logo

TechCodeview

Metoda Newtona Raphsona

Metoda Newtona Raphsona lub metoda Newtona to potężna technika numerycznego rozwiązywania równań. Jest najczęściej używany do aproksymacji pierwiastków funkcji o wartościach rzeczywistych. Metoda Newtona Rapsona została opracowana przez Izaaka Newtona i Josepha Raphsona, stąd nazwa Metoda Newtona Rapsona.

Metoda Newtona Raphsona polega na iteracyjnym udoskonalaniu początkowego przypuszczenia w celu zbieżności go w kierunku pożądanego pierwiastka. Metoda ta nie jest jednak skuteczna przy obliczaniu pierwiastków wielomianów lub równań o wyższych stopniach, ale w przypadku równań małego stopnia metoda ta daje bardzo szybkie wyniki. W tym artykule dowiemy się o metodzie Newtona Raphsona i krokach obliczania pierwiastków również za pomocą tej metody.



Spis treści

Na czym polega metoda Newtona Raphsona?

Metoda Newtona-Raphsona, znana również jako metoda Newtona, jest iteracyjną metodą numeryczną stosowaną do znajdowania pierwiastków funkcji o wartościach rzeczywistych. Formuła ta została nazwana na cześć Sir Isaaca Newtona i Josepha Raphsona, ponieważ niezależnie od siebie przyczynili się do jej rozwoju. Metoda Newtona Raphsona lub metoda Newtona to algorytm przybliżający pierwiastki zer funkcji o wartościach rzeczywistych, stosując domysł dla pierwszej iteracji (x0), a następnie przybliżenie następnej iteracji (x1), który jest bliski korzeniom, korzystając z następującego wzoru.

X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



Gdzie,

  • X 0 jest początkową wartością x,
  • f(x 0 ) jest wartością równania w wartości początkowej, oraz
  • f'(x 0 ) jest wartością pochodnej pierwszego rzędu równania lub funkcji przy wartości początkowej x0.

Notatka: f'(x0) nie powinno wynosić zero, w przeciwnym razie część ułamkowa wzoru zmieni się w nieskończoność, co oznacza, że ​​f(x) nie powinno być funkcją stałą.

Wzór metody Newtona Raphsona

W ogólnej formie wzór metody Newtona-Raphsona jest zapisany w następujący sposób:



X N = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

Gdzie,

  • X n-1 jest oszacowaniem (n-1)tpierwiastek funkcji,
  • f(x n-1 ) jest wartością równania w (n-1)tszacunkowy korzeń i
  • f'(x n-1 ) jest wartością pochodnej pierwszego rzędu równania lub funkcji w xn-1.

Obliczenia metodą Newtona Raphsona

Załóżmy, że równanie lub funkcje, których pierwiastki należy obliczyć jako f(x) = 0.

Aby udowodnić zasadność metody Newtona Raphsona, należy wykonać następujące kroki:

Krok 1: Narysuj wykres f(x) dla różnych wartości x, jak pokazano poniżej:

Obliczenia metodą Newtona Raphsona

Krok 2: Styczna jest rysowana do f(x) w punkcie x0. To jest wartość początkowa.

Krok 3: Ta styczna przetnie oś X w pewnym stałym punkcie (x1,0) jeśli pierwsza pochodna f(x) nie jest równa zeru, tj. f'(x 0 ) ≠ 0.

bash z podziałem ciągów

Krok 4: Ponieważ ta metoda zakłada iterację pierwiastków, to x1uważa się za kolejne przybliżenie pierwiastka.

Krok 5: Teraz kroki od 2 do 4 są powtarzane, aż dotrzemy do rzeczywistego pierwiastka x*.

Teraz wiemy, że równanie nachylenia dowolnej linii jest reprezentowane jako y = mx + c,

Gdzie M jest nachyleniem linii i C jest punktem przecięcia x prostej.

Używając tej samej formuły, otrzymujemy

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x - x 0 )

Tutaj f(x0) reprezentuje c i f'(x0) reprezentuje nachylenie stycznej m. Ponieważ to równanie jest prawdziwe dla każdej wartości x, musi być prawdziwe także dla x1. Zatem zastępując x przez x1i przyrównując równanie do zera, ponieważ musimy obliczyć pierwiastki, otrzymujemy:

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (X 1 − x 0 )

X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

Który jest wzorem metody Newtona Raphsona.

W ten sposób metoda Newtona Raphsona została matematycznie udowodniona i uznana za słuszną.

Zbieżność metody Newtona Raphsona

Metoda Newtona-Raphsona ma tendencję do zbieżności, jeśli spełniony jest następujący warunek:

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

Oznacza to, że metoda jest zbieżna, gdy moduł iloczynu wartości funkcji w x i drugiej pochodnej funkcji w x jest mniejszy niż kwadrat modułu pierwszej pochodnej funkcji w x. Metoda Newtona-Raphsona ma zbieżność rzędu 2, co oznacza, że ​​ma zbieżność kwadratową.

Notatka:

Metoda Newtona Raphsona nie obowiązuje, jeśli pierwsza pochodna funkcji wynosi 0, co oznacza f'(x) = 0. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy dana funkcja jest funkcją stałą.

  • Metoda Newtona do znajdowania pierwiastków
  • Różnica między metodą Newtona Raphsona a zwykłą metodą Falsi
  • Różnica między metodą bisekcji a metodą Newtona Raphsona
  • Algorytm znajdowania korzeni

Przykład metody Newtona Raphsona

Rozważmy następujący przykład, aby dowiedzieć się więcej o procesie znajdowania pierwiastka funkcji o wartościach rzeczywistych.

Przykład: Dla wartości początkowej x 0 = 3, w przybliżeniu pierwiastek z f(x)=x 3 +3x+1.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, x0= 3 i f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3(9) + 3 = 30

f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

Stosując metodę Newtona Raphsona:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

= 1,767

Rozwiązane problemy metody Newtona Raphsona

Problem 1: Dla wartości początkowej x 0 = 1, przybliżony pierwiastek z f(x)=x 2 −5x+1.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, x0= 1 i f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

Stosując metodę Newtona Raphsona:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 1 – (-3)/-3

⇒ x1= 1 -1

⇒ x1= 0

Problem 2: Dla wartości początkowej x 0 = 2, przybliżony pierwiastek z f(x)=x 3 −6x+1.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, x0= 2 i f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

f'(x0) = 3(4) – 6 = 6

f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Stosując metodę Newtona Raphsona:

poradnik dotyczący selenu

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – (-3)/6

⇒ x1= 2 + 1/2

⇒ x1= 5/2 = 2,5

Problem 3: Dla wartości początkowej x 0 = 3, w przybliżeniu pierwiastek z f(x)=x 2 −3.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, x0= 3 i f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

f'(x0) = 6

f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

Stosując metodę Newtona Raphsona:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 6/6

⇒ x1= 2

Zadanie 4: Znajdź pierwiastek równania f(x) = x 3 – 3 = 0, jeśli wartość początkowa wynosi 2.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę x0= 2 i f(x) = x3- 3

f'(x) = 3x2

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f(x0) = 8 – 3 = 5

Stosując metodę Newtona Raphsona:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – 5/12

⇒ x1= 1583

Używając ponownie metody Newtona Raphsona:

X2= 1,4544

X3= 1,4424

X4= 1,4422

Dlatego pierwiastek równania wynosi w przybliżeniu x = 1,442.

Zadanie 5: Znajdź pierwiastek równania f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, jeśli wartość początkowa wynosi 3.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę x0= 3 i f(x) = x3– 5x + 3 = 0

f'(x) = 3x2- 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

Stosując metodę Newtona Raphsona:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 15/22

⇒ x1= 2,3181

Używając ponownie metody Newtona Raphsona:

X2= 1,9705

X3= 1,8504

X4= 1,8345

X5= 1,8342

Dlatego pierwiastek równania wynosi w przybliżeniu x = 1,834.

Często zadawane pytania dotyczące metody Newtona Raphsona

Pytanie 1: Zdefiniuj metodę Newtona Raphsona.

Odpowiedź:

Metoda Newtona Raphsona to metoda numeryczna przybliżająca pierwiastki dowolnej funkcji o wartości rzeczywistej. W tej metodzie do aproksymacji pierwiastków stosowaliśmy różne iteracje, przy czym im większa liczba iteracji, tym mniejszy błąd w wartości wyliczonego pierwiastka.

P2: Jaka jest zaleta metody Newtona Raphsona?

Odpowiedź:

Metoda Newtona Raphsona ma tę zaletę, że pozwala bardzo sprawnie i szybko odgadnąć pierwiastki równania o małym stopniu.

P3: Jaka jest wada metody Newtona Raphsona?

Odpowiedź:

Wadą metody Newtona Raphsona jest to, że staje się ona bardzo złożona, gdy stopień wielomianu staje się bardzo duży.

Pytanie 4: Podaj jakiekolwiek praktyczne zastosowanie metody Newtona Raphsona.

Odpowiedź:

Metoda Newtona Raphsona służy do analizy przepływu wody w sieciach wodociągowych w warunkach rzeczywistych.

P5: Na jakiej teorii opiera się Metoda Newtona-Raphsona?

Odpowiedź:

Metoda Newtona Raphsona opiera się na teorii rachunku różniczkowego i stycznej do krzywej.