Stwierdzenie implikacji można przedstawić w postaci „jeśli…to”. Symbol ⇒ służy do pokazania implikacji. Załóżmy, że istnieją dwa stwierdzenia, P i Q. W tym przypadku stwierdzenie „jeśli P to Q” można również zapisać jako P ⇒ Q lub P → Q i będzie ono odczytane jako „P implikuje Q”. W tej implikacji stwierdzenie P jest hipotezą, znaną również jako przesłanka i poprzednik, a stwierdzenie Q jest konkluzją, znaną również jako następnik.
Implikacja odgrywa również ważną rolę w argumentacji logicznej. Jeśli wiadomo, że implikacje ze stwierdzeń są prawdziwe, to ilekroć przesłanka jest spełniona, wniosek również musi być prawdziwy. Z tego powodu implikacja jest również nazywana instrukcją warunkową.
Niektóre przykłady implikacji opisano w następujący sposób:
... w Javie
- „Jeśli pogoda w GOA będzie słoneczna, pojedziemy na plażę”.
- „Jeśli klub ma system zniżek, to pójdziemy do tego klubu”.
- „Jeśli na plaży będzie słonecznie, będziemy opaleni”.
Implikację logiczną można wyrazić na różne sposoby, które opisano w następujący sposób:
- Jeśli p, to q
- Jeśli p, q
- q kiedy p
- Q tylko wtedy, gdy P
- q, chyba że ~str
- q kiedykolwiek p
- p jest warunkiem wystarczającym dla q
- q podążaj za str
- p oznacza q
- Warunkiem koniecznym p jest q
- q jeśli p
- q jest konieczne dla p
- p jest warunkiem koniecznym q
Teraz opiszemy przykłady wszystkich opisanych powyżej implikacji za pomocą przesłanki P i wniosku Q. W tym celu założymy, że P = Jest słonecznie i Q = pójdę na plażę.
P ⇒ Q
- JEŚLI będzie słonecznie, WTEDY pójdę na plażę
- JEŚLI będzie słonecznie, pójdę na plażę
- Pójdę na plażę KIEDY będzie słonecznie
- Pójdę na plażę TYLKO JEŚLI będzie słonecznie
- Pójdę na plażę, JEŚLI nie będzie słonecznie
- Pójdę na plażę, KIEDY będzie słonecznie
- Słoneczko JEST WARUNKIEM WYSTARCZAJĄCYM, ŻE MOGĘ Pójść na plażę
- Pójdę na plażę PODĄŻAJ, jest słonecznie
- Jest słonecznie OZNACZA, że pójdę na plażę
- WARUNKIEM KONIECZNYM, ABY było słonecznie, jest wyjście na plażę
- Pójdę na plażę, JEŚLI będzie słonecznie
- Pójdę na plażę KONIECZNIE, BO jest słonecznie
- Słoneczko JEST WARUNKIEM KONIECZNYM, ABY Pójść na plażę
Gdy istnieje zdanie warunkowe „jeśli p to q”, to stwierdzenie P ⇒ Q będzie fałszywe, jeśli Przesłanka p jest prawdziwa, a Wniosek q jest fałszywy. We wszystkich pozostałych przypadkach, czyli gdy p jest fałszywe lub Q jest prawdziwe, stwierdzenie P ⇒ Q będzie prawdziwe. Możemy przedstawić to stwierdzenie za pomocą tablicy prawdy, w której fałsz będzie reprezentowany przez F, a prawda będzie reprezentowana przez T. Tablicę prawdy stwierdzenia „jeśli P to Q” opisano następująco:
| P | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Nie jest konieczne, aby przesłanki i wnioski były ze sobą powiązane. Na podstawie sformułowania P i Q uzależniona jest interpretacja tabeli prawdy.
Na przykład:
- Jeśli Jack jest wykonany z plastiku, to Ocean jest zielony.
- Oświadczenie: Jack jest wykonany z tworzywa sztucznego
- Stwierdzenie: Ocean jest zielony
Powyższe dwa stwierdzenia nie mają żadnego sensu, ponieważ Jack jest człowiekiem i nigdy nie można go zrobić z plastiku, a drugie stwierdzenie Ocean jest zielony nigdy się nie wydarzy, ponieważ ocean jest zawsze niebieski, a jego koloru nie można zmienić. Jak widzimy, oba stwierdzenia nie są ze sobą powiązane. Z drugiej strony obowiązuje tablica prawdy dla stwierdzenia P ⇒ Q. Zatem nie jest to kwestia tego, czy tabela prawdy jest poprawna, czy nie, ale jest to kwestia wyobraźni i interpretacji.
Zatem w P ⇒ Q nie potrzebujemy żadnego rodzaju powiązania między przesłanką a następstwem. Znaczenie tych wartości zależy tylko od prawdziwych wartości P i Q.
Stwierdzenia te również będą fałszywe, nawet jeśli weźmiemy pod uwagę oba stwierdzenia dotyczące naszego świata, tzw
False ⇒ False
Kiedy więc spojrzymy na powyższą tabelę prawdy, zobaczymy, że gdy P jest fałszywe, a Q jest fałszywe, to P ⇒ Q jest prawdziwe.
Jeśli więc Jack jest wykonany z plastiku, Ocean będzie zielony.
Jednakże przesłanka p i wniosek q będą powiązane i oba stwierdzenia mają sens.
Niejasność
Operator implikowany może być niejednoznaczny. Kiedy więc używamy operatora implikacji (⇒), w tym momencie powinniśmy użyć nawiasu.
Na przykład: W tym przykładzie mamy niejednoznaczne stwierdzenie P ⇒ Q ⇒ R. Mamy teraz dwa niejednoznaczne stwierdzenia ((P ⇒ Q) ⇒ R) lub (P ⇒ (Q ⇒ R)) i musimy pokazać, czy te stwierdzenia są podobne, czy nie.
Rozwiązanie: Udowodnimy to za pomocą tabeli prawdy, która jest opisana w następujący sposób:
| P | Q | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
W powyższej tabeli prawdy widzimy, że tablica prawdy P ⇒ (Q ⇒ R) i (P ⇒ Q) ⇒ R nie są podobne. W związku z tym oba będą generować różne produkty lub rezultaty.
Więcej o Implikacji
Więcej przykładów implikacji opisano poniżej:
- Jeśli będzie słonecznie, pójdę do szkoły.
- Jeśli znajdę dobrą pracę, zarobię pieniądze.
- Jeśli dostanę dobre oceny, moi rodzice będą szczęśliwi.
We wszystkich powyższych przykładach jesteśmy zdezorientowani, ponieważ nie wiemy, kiedy implikacja zostanie uznana za prawdziwą, a kiedy za fałszywą. Aby rozwiązać ten problem i zrozumieć pojęcie implikacji, posłużymy się hipotetycznym przykładem. W tym przykładzie założymy, że Marry będzie grać w badmintona ze swoim chłopakiem Jackiem, a jego chłopak Jack chce trochę zmotywować Marry, więc kusi ją stwierdzeniem:
'If you win then I will buy a ring for you'
Poprzez to stwierdzenie Jack ma na myśli, że jeśli małżeństwo wygra, to oczywiście kupi pierścionek. Poprzez to oświadczenie Jack zobowiązuje się tylko wtedy, gdy Marry wygra. W żadnym wypadku nie popełnił niczego, gdy Maryja przegrała. Zatem na koniec meczu mogą być tylko cztery możliwości, które opisano w następujący sposób:
- Ślub wygrywa - kup pierścionek.
- Ślub wygrywa – nie kupuj pierścionka.
- Ślub przegrywa - kup pierścionek.
- Ślub przegrywa – nie kupuj pierścionka.
Jednakże Jack nie złożył żadnego oświadczenia dotyczącego reguły (B). W swoim oświadczeniu nie wspomniał także o zasadach numer (C) i (D), więc jeśli Marry przegra, to od Jacka zależy wyłącznie, czy kupi dla niej pierścionek, czy nie. W efekcie stwierdzenia (A), (C) i (D) mogą wystąpić jako wynik stwierdzenia Jacka, które mówi do Marry, ale (B) nie będzie wynikiem. Jeśli nastąpi wynik (B), tylko wtedy Jack zostanie przyłapany na kłamstwie. We wszystkich pozostałych trzech przypadkach, tj. (A), (C) i (D), powiedział prawdę.
Teraz użyjemy prostszego stwierdzenia, abyśmy mogli symbolicznie zdefiniować stwierdzenie Jacka w ten sposób:
P: you win Q: I will buy a ring for you
W tej implikacji używamy symbolu logicznego ⇒, który można odczytać jako „sugerowanie”. Stworzymy instrukcję Jack’s Compound, umieszczając tę strzałkę z P na Q w następujący sposób:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Podsumowując, zaobserwowaliśmy, że implikacja będzie fałszywa tylko wtedy, gdy P będzie prawdziwe, a q będzie fałszywe. Zgodnie z tym stwierdzeniem Marry wygrywa grę, ale niestety Jack nie kupuje pierścionka. We wszystkich pozostałych przypadkach/wynikach stwierdzenie będzie prawdziwe. W związku z tym tabela prawdy dla implikacji jest opisana w następujący sposób:
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Lista odpowiednich równań logicznych dla implikacji jest opisana w następujący sposób:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Przykłady implikacji:
Istnieje wiele przykładów implikacji, a niektóre z nich opisano w następujący sposób:
Przykład 1: Załóżmy, że istnieją cztery stwierdzenia: P, Q, R i S gdzie
P: Jack jest w szkole
P: Jack uczy
R: Jack śpi
P.: Jacek jest chory
Teraz opiszemy niektóre symboliczne stwierdzenia, które są związane z tymi prostymi stwierdzeniami.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Tutaj musimy pokazać reprezentację interpretacji tych symbolicznych stwierdzeń w słowach.
Rozwiązanie:
| P → R | Jeśli Jack jest w szkole, to Jack uczy. |
| S → ~P | Jeśli Jack jest chory, to nie ma go w szkole. |
| ~Q → (S ∧ R) | Jeśli Jack nie uczy, oznacza to, że jest chory i śpi. |
| (P ∨ R) → ~Q | Jeśli Jack jest w szkole lub śpi, to nie uczy. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Jeśli Jack nie śpi i nie jest chory, to uczy w szkole lub nie. |
Przykład 2: W tym przykładzie mamy implikację P → Q. Mamy tu także trzy kolejne zdania złożone, które są w naturalny sposób powiązane z tą implikacją, która jest przeciwna, dodatnia, odwrotna i odwrotna do implikacji. Relację pomiędzy wszystkimi czterema stwierdzeniami opisujemy za pomocą tabeli, która wygląda następująco:
| Implikacja | P → P |
| Rozmawiać | P → P |
| Odwrotność | ~P → ~Q |
| Kontrapozytywny | ~P → ~P |
Rozważmy teraz przykład implikacji, który zawiera stwierdzenie: „Jeśli dobrze się uczysz, otrzymujesz dobre oceny”. To stwierdzenie ma postać P → Q, gdzie
P: Dobrze się uczysz
P: Dostajesz dobre oceny
Teraz użyjemy instrukcji P i Q i pokażemy cztery powiązane instrukcje w następujący sposób:
Implikacja: Jeśli dobrze się uczysz, otrzymujesz dobre oceny.
Rozmawiać: Jeśli masz dobre oceny, dobrze się uczysz.
Odwrotność: Jeśli nie będziesz się dobrze uczył, nie dostaniesz dobrych ocen.
Kontrapozytywny: Jeśli nie zdobywasz dobrych ocen, nie uczysz się dobrze.
Wartości logiczne wszystkich powyższych stwierdzeń towarzyszących opisano za pomocą tabeli prawdy, którą opisano poniżej
| P | Q | ~P | ~P | P → P | P → P | ~P → ~Q | ~P → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
W powyższej tabeli widzimy, że implikacja (P → Q) i jej przeciwieństwo (~Q → ~P) mają w swoich kolumnach tę samą wartość. Oznacza to, że oba są równoważne. Możemy więc powiedzieć, że:
P → Q = ~Q → ~P
Podobnie widzimy, że odwrotność i odwrotność mają podobne wartości w swoich kolumnach. Ale to nie zrobi żadnej różnicy, ponieważ odwrotność jest przeciwieństwem odwrotności. Podobnie pierwotną implikację można uzyskać z kontrastu przeciwpozytywnego. (Oznacza to, że jeśli zanegujemy P i Q, a następnie zmienimy kierunek strzałki, a następnie powtórzymy ten proces ponownie, czyli zanegujemy ~P i ~Q i ponownie zmienimy kierunek strzałki, w tym przypadku otrzymamy tam, gdzie zaczęliśmy).