Prawo całkowitego prawdopodobieństwa jest ważne, aby obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia. Jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wynosi 1, to w przypadku zdarzenia niemożliwego prawdopodobnie będzie wynosić 0. Podstawowa zasada teorii prawdopodobieństwa, która jest powiązana z prawdopodobieństwem krańcowym i warunkowe prawdopodobieństwo nazywa się prawem całkowitego prawdopodobieństwa lub twierdzeniem o całkowitym prawdopodobieństwie.
Po kilku zdarzeniach wiadomo, że powinno być znane prawdopodobieństwo wszystkich możliwości. The twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym jest podstawą twierdzenia Baye’a. W tym artykule omówiliśmy ważne pojęcia związane z prawdopodobieństwem całkowitym, w tym: prawo całkowitego prawdopodobieństwa , twierdzenia, dowody i kilka przykładów.
Prawo całkowitego prawdopodobieństwa
Biorąc pod uwagę n wzajemnie wykluczających się zdarzeń A1, A2, …Ak takich, że suma ich prawdopodobieństw jest jednością, a ich sumą jest przestrzeń zdarzeń E, wówczas Ai ∩ Aj= NULL, dla wszystkich I nierównych j, oraz
A1 U A2 U ... U Ak = E>
A później Twierdzenie o całkowitym prawdopodobieństwie lub prawo całkowitego prawdopodobieństwa, Jest: 
gdzie B jest zdarzeniem arbitralnym, a P(B/Ai) jest prawdopodobieństwem warunkowym B przy założeniu, że A już nastąpiło.
Dowód twierdzenia o całkowitym prawdopodobieństwie
Niech A1, A2, …, Ak będą zdarzeniami rozłącznymi tworzącymi podział przestrzeni próbki i załóżmy, że P(Ai)> 0, dla i = 1, 2, 3….k, takie że:
A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>
Wtedy dla dowolnego zdarzenia B mamy:
B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>
Ponieważ przecięcie i unia są rozdzielne. Dlatego,
B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>
Ponieważ wszystkie te partycje są rozłączne. Więc mamy,
P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>
To jest twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw dla sumy zdarzeń rozłącznych. Korzystanie z prawdopodobieństwa warunkowego
P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>
Lub zgodnie z zasadą mnożenia,
P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>
Tutaj zdarzenia A i B nazywamy zdarzeniami niezależnymi, jeżeli P(B|A) = P(B), gdzie P(A) nie jest równe Zero(0),
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>
gdzie P(B|A) jest prawdopodobieństwem warunkowym, które określa prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B, gdy zdarzenie A już nastąpiło. Stąd,
liczba całkowita podwójna Java
P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>
Stosując powyższą regułę otrzymujemy,
To jest prawo całkowitego prawdopodobieństwa . Prawo całkowitego prawdopodobieństwa jest również nazywane twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym lub prawo alternatyw.
Notatka:
Prawo całkowitego prawdopodobieństwa stosuje się, gdy nie znasz prawdopodobieństwa zdarzenia, ale znasz jego wystąpienie w kilku rozłącznych scenariuszach oraz prawdopodobieństwo każdego scenariusza.
Zastosowanie twierdzenia o całkowitym prawdopodobieństwie
Służy do oceny mianownika w Twierdzenie Bayesa . Twierdzenie Bayesa dla n zbioru zdarzeń definiuje się jako:
dialekt hibernacji
Niech E1, I2,…, INbędzie zbiorem zdarzeń związanych z przestrzenią próbną S, w której wszystkie zdarzenia E1, I2,…, INmają niezerowe prawdopodobieństwo wystąpienia. Wszystkie wydarzeniaE1, I2,…, E tworzą podział S. Niech A będzie zdarzeniem z przestrzeni S, dla którego musimy znaleźć prawdopodobieństwo, to zgodnie z twierdzeniem Bayesa:
P(E I |A) = P(E I )P(A|E I ) / ∑ P(E k )P(A|E k )
dla k = 1, 2, 3, …., n
Przykład
1. Z talii przetasowanych kart z zamiennikami losujemy dwie karty. Znajdź prawdopodobieństwo, że druga karta będzie królem.
Wyjaśnienie:- Niech A – oznacza zdarzenie polegające na zdobyciu pierwszej karty jako króla. B – reprezentują zdarzenie, w którym pierwsza karta nie jest królem. E – reprezentuje zdarzenie, w którym druga karta jest królem. Następnie prawdopodobieństwo, że druga karta będzie królem, czy nie, będzie reprezentowane przez prawo całkowitego prawdopodobieństwa jako:
P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>
Gdzie, P(E) to prawdopodobieństwo, że druga karta jest królem, P(A) to prawdopodobieństwo, że pierwsza karta jest królem, P(E|A) to prawdopodobieństwo, że druga karta jest królem, biorąc pod uwagę, że pierwsza karta to król, P(B) to prawdopodobieństwo, że pierwsza karta nie jest królem, P(E|B) to prawdopodobieństwo, że druga karta jest królem, ale pierwsza wylosowana karta nie jest królem. Zgodnie z pytaniem:
P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>
Dlatego,
P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>
Często zadawane pytania dotyczące prawa całkowitego prawdopodobieństwa
Pytanie 1: Jakie jest zastosowanie prawdopodobieństwa całkowitego?
Odpowiedź:
Prawo prawdopodobieństwa całkowitego służy do obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia przy dowolnej liczbie powiązanych zdarzeń. Wykorzystanie twierdzenia Baye’a do aktualizacji prawdopodobieństwa hipotezy na podstawie nowych dowodów.
Pytanie 2: Czy prawdopodobieństwo całkowite zawsze wynosi 1?
Odpowiedź:
Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń wynosi zawsze 1.
Pytanie 3: Czy całkowite prawdopodobieństwo może być większe niż 1?
Odpowiedź:
Nie, prawdopodobieństwo całkowite nie może być większe niż 1.