Okres definiuje się jako odstęp czasu między dwoma punktami w czasie, a funkcję okresową definiuje się jako funkcję, która powtarza się w regularnych odstępach czasu lub okresach. Innymi słowy, funkcja okresowa to funkcja, której wartości powtarzają się po określonym przedziale czasu. Funkcja okresowa jest reprezentowana jako f(x + p) = f(x), gdzie p jest okresem funkcji. Fala sinusoidalna, fala trójkątna, fala prostokątna i fala piłokształtna to tylko niektóre przykłady funkcji okresowych. Poniżej znajdują się wykresy niektórych funkcji okresowych i możemy zauważyć, że wykres każdej funkcji okresowej ma symetrię translacyjną.

Podstawowy okres funkcji

Dziedzina funkcji okresowej obejmuje wszystkie wartości liczb rzeczywistych, a jej zakres jest określony dla stałego przedziału. Funkcja okresowa to taka, w której istnieje dodatnia liczba rzeczywista P taka, że ​​f (x + p) = f (x), dla wszystkich x będących liczbami rzeczywistymi. Podstawowym okresem funkcji jest najmniejsza wartość dodatniej liczby rzeczywistej P lub okres, w którym funkcja się powtarza.

f(x + P) = f(x)

Gdzie,

P jest okresem funkcji i F jest funkcją okresową.

Jak wyznaczyć okres funkcji?

1. Funkcję okresową definiuje się jako funkcję, która powtarza się w regularnych odstępach czasu lub okresach.
2. Jest reprezentowany jako f(x + p) = f(x), gdzie p jest okresem funkcji, p ∈ R.
3. Okres oznacza odstęp czasu pomiędzy dwoma wystąpieniami fali.

Okresy funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi, a okres funkcji trygonometrycznych jest następujący

• Okres Sin x i Cos x wynosi 2 s .

tj. sin(x + 2π) = sin x i cos(x + 2π) = cos x

• Okres Tan x i Cot x wynosi Liczba Pi.

tj. tan(x + π) = tan x i łóżeczko(x + π) = łóżeczko x

• Okres Sec x i Cosec x wynosi 2 s.

tj. sec(x + 2π) = sec x i cosec(x + 2π) = cosec x

Okres funkcji nazywany jest odległością pomiędzy powtórzeniami dowolnej funkcji. Okres funkcji trygonometrycznej to długość jednego pełnego cyklu. Amplituda jest definiowana jako maksymalne przemieszczenie cząstki w fali ze stanu równowagi. Krótko mówiąc, jest to odległość między najwyższym lub najniższym punktem a środkowym punktem wykresu funkcji. W trygonometrii istnieją trzy podstawowe funkcje, a mianowicie sin, cos i tan, których okresy wynoszą odpowiednio 2π, 2π i π. Za punkt początkowy wykresu dowolnej funkcji trygonometrycznej przyjmuje się x = 0.

Przykładowo, obserwując poniższy wykres cosinusa, możemy zauważyć, że odległość między dwoma zdarzeniami wynosi 2π, czyli okres funkcji cosinus wynosi 2π. Jego amplituda wynosi 1.

Wykres cosinusa

Formuły okresowe

• Jeśli p jest okresem funkcji okresowej f (x), to 1/f (x) jest także funkcją okresową i będzie miało ten sam okres podstawowy p co f(x).

Jeśli fa (x + p) = fa (x),

F (x) = 1/f (x) , Następnie F (x + p) = F (x).

• Jeżeli p jest okresem funkcji okresowej f(x), to f (ax + b), a>0 jest także funkcją okresową o okresie p/|a|.

• Okres Sin (ax + b) i Cos (ax + b) wynosi 2π/|a|.
• Okres Tan (ax + b) i Cot (ax + b) wynosi π/|a|.
• Okres Sec (ax + b) i Cosec (ax + b) wynosi 2π/|a|.

• Jeżeli p jest okresem funkcji okresowej f(x), to af(x) + b, a>0 jest także funkcją okresową o okresie p.

• Okres [a Sin x + b] i [a Cos x + b] wynosi 2π.
• Okres [a Tan x + b] i [a Cot x + b] wynosi π.
• Okres [a Sec x + b] i [a Cosec x + b] wynosi 2π.

Ćwicz problemy oparte na funkcji okresowej

Zadanie 1: Wyznacz okres funkcji okresowej cos(5x + 4).

Rozwiązanie:

cout

Podana funkcja: cos (5x + 4)

Współczynnik x = a = 5.

Wiemy to,

Okres cos x wynosi 2π.

wewnętrzne przechodzenie drzewa binarnego

Zatem okres cos(5x + 4) wynosi 2π/ |a| = 2π/5.

Zatem okres cos(5x + 4) wynosi 2π/5.

Zadanie 2: Znajdź okres f(x) = łóżko 4x + grzech 3x/2.

Rozwiązanie:

Podana funkcja okresowa: f(x) = łóżeczko 4x + grzech 3x/2

Wiemy to,

Okres łóżeczka x wynosi π, a okres sinu x 2π.

Zatem okres łóżka 4x wynosi π/4.

Zatem okres grzechu 3x/2 wynosi 2π/(3/2) = 4π/3.

Teraz obliczenie okresu funkcji f(x) = cot 4x + sin 3x/2 wynosi:

Okres f(x) = (LCM dla π i 4π)/(HCF dla 3 i 4) = 4π/1 = 4π.

Zatem okres łóżeczka 4x + grzech 3x/2 wynosi 4π.

Zadanie 3: Naszkicuj wykres y = 3 sin 3x+ 5.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, że y = 3 grzech 3x + 5

Podana fala ma postać y = a sin bx + c

Z powyższego wykresu możemy napisać co następuje:

przeciążanie metody

1. Okres = 2π/|b| = 2π/3
2. Oś: y = 0 [oś x]
3. Amplituda: 3
4. Wartość maksymalna = (3 × 1) + 5 = 8
5. Wartość minimalna = (3 × -1) + 5 = 2
6. Dziedzina: { x : x ∈ R }
7. Zakres = [ 8, 2]

Zadanie 4: Wyznacz okres danej funkcji okresowej 5 sin(2x + 3).

Rozwiązanie:

Podana funkcja: 5 grzechów(2x + 3)

Współczynnik x = a = 2.

Wiemy to,

Okres cos x wynosi 2π.

Zatem okres 5 grzechów (2x + 3) wynosi 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Zatem okres 5 grzechów (2x + 3) wynosi π.

Zadanie 5: Znajdź okres f (x) = tan 3x + cos 5x.

Rozwiązanie:

Dana funkcja okresowa: f(x) = tan 3x + cos 6x.

Wiemy to,

Okres tan x wynosi π, a okres cos x wynosi 2π.

Zatem okres tan 3x wynosi π/3.

Zatem okres cos 6x wynosi 2π/5.

Teraz obliczenie okresu funkcji f(x) = tan 3x + cos 6x wynosi:

Okres f(x) = (LCM z π i 2π)/(HCF z 3 i 5) = 2π/1 = 2π.

Dlatego okres f (x) = tan 3x + cos 5x wynosi 2π.