ŚREDNIA, WARIANCJA I ODCHYLENIE STANDARDOWE – DEFINICJA I WZÓR

Średnia, wariancja i odchylenie standardowe są istotnymi środkami statystycznymi. Wariancja określa ilościowo odchylenie punktu danych od średniej, podczas gdy odchylenie standardowe mierzy rozkład danych. Kluczowe rozróżnienie polega na tym, że odchylenie standardowe jest wyrażone w tych samych jednostkach, co średnia, podczas gdy wariancja jest wyrażona w jednostkach kwadratowych. Zanurz się głębiej w te pojęcia, korzystając z definicji, wzorów i ilustrujących przykładów.

Mieć na myśli

Mieć na myśli jest średnią z danego zbioru danych. Rozważmy poniższy przykład

$2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$

Te osiem punktów danych ma średnią (średnią) 5:

$frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5.$

$Wzór: mu=frac{sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}$

Gdzie ? jest średnia i x₁, X₂, X₃…., X_Isą elementami. Należy również pamiętać, że średnia jest czasami oznaczana przez $egin{array}{lll} (2-5)^2 = (-3)^2 = 9 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (- 1)^2 = 1 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (7-5)^2 = 2^2 = 4 (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (9-5)^2 = 4^2 = 16. end{array}$

Zmienność

Zmienność jest sumą kwadratów różnic pomiędzy wszystkimi liczbami i średnimi.
Odchylenie dla powyższego przykładu. Najpierw oblicz odchylenia każdego punktu danych od średniej i podnieś wynik każdego punktu do kwadratu:

$Wzór: sigma^{2}= frac { sum_{i=1}^{N} (x_{i}-mu)^{2}}{N}$

wariancja = $extup{Współczynnik zmienności } =frac{ extup{Odchylenie standardowe}}{Średnia}*100$ = 4.

Gdzie ? oznacza średnią, N oznacza całkowitą liczbę elementów lub częstotliwość rozkładu.

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji. Jest to miara stopnia, w jakim dane różnią się od średniej.

Odchylenie standardowe (dla powyższych danych) = = 2

Dlaczego matematycy wybrali kwadrat, a następnie pierwiastek kwadratowy, aby znaleźć odchylenie, dlaczego po prostu nie wzięli różnicy wartości?
Jednym z powodów jest to, że suma różnic wynosi 0 zgodnie z definicją średniej. Suma różnic bezwzględnych może być opcją, ale przy różnicach bezwzględnych trudno było udowodnić wiele ładnych twierdzeń. [Źródło: Wykład wideo MIT o 1:19]

Wartość odchylenia standardowego wynosi 0, jeśli wszystkie wpisy na wejściu są takie same.
Jeśli dodamy (lub odejmiemy) liczbę, powiedzmy 7, do wszystkich wartości w zestawie wejściowym, średnia zostanie zwiększona (lub zmniejszona) o 7, ale odchylenie standardowe się nie zmieni.
Jeśli pomnożymy wszystkie wartości wejściowe przez liczbę 7, zarówno średnia, jak i odchylenie standardowe zostaną pomnożone przez 7. Jeśli jednak pomnożymy wszystkie wartości wejściowe przez liczbę ujemną, powiedzmy -7, średnia zostanie pomnożona przez -7, ale odchylenie standardowe mnoży się przez 7.
Odchylenie standardowe i wariancja to miara określająca stopień rozproszenia liczb. Podczas gdy wariancja daje przybliżone pojęcie o rozproszeniu, odchylenie standardowe jest bardziej konkretne i podaje dokładne odległości od średniej.
Średnia, mediana i moda są miarami tendencji centralnej danych (zgrupowanych lub niezgrupowanych).

Sprawdzać:

Wariancja i odchylenie standardowe
Prawdziwe zastosowania odchylenia standardowego
Różnica między wariancją a odchyleniem standardowym

Poniższe pytania zostały zadane podczas egzaminów GATE w zeszłym roku Bibliografia:
https://en.wikipedia.org/wiki/odchylenie_standardowe
http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/statistics/standardDeviation.htm

Średnia, wariancja i odchylenie standardowe – często zadawane pytania

Jaka jest różnica między odchyleniem standardowym a wariancją?

Zarówno odchylenie standardowe, jak i wariancja mierzą rozrzut punktów danych w zbiorze danych w stosunku do średniej. Kluczowa różnica polega na tym, że wariancja mierzy średnią kwadratów odchyleń od średniej, podczas gdy odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji, co stanowi miarę rozrzutu w tych samych jednostkach co dane.

Jak obliczyć średnią, wariancję i odchylenie standardowe?

Średnia: Dodaj wszystkie liczby do siebie i podziel przez liczbę liczb.
Wariancja: Oblicz średnią, odejmij średnią od każdej liczby, podnieś wynik do kwadratu, zsumuj wyniki do kwadratu i podziel przez liczbę liczb minus jeden.
Odchylenie standardowe: Weź pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Dlaczego średnia, wariancja i odchylenie standardowe są ważne?

Te miary statystyczne są kluczowe dla zrozumienia rozkładu danych. Średnia stanowi wartość centralną, podczas gdy wariancja i odchylenie standardowe dają wgląd w zmienność lub rozrzut danych, wskazując spójność lub zmienność zbioru danych.

Czy wariancja i odchylenie standardowe mogą być ujemne?

Nie, wariancja i odchylenie standardowe nie mogą być ujemne. Wariancję oblicza się jako średnią kwadratów różnic od średniej, co daje wartość nieujemną. Ponieważ odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji, nie może być również ujemne.

Jak wartości odstające wpływają na średnią, wariancję i odchylenie standardowe?

Wartości odstające mogą znacząco wpływać na średnią, przyciągając ją w stronę wartości odstającej, co nie odzwierciedla dokładnie centralnej tendencji zbioru danych. Ich wzrost ma również wpływ na wariancję i odchylenie standardowe, co wskazuje na większy rozrzut danych ze względu na wartości odstające.