Ścięty stożek to specjalny kształt, który powstaje w wyniku przecięcia stożka płaszczyzną równoległą do jego podstawy. Stożek jest trójwymiarowym kształtem mającym okrągłą podstawę i wierzchołek. Zatem ścięty stożek jest bryłą utworzoną przez usunięcie części stożka z płaszczyzną równoległą do okrągłej podstawy. Strumień ścięty definiuje się nie tylko dla stożków, ale można go również zdefiniować dla różnych typów piramid (piramida kwadratowa, piramida trójkątna itp.).

podciąg w Javie

Niektóre z typowych kształtów stożka ściętego, które odkrywamy w naszym codziennym życiu, to wiadra, abażury i inne. W tym artykule dowiemy się więcej o ściętym stożku.

Co to jest ścięcie stożka?

Frustum to łacińskie słowo, które oznacza kawałki, dlatego frustum stożka to solidny kawałek stożka. Kiedy prawy okrągły stożek przecina się płaszczyzną równoległą do podstawy stożka, uzyskany w ten sposób kształt nazywa się ściętą stożka. Poniższy rysunek pokazuje, jak płaszczyzna przecina stożek równolegle do jego podstawy, tworząc ściętą część stożka.

Teraz ściętą część stożka można łatwo zdefiniować jako:

Jeśli prawy okrągły stożek zostanie przecięty przez płaszczyznę równoległą do jego podstawy, kształt odcinka pomiędzy płaszczyzną przecięcia a płaszczyzną podstawy nazywa się ściętym stożkiem.

Siatka kawałka stożka

Jeśli trójwymiarowy (3D) kształt zostanie rozcięty i uzyskany w ten sposób kształt nazywa się siatką. Można założyć, że prawidłowo złożona siatka figury tworzy pożądany kształt 3D. Poniższy rysunek przedstawia siatkę ściętą stożka.

Właściwości kawałka stożka

Właściwości ściętego stożka są bardzo podobne do stożka, niektóre z ważnych właściwości ściętego stożka to:

• Podstawa stożka. Pierwotny stożek jest zawarty w ściętym stożku, ale jego wierzchołek nie jest zawarty w ściętym stożku.
• Wzory ściętego stożka zależą od jego wysokości i dwóch promieni (odpowiadających górnej i dolnej podstawie).
• Wysokość ściętego stożka to prostopadła odległość między środkami jego dwóch podstaw.

Wzory kawałka stożka

Ścięty stożek to taki kształt, który często widuje się w naszym codziennym życiu, na przykład w lampach stołowych, wiadrach itp. Ważne wzory na ścięty stożek to:

• Objętość kawałka stożka
• Powierzchnia ściętego stożka

Przyjrzyjmy się bliżej tym formułom poniżej,

Objętość kawałka stożka

Ścięta część szyszki to pokrojona w plasterki część szyszki, w której mały stożek jest usuwany z większego szyszki. Zatem, aby obliczyć objętość ściętego stożka, wystarczy obliczyć różnicę między objętością większego i mniejszego stożka.

Załóżmy,

• Całkowita wysokość stożka ma wynosić H + h
• Całkowita wysokość skosu wynosi l’ + L
• Promień pełnego stożka wynosi r
• Promień pokrojonego stożka wynosi r’

Ponieważ objętość stożka jest podana jako V = 1/3πr²H

Objętość całego stożka V₁= 1/3πr²(H+h)

Objętość mniejszego stożka V₂=1/3πr’²(H)

Teraz objętość ściętego stożka (V) można obliczyć ze wzoru:

V=V₁- W₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(H)

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Korzystając z własności podobieństwa trójkątów △OCD i △OAB, można napisać,

r / (H + h) = r’ / godz

r / r’ = (H + h) / godz

H + h = godz. / r’

Zastąp tę wartość (H+h) w równaniu (1) i uprość,

V = 1/3π[r²(rh / r’) – r’²(H)}

= 1/3π[{godz³– godz.³} / r’]…(2)

Korzystając ponownie z własności trójkąta podobnego w △OCD i △OAB, znajdziemy wartość h

r / (H + h) = r’ / godz

r / r’ = (H + h) / godz

rh = (H + h)r’

rh = hr’ + hr’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

Podstawiając te wartości do równania (2),

V = 1/3π[{r³godz. – r³h} / r’]

= 1/3π[{r³- R'³}h / r’]

= 1/3π[{r³- R'³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r’²+rr’)

Zatem,

Objętość ściętego stożka = 1/3 πH(r ² + r’ ² + rr’)

Powierzchnia ściętego stożka

Pole powierzchni ściętego stożka można obliczyć z różnicy między pole powierzchni całego stożka i mniejszy stożek (usunięty z całego stożka). Pole powierzchni ściętego stożka można obliczyć korzystając z poniższego wykresu, na którym należy zsumować pola powierzchni zakrzywionych oraz powierzchnie górnej i dolnej powierzchni ściętego stożka.

Podobnie jak objętość ściętego stożka, zakrzywiona powierzchnia będzie również równa różnicy między powierzchniami większego i mniejszego stożka.

Na powyższym rysunku trójkąty OAB i OCD są podobne. Stosując zatem kryteria podobieństwa, można napisać,

l’ / l = r’ / r…(1)

Ponieważ l’ = l – L zatem z równania (1)

(l – L) / l = r’ / r

Po pomnożeniu krzyżowym

ciąg zawiera

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Zakrzywiona powierzchnia całego stożka = πrl

Zakrzywiona powierzchnia mniejszego stożka = πr’l’

Różnica między zakrzywionymi powierzchniami pełnego stożka i mniejszego stożka = π (rl – r’l’)

Zatem zakrzywiona powierzchnia (CSA) ściętego stożka = πl (r – r’l’/l)

Użyj równania (1), aby zastąpić wartość l’/l w powyższym równaniu i uprościć,

CSA ściętego stożka = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²- R'²)/R

Teraz podstaw wartość l z równania (2) i uprość,

CSA ściętego stożka = πlr/(r – r’)× (r²- R'²)/r = πl (r + r')

Można zatem napisać,

Zakrzywiona powierzchnia ściętego stożka = πl (r + r’)

Obliczmy teraz pole powierzchni górnej i dolnej podstawy ściętego stożka, tak że:

Pole powierzchni górnej podstawy ściętego stożka o promieniu r’ = πr’²

Pole powierzchni dolnej podstawy ściętego stożka o promieniu r = πr²

Więc,

Całkowita powierzchnia ściętego stożka = zakrzywiona powierzchnia ściętego stożka + powierzchnia górnej podstawy + powierzchnia dolnej podstawy

Dlatego,

Całkowita powierzchnia ściętego stożka = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r’²)

Zatem całkowita powierzchnia ściętego stożka wynosi = πl (r + r’) + π (r²+ r’²)

Formułę tę można również zapisać jako:

Całkowita powierzchnia ściętego stożka wynosi = πl (r²- R'²)/r + π (r²+ r’²)

Można więc napisać,

Całkowita powierzchnia ściętego stożka = πl(r + r’) + π (r ² + r’ ² )

Lub

Całkowita powierzchnia ściętego stożka = πl (r ² - R' ² )/r + π (r ² + r’ ² )

Należy zauważyć, że l jest wysokością nachylenia mniejszego stożka, którą można podać jako

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Czytaj więcej

• Objętość stożka
• Objętość cylindra
• Objętość kuli

Rozwiązane przykłady dotyczące fragmentu stożka

Przykład 1: Oblicz objętość ściętego stożka o wysokości 15 cm i promieniach obu podstaw wynoszących 5 cm i 8 cm.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru zbadanego powyżej, można napisać,

V = 1/3 πH(r²+ r’²+ rr’)

Dany,

wys. = 15 cm
r’= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645πcm³

Przykład 2: Oblicz pole powierzchni i pole powierzchni całkowitej stożka ściętego stożka o wysokości 10 cm i promieniach obu podstaw wynoszących 4 cm i 8 cm.

Rozwiązanie:

Znamy wzór na pole powierzchni i całkowitą powierzchnię ściętego. Musimy podłączyć wymagane wartości.

Zakrzywiona powierzchnia ściętego = πl(r+r’)

Gdzie,
L = √ [H²+ (R – r)²]

Dany,
wys. = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Obliczanie wartości L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Zakrzywiona powierzchnia ściętego = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Całkowita powierzchnia = zakrzywiona powierzchnia ściętego + powierzchnia obu podstaw

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Przykład 3: Załóżmy, że mamy otwarte metalowe wiadro, którego wysokość wynosi 50 cm, a promienie podstaw wynoszą 10 cm i 20 cm. Znajdź obszar blacha używana do wykonania wiadra.

Rozwiązanie:

Wiadro ma kształt ściętego, zamykanego od dołu. Musimy obliczyć całkowitą powierzchnię tej ściętej powierzchni.

Dany
wys. = 50 cm
r’= 10 cm
r = 20 cm

Zakrzywiona powierzchnia ściętego = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

pogrubienie tekstu w CSS

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Zakrzywiona powierzchnia ściętego = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Całkowita powierzchnia = zakrzywiona powierzchnia ściętego + powierzchnia obu podstaw

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Przykład 4: Znajdź wyrażenie objętości ściętej części, jeśli jej wysokość wynosi 6y, a jej promienie wynoszą odpowiednio y i 2y.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru zbadanego powyżej,

V = 1/3 πH(r²+ r’²+ rr’)

Dany,

H = 6 lat
r'= y
r = 2 lata

V = 1/3 π6[(2y)²+ (i)²+ (y) (2 lata)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³jednostka³

Często zadawane pytania dotyczące Piece of Cone

Pytanie 1: Co to jest ścięcie stożka?

Odpowiedź:

Kiedy przecinamy stożek w taki sposób, aby płaszczyzna cięcia była równoległa do podstawy stożka. Otrzymana w ten sposób figura nazywana jest ściętym stożkiem.

Pytanie 2: Jakie są wzory na ściętość stożka?

Odpowiedź:

Poniżej omówiono wzory na ściętą część stożka. Weźmy zatem podstawę o promieniu podstawowym „R” i promieniu górnym „r”, wysokość „H” i wysokość skosu,

• Objętość kawałka stożka (V) = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)
• Całkowita powierzchnia ściętego stożka = πl (r + r’) + π (r’²+ r²).

Pytanie 3: Jaki jest CSA ściętego?

Odpowiedź:

Zakrzywioną powierzchnię ściętego stożka oblicza się ze wzoru:

CSA = πl (r + r')

Gdzie,
R' jest promieniem górnego okręgu ściętego
R jest podstawą promienia
l to wysokość nachylenia

Pytanie 4: Jaka jest powierzchnia ściętego stożka?

Odpowiedź:

Pole powierzchni ściętego stożka oblicza się ze wzoru:

• CSA kawałka stożka = πl [ (r²- R'²) / R' ]
• TSA ściętego stożka = π (r²+ r’²) + πl [ (r²- R'²) / R']

Pytanie 5: Jaka jest objętość ściętego stożka?

Odpowiedź:

Objętość ściętego stożka oblicza się ze wzoru:

• V = 1/3πh[ (r³- R'³) / R']
• V = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)