A Hiperbola to gładka krzywa w płaszczyźnie z dwoma odgałęzieniami, które odzwierciedlają się nawzajem, przypominając dwa nieskończone łuki. Jest to przekrój stożkowy utworzony przez przecięcie prawego okrągłego stożka z płaszczyzną pod kątem takim, że przecinają się obie połówki stożka.

Przyjrzyjmy się szczegółowo hiperboli, w tym jej równaniom, wzorom, właściwościom, wykresom i wyprowadzeniom.

Hiperbola

Spis treści

• Co to jest hiperbola?
• Definicja hiperboli
• Równanie hiperboli
• Części hiperboli
• Ekscentryczność hiperboli
• Standardowe równanie hiperboli
• Prawa strona hiperboli
• Wyprowadzenie równania hiperboli
• Wzór hiperboli
• Wykres hiperboli
• Sprzężona hiperbola
• Właściwości hiperboli
• Okręgi pomocnicze hiperboli
• Hiperbola prostokątna
• Parametryczna reprezentacja hiperboli
• Klasa hiperboli 11
• Rozwiązane przykłady na hiperboli
• Ćwicz problemy dotyczące hiperboli

Co to jest hiperbola?

Hiperbola to zbiór punktów, których różnica odległości od dwóch ognisk jest stałą wartością. Różnicę tę oblicza się odejmując odległość bliższego ogniska od odległości ogniska dalszego.

Jeśli P (x, y) jest punktem hiperboli, a F, F’ są dwoma ogniskami, to miejscem hiperboli jest

PF – PF' = 2a

Notatka: Patrz diagram dodany w celu uzyskania obrazu.

Definicja hiperboli

W geometrii analitycznej hiperbola jest rodzajem przekroju stożkowego utworzonego, gdy płaszczyzna przecina obie połówki podwójnego prawego okrągłego stożka pod kątem. To przecięcie skutkuje powstaniem dwóch oddzielnych, nieograniczonych krzywych, które są swoimi lustrzanymi odbiciami, tworząc hiperbolę.

Równanie hiperboli

Równanie hiperboli w jej standardowej postaci zależy od jej orientacji i tego, czy jest wyśrodkowana w początku, czy w innym punkcie. Oto dwie podstawowe formy hiperboli wyśrodkowanych w początku, jedna otwierająca się poziomo, a druga otwierająca się pionowo:

X ² /A ² - I ² /B ² = 1

To równanie przedstawia hiperbolę otwierającą się w lewo i w prawo. Punkty (±a,0) to wierzchołki hiperboli, położone na osi x.

Części hiperboli

Hiperbola to przekrój stożkowy powstały, gdy płaszczyzna przecina podwójny prawy okrągły stożek pod kątem takim, że obie połówki stożka łączą się. Można go opisać za pomocą pojęć takich jak ognisko, kierownica, latus rectum i ekscentryczność.

Ekscentryczność hiperboli

Ekscentryczność hiperboli to stosunek odległości punktu od ogniska do jego prostopadłej odległości od kierownicy. Oznacza się to literą „ To jest '.

• Mimośrodowość hiperboli jest zawsze większa niż 1, tj. e> 1.
• Ekscentryczność hiperboli łatwo wyznaczyć ze wzoru:

mi = √[1 + (ur ² /A ² )]

Gdzie,

• A to Długość półosi wielkiej
• B to Długość półosi małej

Czytaj więcej: Ekscentryczność

Standardowe równanie hiperboli

Standardowe równania hiperboli to:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

LUB

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Hiperbola ma dwa równania standardowe. Te równania hiperboli opierają się na jej osi poprzecznej i osi sprzężonej.

ile miast jest w stanach zjednoczonych

• Standardowe równanie hiperboli to [(x²/A²) - (I²/B²)] = 1, gdzie oś X jest osią poprzeczną, a oś Y jest osią sprzężoną.
• Ponadto innym standardowym równaniem hiperboli jest [(y²/A²)- (X²/B²)] = 1, gdzie oś Y jest osią poprzeczną, a oś X jest osią sprzężoną.
• Standardowe równanie hiperboli ze środkiem (h, k) i osią X jako osią poprzeczną i osią Y jako osią sprzężoną:

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Co więcej, inne standardowe równanie hiperboli ze środkiem (h, k) i osią Y jako osią poprzeczną i osią X jako osią sprzężoną to

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Prawa strona hiperboli

Latus rectum hiperboli to linia przechodząca przez dowolne z ognisk hiperboli i prostopadła do osi poprzecznej hiperboli. Końce odbytnicy latus leżą na hiperboli, a jej długość wynosi 2b²/A.

Wyprowadzenie równania hiperboli

Rozważmy punkt P hiperboli, którego współrzędne to (x, y). Z definicji hiperboli wiemy, że różnica odległości punktu P od dwóch ognisk F i F’ wynosi 2a, czyli PF’-PF = 2a.

Niech współrzędnymi ognisk będą F (c, o) i F’(-c, 0).

Teraz, korzystając ze wzoru na odległość współrzędnych, możemy znaleźć odległość punktu P (x, y) od ognisk F (c, 0) i F’(-c, 0).

√[(x + c)²+ (i – 0)²] – √[(x – c)²+ (i – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + do)²+ i²] = 2a + √[(x – c)²+ i²]

Teraz, podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymamy

(x + c)²+ i²= 4a²+ (x – c)²+ i²+ 4a√[(x – c)²+ i²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ i²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ i²]

Teraz, podnosząc do kwadratu obie strony i upraszczając, otrzymamy

[(X²/A²) - (I²/(C²- A²))] = 1

Mamy, C²= za²+ b², więc podstawiając to do powyższego równania, otrzymujemy

X²/A²- I²/B²= 1

Stąd wyprowadza się standardowe równanie hiperboli.

Podobnie możemy wyprowadzić standardowe równania drugiej hiperboli, tj. [y²/A²- X²/B²] = 1

Wzór hiperboli

Poniższe wzory hiperboli są szeroko stosowane w znajdowaniu różnych parametrów hiperboli, które obejmują równanie hiperboli, oś większą i mniejszą, mimośrodowość, asymptoty, wierzchołek, ognisko i pół-latus odbytnicy.

Gdzie,

• ( X₀, i₀​) jest punktem centralnym
• A jest półoś główną
• B to oś półmała.

Wykres hiperboli

Hiperbola to krzywa, która ma dwie nieograniczone krzywe, które są swoimi lustrzanymi odbiciami. Wykres hiperboli pokazuje tę krzywą w płaszczyźnie 2D. Możemy obserwować różne części hiperboli na wykresach hiperboli dla standardowych równań podanych poniżej:

Równanie hiperboli	Wykres hiperboli	Parametry hiperboli
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Współrzędne środka: (0, 0) Współrzędne wierzchołka: (a, 0) i (-a, 0) Współrzędne ognisk: (c, 0) i (-c, 0) Długość osi poprzecznej = 2a Długość osi sprzężonej = 2b Długość latus rectum = 2b2/A Równania asymptot: y = (b/a) x i y = -(b/a) x Mimośród (e) = √[1 + (b2/A2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Współrzędne środka: (0, 0) Współrzędne wierzchołka: (0, a) i (0, -a) Współrzędne ognisk: (0, c) i (0, -c) Długość osi poprzecznej = 2b Długość osi sprzężonej = 2a Długość latus rectum = 2b2/A Równania asymptot: y = (a/b) x i y = -(a/b) x Mimośród (e) = √[1 + (b2/A2)]

Sprzężona hiperbola

Hiperbola sprzężona to 2 hiperbole takie, że oś poprzeczna i sprzężona jednej hiperboli są odpowiednio osią sprzężoną i poprzeczną drugiej hiperboli.

Sprzężona hiperbola (x²/ A²) - (I²/B²) = 1 to,

(X ² / A ² ) - (I ² / B ² ) = 1

Gdzie,

• A to półoś wielka
• B to oś półmała
• To jest jest Mimośród paraboli
• A ² = b ² (To jest ² - 1)

Właściwości hiperboli

• Jeśli mimośrody hiperboli i jej koniugatu wynoszą e₁i e₂Następnie,

(1 i ₁ ² ) + (1 / np ₂ ² ) = 1

• Ogniska hiperboli i jej koniugatu są koncykliczne i tworzą wierzchołki kwadratu.
• Hiperbole są równe, jeśli mają ten sam latus rectum.

Okręgi pomocnicze hiperboli

Okrąg pomocniczy to okrąg narysowany ze środkiem C i średnicą jako osią poprzeczną hiperboli. Okrąg pomocniczy równania hiperboli to:

X ² + i ² = za ²

Hiperbola prostokątna

Hiperbola o osi poprzecznej równej 2a i osi sprzężonej równej długości 2b nazywana jest hiperbolą prostokątną. tj. w hiperboli prostokątnej,

2a = 2b

⇒ a = b

Równanie hiperboli prostokątnej podaje się w następujący sposób:

X ² - I ² = za ²

Notatka: Ekscentryczność hiperboli prostokątnej wynosi √2.

Parametryczna reprezentacja hiperboli

Parametryczna reprezentacja okręgów pomocniczych hiperboli to:

x = a sec θ, y = b tan θ

Ludzie też czytają

• Sekcja stożkowa
• Parabola
• Koło
• Elipsa

Klasa hiperboli 11

W matematyce klasy 11 badanie hiperboli stanowi część przekrojów stożkowych w geometrii analitycznej. Zrozumienie hiperboli na tym poziomie wymaga zbadania ich definicji, standardowych równań, właściwości i różnych elementów z nimi związanych.

Program zajęć w klasie 11 zazwyczaj obejmuje wyprowadzanie tych równań i właściwości, szkicowanie hiperboli na podstawie podanych równań oraz rozwiązywanie problemów związanych z elementami i położeniem hiperboli. Opanowanie tych pojęć stanowi solidną podstawę analityczną geometria , przygotowanie studentów do dalszych studiów na kierunkach matematycznych i pokrewnych.

Podsumowanie – Hiperbola

Hiperbola to rodzaj przekroju stożkowego, który powstaje, gdy płaszczyzna przecina stożek pod kątem, w wyniku czego powstają dwie oddzielne krzywe. Hiperbola, charakteryzująca się lustrzaną symetrią, składa się z dwóch niepołączonych gałęzi, z których każda zakrzywia się od siebie. Można go zdefiniować matematycznie w płaszczyźnie współrzędnych za pomocą standardowego równania, które zmienia się w zależności od jego orientacji — poziomej lub pionowej — oraz tego, czy jego środek znajduje się w początku układu współrzędnych, czy w innym punkcie.

Standardowe formularze to X ² /A ² - I ² /B ² = 1 dla hiperboli otwierającej się poziomo i I ² /A ² - X ² /B ² = 1 dla jednego otworu w pionie, z możliwością dostosowania środka przesuniętego do (h, k). Kluczowe cechy hiperboli obejmują wierzchołki, punkty na każdej gałęzi położone najbliżej środka; ogniska, punkty, od których odległości do dowolnego punktu hiperboli mają stałą różnicę; i asymptoty, linie, do których gałęzie się zbliżają, ale nigdy się nie dotykają.

Właściwości hiperbol sprawiają, że są one istotne w różnych dziedzinach, w tym w astronomii, fizyce i inżynierii, do modelowania i analizowania trajektorii i zachowań hiperbolicznych.

Rozwiązane przykłady na hiperboli

Pytanie 1: Określ mimośród hiperboli x ² /64 – i ² /36 = 1.

Rozwiązanie:

Równanie hiperboli to x²/64 – i²/36 = 0

Porównując dane równanie ze standardowym równaniem hiperboli x²/A²- I²/B²= 1, otrzymujemy

A²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Mamy,

Mimośród hiperboli (e) = √(1 + b²/A²)

⇒ mi = √(1 + 6²/8²)

⇒ mi = √(1 + 36/64)

⇒ mi = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Stąd mimośród danej hiperboli wynosi 1,25.

Pytanie 2: Jeśli równanie hiperboli wynosi [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, znajdź długości osi większej, mniejszej i latus rectum.

Rozwiązanie:

Równanie hiperboli to [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Porównując dane równanie ze standardowym równaniem hiperboli, (x – h)²/A²– (i – k)²/B²= 1

Tutaj x = 4 jest osią główną, a y = 3 jest osią małą.

A²= 25 a = 5

B²= 9 b = 3

Długość głównej osi = 2a = 2 × (5) = 10 jednostek

Długość mniejszej osi = 2b = 2 × (3) = 6 jednostek

Długość latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 jednostki

Pytanie 3: Znajdź wierzchołek, asymptotę, oś wielką, oś małą i kierownicę, jeśli równanie hiperboli ma postać [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Rozwiązanie:

Równanie hiperboli to [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Porównując dane równanie ze standardowym równaniem hiperboli, (x – h)²/A²– (i – k)²/B²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Wierzchołek hiperboli: (h + a, k) i (h – a, k) = (13, 2) i (-1, 2)

Główna oś hiperboli to x = h x = 6

Mniejsza oś hiperboli to y = k y = 2

Równania asymptot hiperboli są

y = k − (b / a)x + (b / a)h i y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 i y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 i y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x i y = -1,43 + 0,57x

Równanie kierownicy hiperboli to x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Pytanie 4: Znajdź mimośród hiperboli, której latus rectum stanowi połowę jej osi sprzężonej.

Rozwiązanie:

Długość latus rectum stanowi połowę jego osi sprzężonej

Niech Równanie hiperboli będzie [(x²/ A²) - (I²/ B²)] = 1

Oś sprzężona = 2b

Długość odbytnicy latus = (2b²/ A)

Z podanych danych (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Mamy,

Mimośród hiperboli (e) = √[1 + (b²/A²)]

Teraz podstawimy a = 2b do wzoru na mimośrod

⇒ mi = √[1 + (ur²/(2b)²]

⇒ mi = √[1 + (ur²/4b²)] = √(5/4)

⇒ mi = √5/2

Zatem wymagana mimośród wynosi √5/2.

Ćwicz problemy dotyczące hiperboli

P1. Znajdź równanie w postaci standardowej hiperboli z wierzchołkami w (-3, 2) i (1, 2) i ogniskową 5.

P2. Wyznacz środek, wierzchołki i ogniska hiperboli za pomocą równania 9x ² – 4 lata ² = 36.

P3. Biorąc pod uwagę hiperbolę z równaniem (x – 2) ² /16 – (i + 1) ² /9 = 1, znajdź współrzędne jego środka, wierzchołków i ognisk.

P4. Zapisz równanie hiperboli z poziomą osią główną, środkiem w (0, 0), wierzchołkiem w (5, 0) i ogniskiem w (3, 0).

przekonwertuj datę na ciąg

Hiperbola – często zadawane pytania

Czym jest hiperbola w matematyce?

Miejsce punktu na płaszczyźnie takie, że stosunek jego odległości od stałego punktu do odległości od ustalonej linii jest stały większy niż 1, nazywa się hiperbolą.

Co to jest równanie standardowe hiperboli?

Standardowe równanie hiperboli to

(X ² /A ² ) - (I ² /B ² ) = 1

Co to jest ekscentryczność hiperboli?

Ekscentryczność hiperboli to stosunek odległości punktu od ogniska do jego prostopadłej odległości od kierownicy. W przypadku hiperboli mimośród jest zawsze większy niż 1.

Jaki jest wzór na mimośrodowość hiperboli?

Wzór na mimośrodowość hiperboli to: mi = √(1 + (b ² /A ² ))

Czym są Ogniska z hiperboli?

Hiperbola ma dwa ogniska. Dla hiperboli (x²/A²) - (I²/B²) = 1, ogniska są określone przez (ae, 0) i (-ae, 0)

Co to jest oś poprzeczna hiperboli?

Dla hiperboli (x²/A²) - (I²/B²) = 1, oś poprzeczna przebiega wzdłuż osi x. Jego długość jest określona wzorem 2a. Linie przechodzące przez środek i ogniska hiperboli nazywane są osią poprzeczną hiperboli.

Co to są asymptoty hiperboli?

Linie równoległe do hiperboli, które spotykają się z hiperbolą w nieskończoności, nazywane są asymptotami hiperboli.

Ile asymptot ma hiperbola?

Hiperbola ma 2 asymptoty. Asymptoty to prosta styczna do hiperboli, która spotyka się z hiperbolą w nieskończoności.

Do czego służy hiperbola?

Hiperbole znajdują zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak astronomia, fizyka, inżynieria i ekonomia. Wykorzystuje się je między innymi w trajektoriach satelitów, wzorach transmisji radiowych, namierzaniu artylerii, modelowaniu finansowym i mechanice niebieskiej.

Jaka jest różnica między parabolą a hiperbolą w formie standardowej?

W standardowej formie równanie paraboli obejmuje wyrazy podniesione do potęgi 1 i 2, podczas gdy równanie hiperboli obejmuje wyrazy podniesione do potęgi 2 i -2. Ponadto parabola charakteryzuje się jednym punktem skupienia, podczas gdy hiperbola ma dwa.

Co to jest podstawowe równanie wykresu hiperboli?

Podstawowe równanie wykresu hiperboli to:

(x – godz.)²/ A²– (i – k)²/ B²= 1

Lub

(i – k)²/ B²– (x -h)²/ A²= 1

Jakie są rodzaje hiperboli?

Hiperbole można podzielić na trzy typy w zależności od ich orientacji: hiperbole poziome, pionowe i ukośne.

Jak rozpoznać równanie hiperboli?

Równanie hiperboli zazwyczaj obejmuje terminy z obydwoma X I I zmiennych, z różnicą między kwadratami X I I współczynniki, a współczynniki tych wyrazów są odpowiednio dodatnie i ujemne.

Jaki jest wzór B w hiperboli?

W standardowej postaci równania hiperboli B reprezentuje długość osi koniugatu, a jej wzór to B = 2 B , Gdzie B jest odległością od środka do wierzchołków wzdłuż osi sprzężonej.

Jak narysować hiperbolę?

Aby narysować hiperbolę, zwykle zaczynasz od wykreślenia punktu środkowego, a następnie zaznaczasz wierzchołki, ogniska, asymptoty i inne kluczowe punkty w oparciu o dane równanie lub właściwości. Na koniec naszkicuj krzywe hiperboli, używając tych punktów jako prowadnic.