Funkcja jeden do jednego lub One-One Funkcja jest jedną z typy funkcji zdefiniowany w domenie i kodomenie i opisuje specyficzny typ relacji między domeną a kodomeną. Funkcja jeden do jednego nazywana jest także funkcją iniekcyjną. Funkcja jeden do jednego to funkcja matematyczna, w której każdy element w domenie mapuje do unikalnego elementu w kodomenie .
W tym artykule szczegółowo omówiono koncepcję funkcji jeden do jednego lub funkcji jeden do jednego, łącznie z jej definicją i przykładami, które pomogą Ci z łatwością zrozumieć tę koncepcję. Omówimy także kilka przykładowych problemów i przedstawimy kilka praktycznych problemów do rozwiązania. Poznajmy zatem tę ważną koncepcję matematyczną znaną jako funkcja jeden do jednego.
Spis treści
- Co to jest funkcja jeden do jednego?
- Przykłady funkcji jeden do jednego
- Właściwości funkcji jeden do jednego
- Funkcja jeden do jednego i funkcja Onto
- Rozwiązane przykłady funkcji jeden do jednego
Co to jest funkcja jeden do jednego?
Funkcja jeden do jednego, znana również jako funkcja iniekcyjna, to taka, w której różne elementy A mają różne elementy powiązane z B lub różne elementy A mają różne obrazy w B.
Jeśli istnieją różne obrazy dla funkcji, to znaczy, że jest to możliwe tylko wtedy, gdy obrazy wstępne są różne, jeśli zbiór B ma różne elementy, co oznacza, że jest to możliwe tylko wtedy, gdy zbiór A ma różne elementy, dla których były to obrazy wstępne.
synchronizacja Java
Definicja funkcji jeden do jednego
Funkcja „f” ze zbioru „A” do zbioru „B” jest jeden do jednego, jeśli żadne dwa elementy w „A” nie są odwzorowane na ten sam element w „B”.
Rozważmy te dwa diagramy. W przypadku diagramu A zdajemy sobie sprawę, że 10 mapuje na 1, 20 mapuje na 2 i 30 mapuje na 3.
Jednakże dla diagramu B jest jasne, że 10 i 30 przekłada się na 3, a następnie 20 przekłada się na 1.
Ponieważ mamy elementy w dziedzinie odpowiadające różnym wartościom w każdej dziedzinie dla diagramu A, funkcja jest jeden do jednego, a zatem nasz diagram B nie jest jeden do jednego.
Można to wyrazić matematycznie jako
f(a) = f(b) ⇒ a = b
Przykład funkcji jeden do jednego
- Funkcja tożsamości: Funkcja tożsamości jest prostym przykładem funkcji jeden do jednego. Pobiera dane wejściowe i zwraca tę samą wartość, co dane wyjściowe. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x funkcję tożsamości definiuje się jako:
f(x) = x
Każdemu odrębnemu wejściu x odpowiada odrębnemu wyjściu f(x), co czyni go funkcją jeden do jednego.
- Funkcja liniowa: Funkcja liniowa to taka, w której największa potęga zmiennej wynosi 1. Na przykład:
f(x) = 2x + 3
Jest to funkcja jeden do jednego, ponieważ niezależnie od wybranej wartości x, otrzymasz unikalną wartość f(x).
- Funkcja wartości bezwzględnej: Funkcja wartości bezwzględnej f(x)=∣x∣ jest również funkcją jeden do jednego. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x funkcja wartości bezwzględnej zwraca wartość nieujemną, a różne wartości x spowodują różne wartości bezwzględne.
Udowodnijmy jeden z takich przykładów dla funkcji jeden do jednego.
Przykład: Udowodnij, że funkcja f(x) = 1/(x+2), x≠2 jest różnowartościowa.
Rozwiązanie:
Wiemy to z funkcji jeden do jednego
f(a) = f(b)
zamień a na x i x na b
f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)
⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)
pomnóż krzyżowo powyższe równanie
1(b+2)=1(a+2)
b+2=a+2
⇒ b=a+2-2
∴ a=b
Teraz, ponieważ a = b, mówimy, że funkcja jest funkcją jeden do jednego.
Właściwości Funkcje jeden do jednego
Rozważmy, że f i g to dwie funkcje jeden do jednego, ich właściwości są następujące:
- Jeśli f i g mają wartość jeden do jednego, wówczas f ∘ g następuje po iniekcji.
- Jeśli g ∘ f ma wartość jeden do jednego, to funkcja f ma wartość jeden do jednego, ale funkcja g może nie być.
- f: X → Y jest jeden-jeden wtedy i tylko wtedy, gdy dane są dowolne funkcje g, h : P → X gdy f ∘ g = f ∘ h, to g = h. Innymi słowy, funkcje jedynkowe są dokładnie monomorfizmami w zbiorze kategorii.
- Jeśli f: X → Y jest jeden-jeden i P jest podzbiorem X, to f-1(f(A)) = P. Zatem P można odczytać z jego obrazu f(P).
- Jeśli f: X → Y jest jeden jeden, a P i Q są podzbiorami X, to f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
- Jeśli zarówno X, jak i Y są ograniczone tą samą liczbą elementów, to f: X → Y jest jeden-jeden wtedy i tylko wtedy, gdy f jest surjektywem lub funkcją.
Wykres funkcji jeden do jednego
Zobaczmy jedną z reprezentacji graficznych funkcji jeden do jednego
Powyższy wykres funkcji f(x)= √x przedstawia graficzną reprezentację funkcji jeden do jednego.
Test linii poziomej
Funkcja jest jednoznaczna, jeśli żadna linia pozioma nie przecina wykresu w więcej niż jednym punkcie.
Użyjmy jako przykładu funkcji liniowej. Nazwijmy to f(x) , więc f(x) ma funkcję odwrotną. Aby ustalić, czy f(x) ma funkcję odwrotną, musisz wykazać, że jest to funkcja jeden do jednego, musisz pokazać, że spełnia ona test linii poziomej. Jeśli więc narysujemy linię poziomą i jeśli f(x) dotyka linii poziomej więcej niż raz, oznacza to, że f(x) nie jest funkcją jeden do jednego i nie ma funkcji odwrotnej.
W powyższym przykładzie przecina on linię poziomą tylko w jednym punkcie. Zatem f(x) jest funkcją jeden do jednego, co oznacza, że ma funkcję odwrotną.
Odwrotność funkcji jeden do jednego
Niech f będzie funkcją jeden do jednego z dziedziną A i zakresem B. Wtedy odwrotnością f jest funkcją z dziedziną B i zakresem A zdefiniowanym przez f-1(y) =x wtedy i tylko wtedy, gdy f(x)=y dla dowolnego y w B. Zawsze pamiętaj, że funkcja ma odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy jest jeden do jednego. Funkcja jest różnowartościowa, jeśli jej najwyższy wykładnik jest liczbą nieparzystą. Ale jeśli najwyższa liczba jest liczbą parzystą lub wartością bezwzględną, nie jest to funkcja jeden do jednego.
Przykład: f(x)=3x+2 znajdź odwrotność funkcji
Rozwiązanie:
zapisz funkcję w postaci y=f(x).
⇒ y=3x+2
zamieńmy zmienne y i x
⇒ x=3y+2
rozwiązać y ze względu na x
⇒ x-2=3 lata
podziel równanie przez 3
⇒ (x-2)/3=3 lata/3
⇒ y=(x-2)/3
∴ f-1(x)=(x-2)/3
Funkcja jeden do jednego i funkcja Onto
Kluczowe różnice między funkcjami One to One i Onto wymieniono w poniższej tabeli:
| Nieruchomość | Funkcja jeden do jednego (injekcyjna). | Funkcja (surjektywna). |
|---|---|---|
| Definicja | Funkcja, w której żadne dwa różne elementy w domenie nie są odwzorowywane na ten sam element w kodomenie. Innymi słowy, każdy element w domenie jest odwzorowywany na unikalny element w kodomenie. | Funkcja, w której każdy element w domenie kodowej jest odwzorowywany przez co najmniej jeden element w domenie. Innymi słowy, zakres funkcji jest równy całej koddziedzinie. |
| Reprezentacja symboliczna | f(x1) ≠ f(x2) jeśli x1≠ x2dla wszystkich x1, X2w domenie. | Dla każdego y w kodomenie istnieje x w dziedzinie taki, że f(x) = y. |
| Reprezentacja graficzna | Wykres funkcji jeden do jednego nigdy nie ma poziomej linii przecinającej ją w więcej niż jednym punkcie. | Wykres funkcji on może nie obejmować każdego punktu kodomeny, ale obejmuje każdy punkt, jaki może, co oznacza, że w kodomenie nie ma przerw. |
| Przykład | f(x) = 2x jest liczbą jeden do jednego, ponieważ żadne dwie różne wartości x nie dają tego samego wyniku. | f(x) = √x jest włączone dla nieujemnej liczby rzeczywistej jako jej koddziedzina, ponieważ wszystkie nieujemne liczby rzeczywiste mają obraz wstępny w tej funkcji. |
| Funkcja odwrotna | Funkcja jeden do jednego ma zazwyczaj funkcję odwrotną. | Funkcja on może mieć funkcję odwrotną lub nie. |
| Kardynalność | Liczność domeny i kodomeny może być równa lub różna dla funkcji jeden do jednego. | Liczność kodomeny jest zwykle większa lub równa liczności domeny dla funkcji on. |
Poniższa ilustracja przedstawia wyraźną różnicę między funkcją one a on:
Czytaj więcej,
- Funkcje
- Rodzaje funkcji
- Relacja i funkcja
Rozwiązane problemy dotyczące funkcji jeden do jednego
Rozwiążmy kilka problemów, aby zilustrować funkcje jeden do jednego:
Zadanie 1: Sprawdź, czy poniższa funkcja jest różnowartościowa: f(x) = 3x – 1
Rozwiązanie:
Rozwiązanie 1: Aby sprawdzić, czy jest to różnica jeden do jednego, musimy pokazać, że żadne dwie różne wartości x nie przekładają się na tę samą wartość y.
Załóżmy, że f(a) = f(b), gdzie a ≠ b.
3a – 1 = 3b – 1
3a = 3b
a = b
Ponieważ f(a) = f(b) można uzyskać tylko wtedy, gdy a = b, funkcja ta jest rzeczywiście jednoznaczna.
Zadanie 2: Sprawdź, czy poniższa funkcja jest różnowartościowa: g(x) = x 2
Rozwiązanie:
Rozwiązanie 2: Użyjemy testu linii poziomej, przedstawiając wykres funkcji. Jeśli jakakolwiek linia pozioma przecina wykres więcej niż raz, nie jest to linia jeden do jednego.
Wykres g(x) = x^2 jest parabolą skierowaną w górę. Każda linia pozioma przecina wykres tylko raz, więc ta funkcja nie jest różnowartościowa.
Ćwicz problemy dotyczące funkcji jeden do jednego
Problem 1: Sprawdź, czy poniższa funkcja jest różnowartościowa:
- f(x) = 2x + 3
- g(x) = 3x2- 1
- h(x) =3√x
Problem 2: Znajdź funkcję, która jest różna od zbioru liczb rzeczywistych do zbioru liczb rzeczywistych.
Problem 3: Biorąc pod uwagę funkcję g(x) = x2+ 1, określ, czy jest to jeden do jednego w całej domenie.
Problem 4: Rozważmy funkcję h(x) = eX. Czy jest to funkcja jeden do jednego?
Problem 5: Znajdź funkcję odwrotną f(x) = 4x – 7 i określ jej dziedzinę.
Problem 6: Sprawdź, czy funkcja p(x) = √x jest różnowartościowa.
Problem 7: Mając q(x) = x/2, znajdź dziedzinę i zakres funkcji.
Problem 8: Sprawdź, czy funkcja r(x) = sin (x) jest różnowartościowa w przedziale [0, π].
Problem 9: Rozważmy funkcję s(x) = |x|. Czy jest to funkcja jeden do jednego?
Problem 10: Sprawdź, czy funkcja t(x) = 1/x jest różnowartościowa i znajdź jej dziedzinę.
Funkcje jeden do jednego – często zadawane pytania
1. Co to jest funkcja jeden do jednego?
Funkcja jeden do jednego to funkcja matematyczna, która odwzorowuje każdy element w swojej dziedzinie na unikalny element w swojej koddziedzinie. Innymi słowy, nie mapuje dwóch różnych elementów w domenie na ten sam element w kodomenie.
2. Jak mogę ustalić, czy funkcja jest jeden do jednego?
Możesz użyć testu linii poziomej. Jeśli żadna linia pozioma nie przecina wykresu funkcji więcej niż raz, jest to funkcja jeden do jednego.
3. Jaka jest różnica pomiędzy funkcją jeden do jednego a funkcją on?
Funkcja jeden do jednego zapewnia, że żadne dwa różne elementy w domenie nie są odwzorowywane na ten sam element w kodomenie, podczas gdy funkcja on, znana również jako funkcja surjektywna, zapewnia, że każdy element w kodomenie jest odwzorowany przez co najmniej jeden element w domenie.
4. Czy wszystkie funkcje liniowe są jeden do jednego?
Nie, nie wszystkie funkcje liniowe są jeden do jednego. Na przykład f(x) = 2x ma wartość jeden do jednego, ale g(x) = 2x + 1 nie jest takie, ponieważ odwzorowuje dwie różne wartości x na tę samą wartość y (np. g(1) = 3 i g(2) = 5).