W uproszczeniu wyrażenia Boole'a ważną rolę odgrywają prawa i reguły algebry Boole'a. Zanim zrozumiesz te prawa i zasady algebry Boole'a, zapoznaj się z koncepcją dodawania i mnożenia operacji Boole'a.

Dodatek logiczny

Operacja dodawania w algebrze Boole’a jest podobna do operacji OR. W obwodach cyfrowych operacja OR służy do obliczania składnika sumarycznego bez użycia operacji AND. A + B, A + B', A + B + C' i A' + B + + D' to tylko niektóre przykłady „terminu sumarycznego”. Wartość składnika sumującego jest prawdziwa, gdy jeden lub więcej literałów jest prawdziwy, i fałszywa, gdy wszystkie literały są fałszywe.

Mnożenie logiczne

Operacja mnożenia w algebrze Boole'a jest podobna do operacji AND. W obwodach cyfrowych operacja AND oblicza iloczyn bez użycia operacji OR. AB, AB, ABC i ABCD to tylko niektóre przykłady terminu produktu. Wartość terminu iloczynu jest prawdziwa, gdy wszystkie literały są prawdziwe, i fałszywa, gdy którykolwiek z literałów jest fałszywy.

Prawa algebry Boole’a

Istnieją następujące prawa algebry Boole’a:

Prawo przemienne

Prawo to stanowi, że nie ma znaczenia, w jakiej kolejności używamy zmiennych. Oznacza to, że kolejność zmiennych nie ma znaczenia. W algebrze Boole'a operacje OR i dodawania są podobne. Na poniższym diagramie bramka OR pokazuje, że kolejność zmiennych wejściowych nie ma żadnego znaczenia.

kolejność sql losowo

Dla dwóch zmiennych prawo przemienności dodawania zapisuje się jako:

Dla dwóch zmiennych prawo przemienności mnożenia zapisuje się jako:

Prawo stowarzyszeniowe

Prawo to stanowi, że operację można wykonać w dowolnej kolejności, jeśli priorytety zmiennych są takie same. Ponieważ „*” i „/” mają ten sam priorytet. Na poniższym schemacie prawo asocjacji zastosowano do 2-wejściowej bramki OR.

Dla trzech zmiennych prawo dodawania skojarzeń zapisuje się jako:

Dla trzech zmiennych prawo łączenia mnożenia zapisuje się jako:

wiek Rekha

Zgodnie z tym prawem nie ma znaczenia, w jakiej kolejności zmienne zostaną pogrupowane podczas operacji AND więcej niż dwóch zmiennych. Na poniższym schemacie prawo asocjacji jest stosowane do 2-wejściowej bramki AND.

Prawo rozdzielcze:

Zgodnie z tym prawem, jeśli wykonamy operację OR na dwóch lub większej liczbie zmiennych, a następnie wykonamy operację AND na wyniku na jednej zmiennej, wówczas wynik będzie podobny do wykonania operacji AND na tej pojedynczej zmiennej na każdych dwóch lub więcej zmiennych zmienną, a następnie wykonaj operację OR na tym iloczynu. Prawo to wyjaśnia proces faktoringu.

język prologu

Dla trzech zmiennych prawo rozdzielności zapisuje się jako:

Zasady algebry Boole'a

Istnieją następujące zasady algebry Boole'a, które są najczęściej używane do manipulowania i upraszczania wyrażeń Boole'a. Reguły te odgrywają ważną rolę w upraszczaniu wyrażeń boolowskich.

Zasada 1: A + 0 = A

Załóżmy, że; mamy zmienną wejściową A, której wartość wynosi 0 lub 1. Kiedy wykonamy operację OR na 0, wynik będzie taki sam, jak zmienna wejściowa. Zatem, jeśli wartość zmiennej wynosi 1, wówczas wynikiem będzie 1, a jeśli wartość zmiennej wynosi 0, wówczas wynikiem będzie 0. Schematycznie tę regułę można zdefiniować jako:

Zasada 2: (A + 1) = 1

Załóżmy, że; mamy zmienną wejściową A, której wartość wynosi 0 lub 1. Kiedy wykonamy operację OR na 1, wynikiem będzie zawsze 1. Zatem, jeśli wartość zmiennej wynosi 1 lub 0, wówczas wynikiem będzie zawsze 1. Diagramowo , regułę tę można zdefiniować jako:

Zasada 3: (A.0) = 0

Załóżmy, że; mamy zmienną wejściową A, której wartość wynosi 0 lub 1. Kiedy wykonamy operację AND z 0, wynikiem będzie zawsze 0. Ta reguła stwierdza, że ​​zmienna wejściowa AND z 0 jest zawsze równa 0. Schematycznie regułę tę można zdefiniować jako:

CSS opakowanie tekstowe

Zasada 4: (A.1) = A

Załóżmy, że; mamy zmienną wejściową A, której wartość wynosi 0 lub 1. Kiedy wykonamy operację AND na 1, wynik będzie zawsze równy zmiennej wejściowej. Reguła ta stwierdza, że ​​zmienna wejściowa po operacji AND z 1 jest zawsze równa zmiennej wejściowej. Schematycznie regułę tę można zdefiniować jako:

Zasada 5: (A + A) = A

Załóżmy, że; mamy zmienną wejściową A, której wartość wynosi 0 lub 1. Kiedy wykonamy operację OR na tej samej zmiennej, wynik będzie zawsze równy zmiennej wejściowej. Reguła ta stwierdza, że ​​zmienna wejściowa dodana do siebie jako OR jest zawsze równa zmiennej wejściowej. Schematycznie regułę tę można zdefiniować jako:

Zasada 6: (A + A') = 1

Załóżmy, że; mamy zmienną wejściową A, której wartość wynosi 0 lub 1. Kiedy wykonujemy operację OR z uzupełnieniem tej zmiennej, wynik będzie zawsze równy 1. Reguła ta stwierdza, że ​​zmienna OR z jej uzupełnieniem jest równa 1 zawsze. Schematycznie regułę tę można zdefiniować jako:

Zasada 7: (A.A) = A

Załóżmy, że; mamy zmienną wejściową A, której wartość wynosi 0 lub 1. Kiedy wykonamy operację AND na tej samej zmiennej, wynik będzie zawsze równy tylko tej zmiennej. Reguła ta stwierdza, że ​​zmienna AND ze sobą jest zawsze równa zmiennej wejściowej. Schematycznie regułę tę można zdefiniować jako:

Zasada 8: (A.A') = 0

Załóżmy, że; mamy zmienną wejściową A, której wartość wynosi 0 lub 1. Gdy wykonamy operację AND z uzupełnieniem tej zmiennej, wynik będzie zawsze równy 0. Ta reguła stwierdza, że ​​zmienna AND z jej uzupełnieniem jest równa 0 zawsze. Schematycznie regułę tę można zdefiniować jako:

Zasada 9: A = (A')'

Zasada ta mówi, że jeśli wykonamy podwójne uzupełnienie zmiennej, wynik będzie taki sam, jak zmienna pierwotna. Zatem, gdy dokonamy uzupełnienia zmiennej A, wynikiem będzie A'. Co więcej, jeśli ponownie wykonamy uzupełnienie A', otrzymamy A, czyli pierwotną zmienną.

Logika pierwszego rzędu

Zasada 10: (A + AB) = A

Możemy udowodnić tę regułę, korzystając z reguły 2, reguły 4 i prawa rozdzielności jako:

Zasada 11: A + AB = A + B

Możemy udowodnić tę regułę, używając powyższych reguł jako:

Zasada 12: (A + B)(A + C) = A + BC

Możemy udowodnić tę regułę, używając powyższych reguł jako: