zainicjuj wynik jako n
2) Rozważmy każdą liczbę „p” (gdzie „p” zmienia się od 2 do Φ(n)).
Jeśli p dzieli n, wykonaj następujące czynności
a) Odejmij wszystkie wielokrotności p od 1 do n [wszystkie wielokrotności p
będzie miał gcd więcej niż 1 (co najmniej p) z n]
b) Zaktualizuj n, wielokrotnie dzieląc je przez p.
3) Jeśli zredukowane n jest większe niż 1, usuń wszystkie wielokrotności
z n z wyniku.

Poniżej znajduje się implementacja powyższego algorytmu.

C++

 // C++ program to calculate Euler's // Totient Function #include  using namespace std; int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;     // Consider all prime factors of n   // and subtract their multiples   // from result  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result -= result / p;  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) wynik -= wynik / n;    zwróć wynik; } // Kod sterownika int main() { int n;  dla(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) << endl;  }  return 0; } // This code is contributed by koulick_sadhu>

 // C program to calculate Euler's Totient Function #include  int phi(int n) {  int result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) wynik -= wynik / n;  zwróć wynik; } // Program sterownika do testowania powyższej funkcji int main() { int n;  dla (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Jawa

 // Java program to calculate  // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG  { static int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;   // Consider all prime factors   // of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) wynik -= wynik / n;  zwróć wynik; } // Kod sterownika public static void main (String[] args) { int n;  dla (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n +   ') = ' + phi(n)); } } // This code is contributed by ajit>

Python3

 # Python3 program to calculate  # Euler's Totient Function def phi(n): # Initialize result as n result = n; # Consider all prime factors # of n and subtract their # multiples from result p = 2; while(p * p <= n): # Check if p is a  # prime factor. if (n % p == 0): # If yes, then  # update n and result while (n % p == 0): n = int(n / p); result -= int(result / p); p += 1; # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most  # one such prime factor) if (n>1): wynik -= int(wynik / n); zwróć wynik; # Kod sterownika dla n w zakresie (1, 11): print('phi(',n,') =', phi(n)); # Ten kod został napisany # przez mits>

 // C# program to calculate  // Euler's Totient Function using System; class GFG {   static int phi(int n) { // Initialize result as n int result = n;  // Consider all prime  // factors of n and  // subtract their  // multiples from result for (int p = 2;  p * p <= n; ++p) {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  } } // If n has a prime factor // greater than sqrt(n) // (There can be at-most  // one such prime factor) if (n>1) wynik -= wynik / n; zwróć wynik; } // Kod sterownika static public void Main () { int n;  dla (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n +   ') = ' +  phi(n)); } } // This code is contributed  // by akt_mit>

JavaScript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function function phi(n) {  // Initialize   // result as n  let result = n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for (let p = 2;   p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while (n % p == 0)  n = parseInt(n / p);  result -= parseInt(result / p);  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) wynik -= parseInt(wynik / n);  zwróć wynik; } // Kod kierowcy dla (niech n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed  // by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function function phi($n) {  // Initialize   // result as n  $result = $n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for ($p = 2;   $p * $p <= $n; ++$p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while ($n % $p == 0)  $n = (int)$n / $p;  $result -= (int)$result / $p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if ($n>1) $wynik -= (int)$wynik / $n;  zwróć $wynik; } // Kod sterownika dla ($n = 1; $n<= 10; $n++)  echo 'phi(', $n,') =',   phi($n), '
';   // This code is contributed  // by ajit Φ>>

Wyjście

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Fi(10) = 4

Złożoność czasowa: O(Φ n log n)
Przestrzeń pomocnicza: O(1)

Aby zrozumieć powyższy algorytm, weźmy przykład.

n = 10.
Zainicjuj: wynik = 10

2 jest czynnikiem pierwszym, więc n = n/i = 5, wynik = 5
3 nie jest czynnikiem głównym.

Pętla for zatrzymuje się po 3, ponieważ 4*4 nie jest mniejsze lub równe
do 10.

Po pętli for wynik = 5, n = 5
Ponieważ n> 1, wynik = wynik - wynik/n = 4

Niektóre interesujące właściwości funkcji Totient Eulera

1) Dla liczba pierwsza str ,phi(p) = p – 1

Dowód :

indeks_podciągu w sql

phi(p) = p - 1, gdzie p jest dowolną liczbą pierwszą. Wiemy o tymgcd(p, k) = 1gdzie k jest dowolną liczbą losową ik eq pCałkowita liczba od 1 do p = p Liczba, dla którejgcd(p, k) = 1Jest1, czyli sama liczba p, czyli odejmowanie 1 od pphi(p) = p - 1

Przykłady:

phi(5) = 5 - 1 = 4phi(13) = 13 - 1 = 12phi(29) = 29 - 1 = 28

2) Dla dwie liczby pierwsze a i b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) = (a – 1) cdot (b – 1) , stosuje się w Algorytm RSA

Dowód :

phi(acdot b) = phi(a) cdot phi(b), gdzie a i b są liczbami pierwszymiphi(a) = a - 1,phi(b) = b - 1Całkowita liczba od 1 do ab = ab Całkowita wielokrotność a od 1 do ab =frac{a cdot b} {a}=bCałkowita wielokrotność b od 1 do ab =frac{a cdot b} {b}=a Przykład: a = 5, b = 7, ab = 35 Wielokrotność a =frac {35} {5}= 7 {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} Wielokrotność b =frac {35} {7}= 5 {7, 14, 21, 28, 35} Czy można liczyć podwójnie? (obejrzyj uważnie powyższy przykład, spróbuj z innym liczby pierwsze również dla lepszego zrozumienia) Oczywiście, policzyliśmyab dwa razy w wielokrotnościach a i wielokrotnościach b, więc całkowite wielokrotności = a + b - 1 (z czymgcd eq 1zab)phi(ab) = ab - (a + b - 1), usuwając wszystkie liczby za pomocągcd eq 1zab phi(ab) = a(b - 1) - (b - 1)phi(ab) = (a - 1) cdot (b - 1)phi(ab) = phi(a) cdot phi(b)

Przykłady:

phi(5 cdot 7) = phi(5) cdot phi(7) = (5 - 1) cdot (7 - 1) = 24phi(3 cdot 5) = phi(3) cdot phi(5) = (3 - 1) cdot (5 - 1) = 8phi(3 cdot 7) = phi(3) cdot phi(7) = (3 - 1) cdot (7 - 1) = 12

3) Dla liczba pierwsza str ,phi(p ^ k) = p ^ k – p ^ {k – 1}

Dowód :

phi(p^k) = p ^ k - p ^{k - 1}, gdzie p jest liczbą pierwsząSuma liczb od 1 dop ^ k = p ^ kCałkowita wielokrotnośćp = frac {p ^ k} {p} = p ^ {k - 1}Usunięcie tych wielokrotności tak jak w przypadku nichgcd eq 1 Przykład : p = 2, k = 5,p ^ k= 32wielokrotności 2 (jak w przypadku nichgcd eq 1) = 32 / 2 = 16 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32}phi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}

Przykłady:

phi(2 ^ 5) = 2 ^ 5 - 2 ^ {5 - 1} = 32 - 16 = 16phi(5 ^ 3) = 5 ^ 3 - 5 ^ {3 - 1} = 125 - 25 = 100phi(3 ^ 5) = 3 ^ 5 - 3 ^ {5 - 1} = 243 - 81 = 162

4) Dla dwie cyfry a i b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}

Przypadek specjalny: gcd(a, b) = 1

metody listy Java

phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {1} {phi(1)} = phi(a) cdot phi(b)

Przykłady:

Szczególny przypadek : gcd(a, b) = 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) phi(2 cdot 9) = phi(2) cdot phi(9) = 1 cdot 6 = 6phi(8 cdot 9) = phi(8) cdot phi(9) = 4 cdot 6 = 24phi(5 cdot 6) = phi(5) cdot phi(6) = 4 cdot 2 = 8 Normalny przypadek: gcd(a, b) eq 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}phi(4 cdot 6) = phi(4) cdot phi(6) cdot frac {gcd(4, 6)} {phi(gcd(4, 6))} = 2 cdot 2 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 2 cdot 2 = 8phi(4 cdot 8) = phi(4) cdot phi(8) cdot frac {gcd(4, 8)} {phi(gcd(4, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{4}{2} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16phi(6 cdot 8) = phi(6) cdot phi(8) cdot frac {gcd(6, 8)} {phi(gcd(6, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16

5) Suma wartości funkcji totientnych wszystkich dzielników n jest równa n.

gauss

Przykłady:

n = 6
czynniki = {1, 2, 3, 6}
n =phi(1) + phi(2) + phi(3) + phi(6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6n = 8 czynników = {1, 2, 4, 8} n =phi(1) + phi(2) + phi(4) + phi(8)= 1 + 1 + 2 + 4 = 8n = 10 czynników = {1, 2, 5, 10} n =phi(1) + phi(2) + phi(5) + phi(10)= 1 + 1 + 4 + 4 = 10

6) Najbardziej znana i najważniejsza cecha wyraża się w Twierdzenie Eulera :

Twierdzenie stwierdza, że jeśli n i a są względnie pierwsze
(lub względnie pierwsze) dodatnie liczby całkowite

A^Φ(n)Φ 1 (mod n)

The Kryptosystem RSA opiera się na tym twierdzeniu:
W szczególnym przypadku, gdy m jest liczbą pierwszą, powiedzmy p, twierdzenie Eulera zamienia się w tzw Małe twierdzenie Fermata :

A^p-1Φ 1 (wobec p)

7) Liczba generatorów skończonej grupy cyklicznej pod modulo n wynosi Φ(n) .

Powiązany artykuł:
Funkcja Totient Eulera dla wszystkich liczb mniejszych lub równych n
Zoptymalizowana funkcja Eulera Totient dla wielokrotnych ocen

Bibliografia:
http://e-maxx.ru/algo/euler_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function

https://cp-algorithms.com/algebra/phi-function.html

http://mathcenter.oxford.memory.edu/site/math125/chineseRemainderTheorem/