Zasada 2

Jeśli zamienimy lewą i prawą stronę wyrażeń, nierówność się odwróci. Nazywa się to właściwością odwrotną.

• Jeśli a> b, to b
• Jeśli A
• Jeśli a ≥ b, to b ≤ a
• Jeśli a ≤ b, to b ≥ a

Zasada 3

Jeżeli od obu stron nierówności dodamy lub odejmiemy tę samą stałą k, wówczas obie strony nierówności będą równe.

• Jeśli a> b, to a + k> b + k
• Jeśli a> b, to a – k> b – k

Podobnie dla innych nierówności.

• Jeśli
• Jeśli
• Jeśli a ≤ b, to a + k ≤ b + k
• Jeśli a ≤ b, to a – k ≤ b – k
• Jeśli a ≥ b, to a + k ≥ b + k
• Jeśli a ≥ b, to a – k ≥ b – k

Kierunek nierówności nie zmienia się po dodaniu lub odjęciu stałej.

Zasada 4

Jeżeli k jest stałą dodatnią, która jest mnożona lub dzielona przez obie strony nierówności, to kierunek nierówności nie ulega zmianie.

• Jeśli a> b, to ak> bk
• Jeśli
• Jeśli a ≤ b, to ak ≤ bk
• Jeśli a ≥ b, to ak ≥ bk

Jeśli k jest stałą ujemną, która jest mnożona lub dzielona przez obie strony nierówności, wówczas kierunek nierówności ulega odwróceniu.

• Jeśli a> b, to ok
• Jeśli a> b, to ok
• Jeśli a ≥ b, to ak ≤ bk
• Jeśli a ≤ b, to ak ≥ bk

Zasada 5

Kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero.

• A²≥ 0

Zasada 6

Wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego po obu stronach nierówności nie zmienia kierunku nierówności.

• Jeśli a> b, to √a> √b
• Jeśli
• Jeśli a ≥ b, to √a ≥ √b
• Jeśli a ≤ b, to √a ≤ √b

Wykres nierówności

Nierówności występują albo z jedną zmienną, albo z dwiema, albo mamy system nierówności, wszystkie można przedstawić na płaszczyźnie kartezjańskiej, jeśli zawiera ona tylko dwie zmienne. Nierówności jednej zmiennej wykreślono na liniach rzeczywistych, a dwie zmienne na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Notacja przedziałowa nierówności

Ważne punkty dotyczące zapisywania odstępów dla nierówności:

• W przypadku wartości większych i równych ( ≥ ) lub mniej niż równa ( ≤ ), uwzględniane są wartości końcowe, dlatego stosuje się nawiasy zamknięte lub kwadratowe [ ].
• W przypadku większej niż ( > ) lub mniej niż ( < ), wartości końcowe są wykluczone, dlatego używane są nawiasy otwarte ().
• Zarówno dla nieskończoności dodatniej, jak i ujemnej używane są nawiasy otwarte ().

Poniższa tabela przedstawia przedziały dla różnych nierówności:

Wykres nierówności liniowych z jedną zmienną

Z poniższej tabeli możemy zrozumieć, jak wykreślić różne nierówności liniowe z jedną zmienną na prostej rzeczywistej.

Nierówność	Interwał	Wykres
x> 1	(1, ∞)	Nierówności liniowe z jedną zmienną
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Wykres nierówności liniowych z dwiema zmiennymi

Weźmy przykład nierówności liniowych z dwiema zmiennymi.

Rozważmy nierówność liniową 20x + 10y ≤ 60, ponieważ możliwymi rozwiązaniami danej nierówności są (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1 ), (2,2), (3,0), a także wszystkie punkty poza tymi punktami są również rozwiązaniem nierówności.

Narysujmy wykres z podanych rozwiązań.

Zacieniony obszar na wykresie przedstawia możliwe rozwiązania danej nierówności.

Przeczytaj także

• Graficzne rozwiązanie nierówności liniowych dwóch zmiennych

Rodzaje nierówności

Istnieje kilka rodzajów nierówności, które można sklasyfikować w następujący sposób:

• Nierówności wielomianowe: Nierówności wielomianowe to nierówności, które można przedstawić w postaci wielomianów. Przykład - 2x + 3 ≤ 10.
• Nierówności wartości bezwzględnych: Nierówności wartości bezwzględnych to nierówności w obrębie znaku wartości bezwzględnej. Przykład- |y + 3| ≤ 4.
• Racjonalne nierówności: Nierówności wymierne to nierówności zawierające ułamki wraz ze zmiennymi. Przykład- (x + 4) / (x – 5) <5.

Jak rozwiązywać nierówności

Aby rozwiązać nierówności, możemy zastosować następujące kroki:

• Krok 1: Zapisz nierówność w postaci równania.
• Krok 2: Rozwiąż równanie i znajdź pierwiastki nierówności.
• Krok 3: Przedstaw uzyskane wartości na osi liczbowej.
• Krok 4: Przedstaw wykluczone wartości również na osi liczbowej za pomocą otwartych okręgów.
• Krok 5: Znajdź odstępy na osi liczbowej.
• Krok 6: Z każdego przedziału pobierz losową wartość, wstaw te wartości do nierówności i sprawdź, czy spełnia ona nierówność.
• Krok 7: Rozwiązaniem nierówności są przedziały spełniające nierówność.

Jak rozwiązywać nierówności wielomianowe

Nierówności wielomianowe obejmują nierówności liniowe, nierówności kwadratowe, nierówności sześcienne itp. Tutaj nauczymy się rozwiązywać nierówności liniowe i kwadratowe.

Rozwiązywanie nierówności liniowych

Nierówności liniowe można rozwiązać jak równania liniowe, ale zgodnie z regułą nierówności. Nierówności liniowe można rozwiązać za pomocą prostych operacji algebraicznych.

Nierówności jedno- lub dwustopniowe

Nierówność jednoetapowa to nierówności, które można rozwiązać w jednym kroku.

Przykład: Rozwiąż: 5x <10

Rozwiązanie:

⇒ 5x <10 [Dzielenie obu stron przez 5]

⇒ x <2 lub (-∞, 2)

Nierówność dwuetapowa to nierówności, które można rozwiązać w dwóch etapach.

Przykład: Rozwiąż: 4x + 2 ≥ 10

Rozwiązanie:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Odejmowanie 2 z obu stron]

⇒ 4x ≥ 8 [Dzielenie obu stron przez 4]

⇒ x ≥ 2 lub [2, ∞)

Nierówności złożone

Nierówności złożone to nierówności, które mają wiele nierówności oddzielonych znakami i lub lub. Aby rozwiązać nierówności złożone, należy rozwiązać nierówności osobno i dla ostatecznego rozwiązania wykonać przecięcie otrzymanych rozwiązań, jeśli nierówności są oddzielone przez i wykonać sumę otrzymanych rozwiązań, jeśli nierówności są oddzielone przez lub.

Przykład: Rozwiąż: 4x + 6 <10 i 5x + 2 <12

Rozwiązanie:

Najpierw rozwiąż 4x + 6 <10

jak zdobyć gołębia łownego na Androida

⇒ 4x + 6 <10 [Odejmowanie 6 od obu stron]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 lub (-∞, 1) —–(i)

Drugie rozwiązanie 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Odejmowanie 2 z obu stron]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 lub (-∞, 2) ——-(ii)

Z (i) i (ii) mamy dwa rozwiązania x <1 i x <2.

Jako ostateczne rozwiązanie przyjmujemy przecięcie, ponieważ nierówności są oddzielone przez i.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Ostatecznym rozwiązaniem danej nierówności złożonej jest (-∞, 1).

Czytaj więcej

• Nierówności złożone
• Zadania słowne nierówności liniowych
• Nierówność trójkąta

Rozwiąż nierówności kwadratowe

Weźmy przykład rozwiązania nierówności wartości bezwzględnych.

Przykład: Rozwiąż nierówność: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Rozwiązanie:

Oto kroki rozwiązywania nierówności: x²– 7x + 6 ≥ 0

Krok 1: Zapisz nierówność w postaci równania:

X²– 7x + 6 = 0

Krok 2: Rozwiązać równanie:

X²– 7x + 6 = 0

X²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 i x = 1

Z powyższego kroku otrzymujemy wartości x = 6 i x = 1

Krok 3: Z powyższych wartości wynikają przedziały (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Ponieważ nierówność wynosi ≥, co obejmuje równe, więc dla uzyskanych wartości używamy nawiasu zamkniętego.

Krok 4: Przedstawienie powyższych przedziałów na linii liczbowej.

Krok 5: Weź losowe liczby pomiędzy każdym przedziałem i sprawdź, czy spełniają one wartość. Jeśli jest spełniony, w rozwiązaniu należy uwzględnić przerwę.

Dla przedziału (-∞, 1] niech losowa wartość będzie wynosić -1.

Podstaw x = -1 do nierówności x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (Prawda)

Dla przedziału [1, 6] niech losowa wartość będzie wynosić 2.

Wstawienie x = 0 do nierówności x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (fałsz)

Dla przedziału [6, ∞) niech losowa wartość wyniesie 7.

Wstawiając x = 7 do nierówności x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (Prawda)

Krok 6: Zatem rozwiązanie nierówności wartości bezwzględnych x²– 7x + 6 ≥ 0 to przedział (-∞, 1] ∪ [6, ∞) spełniający nierówność, którą można przedstawić na osi liczbowej jako:

Jak rozwiązać nierówności wartości bezwzględnych

Weźmy przykład rozwiązania nierówności wartości bezwzględnych.

Przykład: Rozwiąż nierówność: |y + 1| ≤ 2

Rozwiązanie:

Oto kroki rozwiązywania nierówności: |y + 1| ≤ 2

Krok 1: Zapisz nierówność w postaci równania:

|y + 1| = 2

Krok 2: Rozwiązać równanie:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 i y + 1 = – 2

y = 1 i y = -3

Z powyższego kroku otrzymujemy wartości y = 1 i y = -3

Krok 3: Z powyższych wartości wynikają przedziały (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Ponieważ nierówność wynosi ≤, co obejmuje równe, więc dla uzyskanych wartości używamy nawiasu zamkniętego.

Krok 4: Przedstawienie powyższych przedziałów na linii liczbowej.

Krok 5: Weź losowe liczby pomiędzy każdym przedziałem i sprawdź, czy spełniają one wartość. Jeśli jest spełniony, w rozwiązaniu należy uwzględnić przerwę.

Dla przedziału (-∞, -3] niech losowa wartość będzie wynosić -4.

Wstawiając y = -4 do nierówności |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (fałsz)

Dla przedziału [-3, 1] niech losowa wartość będzie równa 0.

Wstawiając y = 0 do nierówności |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (Prawda)

Dla przedziału [1, ∞) niech losowa wartość będzie wynosić 2.

Podstawiając y = 2 do nierówności |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (fałsz)

Krok 6: Zatem rozwiązanie nierówności wartości bezwzględnych |y + 1| ≤ 2 jest przedziałem [-3, -1], ponieważ spełnia nierówność, którą można przedstawić na osi liczbowej jako:

Jak rozwiązać racjonalne nierówności

Weźmy przykład rozwiązywania racjonalnych nierówności.

Przykład: Rozwiąż nierówność: (x + 3) / (x – 1) <2

Rozwiązanie:

Oto kroki rozwiązywania nierówności:

Krok 1: Zapisz nierówność w postaci równania: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Krok 2: Rozwiązać równanie:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Z powyższego kroku otrzymujemy wartość x = 5

Krok 3: Z powyższych wartości wynikają przedziały (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Ponieważ nierówność jest

Ponieważ dla x = 1 nierówność jest nieokreślona, ​​więc bierzemy nawias otwarty dla x = 1.

Krok 4: Przedstawienie powyższych przedziałów na linii liczbowej.

Krok 5: Weź losowe liczby pomiędzy każdym przedziałem i sprawdź, czy spełniają one wartość. Jeśli jest spełniony, w rozwiązaniu należy uwzględnić przerwę.

Dla przedziału (-∞, 1) niech losowa wartość będzie równa 0.

Umieszczenie x = 0 w nierówności (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (Prawda)

Dla przedziału (1, 5) niech losowa wartość będzie wynosić 2.

Podstawienie x = 3 do nierówności (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (Fałsz)

Dla przedziału (5, ∞) niech losowa wartość będzie wynosić 2.

Podstawienie y = 6 do nierówności (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (prawda)

Krok 6: Zatem rozwiązanie nierówności wartości bezwzględnych (x + 3) / (x – 1) <2 to przedział (-∞, 1) ∪ (5, ∞), ponieważ spełnia nierówność, którą można przedstawić na osi liczbowej jako:

Jak rozwiązać nierówność liniową za pomocą dwóch zmiennych

Weźmy przykład rozwiązania nierówności liniowej z dwiema zmiennymi.

Przykład: Rozwiązanie: 20x + 10 lat ≤ 60

Rozwiązanie:

Rozważmy x = 0 i wstawmy to do podanej nierówności

⇒ 20x + 10 lat ≤ 60

⇒ 20(0) + 10 lat ≤ 60

⇒ 10 lat ≤ 60

⇒ i ≤ 6 ——(i)

Teraz, gdy x = 0, y może wynosić od 0 do 6.

Podobnie umieszczenie wartości w nierówności i sprawdzenie, czy spełnia ona nierówność.

Dla x = 1, y może wynosić od 0 do 4.

Dla x = 2, y może wynosić od 0 do 2.

Dla x = 3, y może wynosić 0.

Możliwe rozwiązanie danej nierówności to (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Systemy nierówności

Systemy nierówności to zbiór dwóch lub większej liczby nierówności z jedną lub większą liczbą zmiennych. Systemy nierówności zawierają wiele nierówności z jedną lub większą liczbą zmiennych.

Układ nierówności ma postać:

A_jedenaścieX₁+ za₁₂X₂+ za₁₃X₃…….. + a_1nX_{N 1}

A_{dwadzieścia jeden}X₁+ za₂₂X₂+ za₂₃X₃…….. + a_2nX_{N 2}

A_n1X₁+ za_n2X₂+ za_n3X₃…….. + a_nnX_{N N}

Graficzna reprezentacja systemów nierówności

System nierówności to grupa nierówności wielokrotnych. Najpierw rozwiąż każdą nierówność i wykreśl wykres dla każdej nierówności. Przecięcie wykresu wszystkich nierówności reprezentuje wykres układów nierówności.

Rozważmy przykład,

Przykład: Wykres wykresu dla systemów nierówności

• 2x + 3 lata ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Rozwiązanie:

Wykres dla 2x + 3 lata ≤ 6

Zacieniony obszar wykresu reprezentuje 2x + 3y ≤ 6

Wykres dla x ≤ 3

Zacieniony obszar reprezentuje x ≤ 3

Wykres dla y ≤ 2

Zacieniony obszar reprezentuje y ≤ 2

Wykres zadanego układu nierówności

Zacieniony obszar reprezentuje dany układ nierówności.

węzeł listy

Nierówności – często zadawane pytania

Jaka jest koncepcja nierówności?

Nierówności to wyrażenia matematyczne, w których LHS i RHS wyrażenia są nierówne.

Jakie są symbole nierówności?

Symbolami nierówności są:>, <, ≥, ≤ i ≠.

Jaka jest przechodnia własność nierówności?

Własność przechodnia nierówności stwierdza, że ​​jeśli a, b, c są trzema liczbami, to:

• Jeśli a> b i b> c, to a> c
• Jeśli
• Jeśli a ≥ b i b ≥ c, to a ≥ c
• Jeśli a ≤ b i b ≤ c, to a ≤ c