Funkcja celu jest celem problemu programowania liniowego, jak sugeruje nazwa. W programowaniu liniowym lub optymalizacji liniowej używamy różnych technik i metod, aby znaleźć optymalne rozwiązanie problemu liniowego z pewnymi ograniczeniami. Technika ta może również obejmować ograniczenia nierówności. Funkcja celu w programowaniu liniowym polega na optymalizacji w celu znalezienia optymalnego rozwiązania dla danego problemu.
W tym artykule dowiemy się wszystkiego o funkcji celu, w tym o jej definicji, typach, sposobie formułowania funkcji celu dla dowolnego problemu itp. Dowiemy się również o różnych reprezentacjach funkcji celu, takich jak liniowe funkcje celu lub cel nieliniowy Funkcje. Zacznijmy więc poznawać tę podstawową koncepcję programowania liniowego, tj. funkcję celu.
Co to jest funkcja celu?
Jak sama nazwa wskazuje, funkcja celu zasadniczo wyznacza cel problemu. Koncentruje się na podejmowaniu decyzji w oparciu o ograniczenia. Jest to funkcja o wartościach rzeczywistych, którą należy maksymalizować lub minimalizować w zależności od ograniczeń. To jest jak funkcja zysku lub straty. Zwykle oznacza się go Z.
Terminologie związane z funkcją celu są następujące:
- Ograniczenia: Są to w zasadzie równania warunkowe rządzące funkcją liniową
- Zmienne decyzje: Zmienne, których wartości mają zostać znalezione. Równania rozwiązuje się tak, aby uzyskać optymalną wartość tych zmiennych.
- Możliwy region: Jest to obszar na wykresie, w którym ograniczenia są spełnione, a zmienne decyzyjne znajdują się w rogach regionu.
- Optymalne rozwiązanie: Najlepsze możliwe rozwiązanie, które spełnia wszystkie ograniczenia i pozwala osiągnąć najwyższy lub najniższy cel.
- Niewykonalne rozwiązanie: Rozwiązanie, które narusza jedno lub więcej ograniczeń i nie może zostać wdrożone ani wykonane.
Funkcja celu w programowaniu liniowym
W programowaniu liniowym funkcja celu jest funkcją liniową zawierającą dwie zmienne decyzyjne. Jest to funkcja liniowa, którą należy maksymalizować lub minimalizować w zależności od ograniczeń. Jeśli a i b są stałymi, a x i y są zmiennymi decyzyjnymi, gdzie x> 0 i y> 0, to funkcja celu ma postać
Z = topór + o
Aby więc uzyskać optymalną wartość funkcji optymalizacji, musimy najpierw rozwiązać ograniczenia za pomocą dowolnej techniki i znaleźć zmienne decyzyjne. Następnie umieszczamy wartości zmiennych decyzyjnych w funkcji celu, aby wygenerować optymalną wartość.
Formułowanie funkcji celu
Programowanie liniowe polega na znalezieniu optymalnych wartości zmiennych decyzyjnych i umieszczeniu tych wartości w funkcji celu, tak aby wygenerować wartość maksymalną lub minimalną. Istnieje wiele technik, takich jak metoda Simplex i metoda graficzna, do rozwiązywania programowania liniowego. Jednakże metoda graficzna jest zwykle preferowana ze względu na jej prostotę. Aby uzyskać optymalne wartości funkcji celu, należy wykonać następujące kroki:
- Wygeneruj równania więzów i funkcję celu na podstawie problemu.
- Narysuj równania więzów na wykresie.
- Teraz zidentyfikuj możliwy obszar, w którym ograniczenia są spełnione.
- Wygeneruj wartości zmiennych decyzyjnych, które znajdują się w rogach obszaru wykonalnego.
- Umieść wszystkie wygenerowane wartości w funkcji celu i wygeneruj wartość optymalną.
Typowe typy funkcji celu
Istnieją dwa rodzaje funkcji celu.
- Funkcja celu maksymalizacji
- Funkcja celu minimalizacji
Omówmy szczegółowo te dwa typy w następujący sposób:
Funkcja celu maksymalizacji
W tym typie zwykle dążymy do maksymalizacji funkcji celu. Wierzchołki znalezione po wykreśleniu więzów mają tendencję do generowania maksymalnej wartości funkcji celu. Zilustrujmy to za pomocą przykładu
Przykład: Mężczyzna inwestuje maksymalnie 8 godzin w szycie portfeli i tornistrów szkolnych. Inwestuje 2 godziny w robienie portfeli i 4 godziny w tornistry. Zamierza wyprodukować maksymalnie 5 portfeli i tornistrów, chce je sprzedać i wygenerować zysk w wysokości 20 rupii na portfelu i 100 rupii na tornistrze. Znajdź funkcję celu.
Rozwiązanie:
Niech x będzie liczbą rotis, a y liczbą chleba.
Człowiek może zainwestować maksymalnie 8 godzin, inwestując 2 godziny na uszycie portfela i 4 godziny na zrobienie tornistru. Dlatego pierwsze równanie ograniczeń ma postać
2x + 4 lata ⩽ 8
⇒ x + 2 lata ⩽ 4
Maksymalna liczba, jaką może ułożyć, to 5
x+y ⩽ 5
Niech funkcję celu oznaczymy przez Z
Zatem Z = 20x + 100y
mój krykiet na żywo
Funkcja celu minimalizacji
W tym typie zwykle dążymy do minimalizacji funkcji celu. Wierzchołki znalezione po wykreśleniu więzów mają tendencję do generowania minimalnej wartości funkcji celu. Zilustrujmy to za pomocą przykładu
Przykład: Suma dwóch zmiennych wynosi co najmniej 20. Jedna zmienna jest większa niż równa 9. Wyprowadź funkcję celu, jeśli koszt jednej zmiennej wynosi 2 jednostki, a koszt drugiej zmiennej wynosi 9 jednostek.
Rozwiązanie:
Niech x i y będą dwiema zmiennymi. Podana suma obu zmiennych powinna wynosić co najmniej 20.
x+y ⩾ 20
i x ⩾ 9
Powyżej dwóch nierówności znajdują się ograniczenia dla następującej funkcji celu.
Niech funkcja celu będzie oznaczona przez Z. Zatem Z jest
Z = 2x + 9 lat
Matematyczne przedstawienie funkcji celu
Jak już omawialiśmy funkcję celu w kontekście programowania liniowego, funkcja celu może być również nieliniowa.
- Liniowe funkcje celu: W tego typu funkcji celu zarówno ograniczenia, jak i funkcje celu mają charakter liniowy. Wykładniki zmiennych wynoszą 1.
- Nieliniowe funkcje celu: W tego typu funkcji celu zarówno ograniczenia, jak i funkcje celu mają charakter liniowy. Wykładniki zmiennych wynoszą 1 lub są większe niż 1.
Zastosowania funkcji celu
Funkcje celu są ważne w rzeczywistych scenariuszach. Z tych funkcji korzystają na przykład biznesmeni. Biznesmeni wykorzystują to do maksymalizacji swoich zysków. Funkcje celu są również przydatne w przypadku problemów z transportem. Konfigurując funkcję, można analizować, jakie jest zużycie paliwa i w jaki sposób użytkownik może odpowiednio obniżyć jego cenę. Funkcje celu są również przydatne w problemach z odległością.
Rozwiązane problemy dotyczące funkcji celu
Problem 1: Osoba chce paski i portfele. Jego całkowite oszczędności wynoszą 6000 rupii i wszystkie oszczędności chce wydać na zakup pasków i portfeli, aby móc je później sprzedać. Wartość portfela wynosi 20 rupii, a wartość paska 10 rupii. Chce je przechowywać w szafce, a maksymalna pojemność szafki to 50 sztuk. Oczekuje zysku w wysokości 2 rupii na pasku i 3 rupii na portfelu. Znajdź ograniczenia i wynikającą z nich funkcję celu.
Rozwiązanie:
Niech x będzie liczbą zakupionych portfeli, a y liczbą pasków do zakupu. Należy zauważyć, że ilekroć w zadaniu wspomina się o maksimum, powinniśmy użyć znaku „⩽”, aby znaleźć ograniczenia
Maksymalna inwestycja wynosi 6000 Rs. Pierwsze równanie ograniczające to:
20x+10 lat⩽6000
Maksymalna pojemność szafki wynosi 50
x+y⩽50
Tutaj funkcja zysku jest w zasadzie funkcją celu. Niech to będzie oznaczone przez P. Zatem funkcja zysku wynosi
P = 3x + 2 lata
Zadanie 2: Zidentyfikuj równania więzów i funkcję celu z podanego zbioru
- 2x + 3 lata ⩾ 50
- x + y ⩽ 50
- 5x + 4 lata ⩽ 40
- Z = 7x + 8 lat
Gdzie x i y są większe od 0.
Rozwiązanie:
Ograniczeniami mogą być nierówność lub format nierówności. Ale funkcja celu zawsze ma symbol równości
Dlatego równania ograniczeń są
2x + 3 lata ⩾ 50
x + y ⩽ 50
5x + 4 lata ⩽ 40
Równanie obiektywne to Z = 7x + 8y
Problem 3: Kobieta inwestuje maksymalnie 7 godzin w robienie rotis i chleba. Inwestuje 2 godziny w rotis i 4 godziny w chleb. Zamierza wyprodukować maksymalnie 20 sztuk chleba i rotis, chce je sprzedać i wygenerować zysk w wysokości 2 rupii na roti i 1 rupii na chlebie. Znajdź funkcję celu.
Rozwiązanie:
Niech x będzie liczbą rotis, a y liczbą chleba.
ciąg znaków Java zawieraKobieta może zainwestować maksymalnie 7 godzin, inwestując 2 godziny w pieczenie roti i 4 godziny w pieczenie chleba. Dlatego pierwsze równanie ograniczeń ma postać
2x + 4 lata ⩽ 7
Maksymalna liczba chleba i rotis, jaką może ugotować, to 20
x + y ⩽ 20
Niech funkcję celu oznaczymy przez Z
Zatem Z = 2x + y.
Problem 4: Firma chce wyprodukować Produkt A i Produkt B. Produkt A wymaga 4 jednostek kakao w proszku i 1 jednostkę mleka w proszku. Produkt B wymaga 3 jednostek kakao w proszku i 2 jednostki mleka w proszku. Dostępnych jest 87 jednostek proszku kakaowego i 45 jednostek mleka w proszku. Zysk uzyskany na każdym produkcie wynosi odpowiednio 3 i 5 dolarów. Znajdź funkcję celu.
Rozwiązanie:
Niech x oznacza liczbę produktów A, a y oznacza liczbę pozycji typu B.
Maksymalna ilość proszku kakaowego wynosi 87 jednostek. Zatem pierwsze równanie ograniczeń ma postać
4x + 3 lata ⩽ 87
Maksymalna dostępna ilość mleka w proszku to 45 jednostek. Zatem drugie równanie ograniczeń ma postać
x + 2y ⩽ 45
Tutaj naszym celem jest maksymalizacja zysku. Zatem naszą funkcją zysku jest funkcja celu. Niech to będzie oznaczone przez Z
Z = 3x + 5 lat
Zadanie 5: Należy wygenerować dwa rodzaje opakowań żywności A i B, które zawierają witaminy. Należy udostępnić co najmniej 45 jednostek opakowania żywności A, a liczba wyprodukowanych obu opakowań żywności powinna wynosić co najmniej 30. Wygeneruj funkcję celu, która zostanie wygenerowana, gdy opakowanie żywności A zawiera 6 jednostek witamin, a opakowanie żywności B ma 8 jednostek .
Rozwiązanie:
Niech x będzie liczbą paczek żywności A, a y liczbą paczek żywności B
Ma zostać udostępnionych co najmniej 45 paczek żywnościowych. Dlatego pierwsze równanie ograniczeń ma postać
x ⩾ 45
Drugie równanie ograniczeń to
x + y ⩾ 30
Funkcja celu wygląda następująco:
Z = 6x + 8 lat
Często zadawane pytania dotyczące funkcji celu
P1: Jaka jest funkcja celu w problemie programowania liniowego?
Odpowiedź:
Funkcja celu to funkcja o wartościach rzeczywistych, którą należy maksymalizować lub minimalizować w zależności od ograniczeń. Zawiera dwie zmienne decyzyjne.
Pytanie 2: Jaki jest cel funkcji celu?
Odpowiedź:
Celem funkcji celu jest maksymalizacja lub minimalizacja wartości wynikowej. Jest to równanie wyrażone w postaci zmiennych decyzyjnych i odgrywa kluczową rolę w programowaniu liniowym.
P3: Jak rozumiemy, czy funkcja ma zostać zmaksymalizowana czy zminimalizowana?
Odpowiedź:
Aby sprawdzić, czy funkcja ma być maksymalizowana, czy nie, powinniśmy znać pojęcia „co najwyżej”, „co najmniej”. Jeżeli w grę wchodzi określenie „przynajmniej”, to funkcję celu należy minimalizować. Dla wyrazu „co najwyżej” funkcja powinna być maksymalizowana.
Pytanie 4: Wymień popularne typy funkcji celu.
Odpowiedź:
Istnieją dwa typy funkcji celu:
- Maksymalizacja Funkcja celu
- Funkcja celu minimalizacji
P5: Jakie są zastosowania funkcji celu?
Odpowiedź:
Istnieją różne zastosowania funkcji celu. Przydają się w rzeczywistych sytuacjach. Zasadniczo służą one do oszacowania zysku lub straty w każdym przypadku. Funkcje celu są przydatne w problemach transportowych, problemach z ograniczeniami czasowymi itp.