Permutacja i kombinacja to najbardziej podstawowe pojęcia w matematyce, a dzięki tym pojęciom uczniowie zapoznają się z nową gałęzią matematyki, tj. Kombinatoryką. Permutacja i kombinacja to sposoby porządkowania grupy obiektów poprzez wybieranie ich w określonej kolejności i tworzenie ich podzbiorów.

Aby uporządkować grupy danych w określonej kolejności, stosuje się formuły permutacyjne i kombinacyjne. Wybór danych lub obiektów z określonej grupy nazywa się permutacją, natomiast kolejność ich ułożenia nazywa się kombinacją.

poradnik hadoopa

Permutacje i kombinacje

W tym artykule przestudiujemy koncepcję permutacji i kombinacji oraz ich wzory, wykorzystując je również do rozwiązania wielu przykładowych problemów.

Spis treści

• Znaczenie permutacji
• Znaczenie kombinacji
• Wyprowadzenie wzorów permutacji i kombinacji
• Różnica między permutacją a kombinacją
• Rozwiązane przykłady permutacji i kombinacji

Znaczenie permutacji

Permutacja to odrębna interpretacja określonej liczby składników przenoszonych jeden po drugim, niektóre lub wszystkie na raz. Na przykład, jeśli mamy dwa składniki A i B, wówczas istnieją dwa prawdopodobne działania, AB i BA.

Liczba permutacji, gdy komponenty „r” są umieszczone w sumie spośród „n” komponentów, wynosi ^N P _R . Na przykład niech n = 3 (A, B i C) i r = 2 (wszystkie permutacje rozmiaru 2). Potem są ³ P ₂ takie permutacje, które są równe 6. Te sześć permutacji to AB, AC, BA, BC, CA i CB. Sześć permutacji A, B i C wziętych po trzy na raz pokazano na obrazku dodanym poniżej:

Znaczenie permutacji

Formuła permutacji

Formuła permutacyjna służy do obliczania liczby sposobów wyboru R rzeczy z N różne rzeczy w określonej kolejności, a wymiana nie jest dozwolona i następuje w następujący sposób:

Formuła permutacji

Wyjaśnienie wzoru permutacji

Jak wiemy, permutacja to ułożenie r rzeczy z n, gdzie ważna jest kolejność ułożenia (AB i BA to dwie różne permutacje). Jeśli istnieją trzy różne cyfry 1, 2 i 3 i jeśli ktoś jest ciekawy, jak zamienić cyfry na 2, pokazuje (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3 ), (3, 1) i (3, 2). Oznacza to, że można to osiągnąć na 6 sposobów.

Tutaj (1, 2) i (2, 1) są różne. Ponownie, jeśli te 3 cyfry zostaną uwzględnione wszystkie na raz, wówczas interpretacje będą następujące (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1 ), (3, 1, 2) i (3, 2, 1) czyli na 6 sposobów.

Ogólnie rzecz biorąc, można ustawić n różnych rzeczy, biorąc r (r^trzeczą może być dowolna z pozostałych n – (r – 1) rzeczy.

Stąd całkowita liczba permutacji n różnych rzeczy przenoszących r na raz wynosi n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)], co jest zapisane jako^NP_R. Lub innymi słowy,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Znaczenie kombinacji

Są to odrębne sekcje wspólnej liczby komponentów przenoszone pojedynczo, niektóre lub wszystkie na raz. Na przykład, jeśli istnieją dwa komponenty A i B, istnieje tylko jeden sposób wybrania dwóch rzeczy: wybranie obu.

Na przykład niech n = 3 (A, B i C) i r = 2 (Wszystkie kombinacje rozmiaru 2). Potem są ³ C ₂ takie kombinacje, które są równe 3. Te trzy kombinacje to AB, AC i BC.

Tutaj połączenie dowolnych dwóch liter z trzech liter A, B i C pokazano poniżej, zauważamy, że w kombinacji kolejność, w jakiej wzięte są A i B, nie jest istotna, ponieważ AB i BA reprezentują tę samą kombinację.

Znaczenie kombinacji

Notatka: W tym samym przykładzie mamy różne punkty permutacji i kombinacji. Ponieważ AB i BA to dwa różne elementy, tj. dwie różne permutacje, ale w przypadku wybierania AB i BA są tym samym, tj. tą samą kombinacją.

Formuła kombinowana

Wzór kombinowany służy do wybierania komponentów „r” z całkowitej liczby „n” komponentów i jest wyrażany wzorem:

Formuła kombinowana

Stosując powyższy wzór na r i (n-r) otrzymujemy ten sam wynik. Zatem,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Wyjaśnienie wzoru kombinacji

Z drugiej strony kombinacja jest rodzajem paczki. Ponownie, z tych trzech liczb 1, 2 i 3, jeśli tworzone są zestawy z dwiema liczbami, wówczas kombinacje to (1, 2), (1, 3) i (2, 3).

Tutaj (1, 2) i (2, 1) są identyczne, w przeciwieństwie do permutacji, w których są różne. To jest napisane jako³C₂. Ogólnie rzecz biorąc, liczba kombinacji n różnych rzeczy wziętych r na raz wynosi:

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Wyprowadzenie wzorów permutacji i kombinacji

Możemy wyprowadzić te formuły permutacji i kombinacji przy użyciu podstawowych metod liczenia, ponieważ te formuły reprezentują to samo. Wyprowadzenie tych wzorów jest następujące:

Wyprowadzenie wzoru permutacji

Permutacja polega na wybraniu r różnych obiektów z n obiektów bez zastępowania i tam, gdzie kolejność selekcji jest ważna, na podstawie podstawowego twierdzenia o liczeniu i definicji permutacji otrzymujemy

P. (n, r) = n. (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

Mnożąc i dzieląc powyżej przez (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, otrzymujemy

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

W ten sposób wyprowadza się wzór na P (n, r).

Wyprowadzenie wzoru kombinacji

Kombinacja polega na wybraniu r pozycji z n pozycji, gdy kolejność wybierania nie ma znaczenia. Jego wzór jest obliczany jako

C(n, r) = całkowita liczba permutacji/liczba sposobów ułożenia r różnych obiektów.
[Ponieważ z podstawowego twierdzenia o liczeniu wiemy, że liczba sposobów ułożenia r różnych obiektów na r sposobów = r!]

C(n,r) = P (n, r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

W ten sposób wyprowadza się wzór na Kombinację, tj. C(n, r).

Różnica między permutacją a kombinacją

Różnice między permutacją a kombinacją można zrozumieć za pomocą poniższej tabeli:

Sprawdź także,

• Dwumian newtona
• Rozwinięcie dwumianowe
• Dwumianowe zmienne losowe
• Podstawowe twierdzenie o liczeniu

Rozwiązane przykłady permutacji i kombinacji

Przykład 1: Znajdź liczbę permutacji i kombinacji n = 9 i r = 3 .

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, n = 9, r = 3

Korzystając ze wzoru podanego powyżej:

Dla permutacji:

^NP_R= (n!) / (n – r)!

⇒^NP_R= (9!) / (9 – 3)!

⇒^NP_R= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6!)/ 6!

⇒ ^N P _R = 504

Dla kombinacji:

^NC_R= n!/r!(n - r)!

⇒^NC_R= 9!/3!(9 - 3)!

⇒^NC_R= 9!/3!(6)!

⇒^NC_R= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ^N C _R = 84

Przykład 2: Na ile sposobów można wybrać komisję składającą się z 4 mężczyzn i 2 kobiet spośród 6 mężczyzn i 5 kobiet?

Rozwiązanie:

Wybierz 4 mężczyzn z 6 mężczyzn =⁶C₄sposoby = 15 sposobów

Wybierz 2 kobiety z 5 kobiet =⁵C₂sposoby = 10 sposobów

Do komisji można wybrać m.in⁶C₄×⁵C₂= 150 sposobów.

Przykład 3: Na ile sposobów można ułożyć 5 różnych książek na półce?

Rozwiązanie:

Jest to problem permutacji, ponieważ kolejność ksiąg ma znaczenie.

Korzystając ze wzoru permutacyjnego otrzymujemy:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Zatem istnieje 120 sposobów ułożenia 5 różnych książek na półce.

Przykład 4: Ile trzyliterowych słów można utworzyć z liter słowa FABLE?

Rozwiązanie:

Jest to problem permutacji, ponieważ kolejność liter ma znaczenie.

Korzystając ze wzoru permutacyjnego otrzymujemy:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Zatem istnieje 60 trzyliterowych słów, które można utworzyć z liter słowa FABLE.

Przykład 5: Z grupy 10 osób ma zostać utworzona komisja składająca się z 5 członków. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie:

Jest to problem złożony, ponieważ kolejność elementów nie ma znaczenia.

Korzystając ze wzoru na kombinację otrzymujemy:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

plik rozszerzenia java

Zatem istnieją 252 sposoby na utworzenie komitetu składającego się z 5 członków z grupy 10 osób.

Przykład 6: Pizzeria oferuje 4 różne dodatki do swojej pizzy. Jeśli klient chce zamówić pizzę z dokładnie 2 dodatkami, na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie:

Jest to problem związany z kombinacją, ponieważ kolejność dodatków nie ma znaczenia.

Korzystając ze wzoru na kombinację otrzymujemy:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Zatem istnieje 6 sposobów zamówienia pizzy z dokładnie 2 dodatkami z 4 różnych dodatków.

Przykład 7: Jak znaczące słowa można utworzyć, używając 2 liter słowa LOVE?

Rozwiązanie:

Termin MIŁOŚĆ składa się z 4 różnych liter.

Dlatego wymagana liczba słów =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Wymagana liczba słów = 4! / 2! = 24 / 2

⇒ Wymagana liczba słów = 12

Przykład 8: Ile słów składających się z 3 spółgłosek i 2 samogłosek można utworzyć z 5 spółgłosek i 3 samogłosek?

Rozwiązanie:

Liczba sposobów wyboru 3 spółgłosek z 5 =⁵C₃

Liczba sposobów wyboru 2 samogłosek z 3 =³C₂

Liczba sposobów wyboru 3 spółgłosek z 2 i 2 samogłosek z 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Wymagana liczba = 10 × 3

= 30

Oznacza to, że możemy mieć 30 grup, z których każda zawiera w sumie 5 liter (3 spółgłoski i 2 samogłoski).

Liczba sposobów ułożenia 5 liter między sobą

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Zatem wymagana liczba dróg = 30 × 120

⇒ Wymagana liczba sposobów = 3600

Przykład 9: Ile różnych kombinacji otrzymasz, jeśli masz 5 przedmiotów i wybierzesz 4?

Rozwiązanie:

Wstaw podane liczby do równania kombinacji i rozwiąż. n to liczba elementów znajdujących się w zestawie (w tym przykładzie 5); r to liczba wybranych elementów (w tym przykładzie 4):

C(n, r) = n! / R! (n – r)!

⇒^NC_R= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒^NC_R= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒^NC_R= 120/24

⇒^NC_R= 5

Rozwiązaniem jest 5.

int w ciągu

Przykład 10: Ile wyrażeń z 6 spółgłosek i 3 samogłosek można utworzyć 2 spółgłoski i 1 samogłoskę?

Rozwiązanie:

Liczba sposobów wyboru 2 spółgłosek z 6 =⁶C₂

Liczba sposobów wyboru 1 samogłoski z 3 =³C₁

Liczba sposobów wyboru 3 spółgłosek z 7 i 2 samogłosek z 4.

⇒ Wymagane sposoby =⁶C₂׳C₁

⇒ Wymagane sposoby = 15 × 3

⇒ Wymagane sposoby = 45

Oznacza to, że możemy mieć 45 grup, z których każda zawiera w sumie 3 litery (2 spółgłoski i 1 samogłoskę).

Liczba sposobów ułożenia 3 liter między sobą = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Wymagane sposoby ułożenia trzech liter = 6

Zatem wymagana liczba dróg = 45 × 6

⇒ Wymagane sposoby = 270

Przykład 11: W ilu różnych formach czy litery terminu „TELEFON” można ułożyć tak, aby samogłoski były spójne przyjść razem?

Rozwiązanie:

Słowo TELEFON składa się z 5 liter. Zawiera samogłoski „O”, „E” i te 2 samogłoski powinny konsekwentnie występować razem. W ten sposób te dwie samogłoski można zgrupować i postrzegać jako pojedynczą literę. Oznacza to, że PHN(OE).

Dlatego możemy przyjąć całkowitą liczbę liter, taką jak 4, i wszystkie te litery są różne.

Liczba metod porządkowania tych liter = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Wymagane sposoby ułożenia liter = 24

Wszystkie 2 samogłoski (OE) są różne.

Liczba sposobów ułożenia między sobą tych samogłosek = 2! = 2 × 1

⇒ Wymagane sposoby ułożenia samogłosek = 2

Zatem wymagana liczba sposobów = 24 × 2

śpij spokojnie

⇒ Wymagane sposoby = 48.

Często zadawane pytania dotyczące permutacji i kombinacji

Jaki jest wzór na silnię?

Do obliczania permutacji i kombinacji stosuje się wzór silniowy. Wzór silni na n! podaje się jako

N! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Na przykład 3! = 3 × 2 × 1 = 6 i 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Co robi ^N C _R przedstawiać?

^NC_Rreprezentuje liczbę kombinacji, z których można utworzyć N zabieranie przedmiotów R na czas.

Co masz na myśli mówiąc permutacje i kombinacje?

Permutacja to czynność polegająca na uporządkowaniu rzeczy w określonej kolejności. Kombinacje są sposobami selekcji R obiekty z grupy N obiektów, gdzie kolejność wybranego obiektu nie ma wpływu na całkowitą kombinację.

Zapisz przykłady permutacji i kombinacji.

Liczba 3-literowych słów, które można utworzyć z liter słowa: HELLO;⁵P₃= 5!/(5-3)! to jest przykład permutacji.
Liczba kombinacji, w jakich możemy zapisać słowa wykorzystujące samogłoski słowa HELLO;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], to jest przykład kombinacji.

Napisz wzór na znalezienie permutacji i kombinacji.

• Wzór do obliczania permutacji: ^N Pr = n!/(n-r)!
• Wzór do obliczania kombinacji: ^N Cr = n!/[r! (n-r)!]

Napisz kilka wziętych z życia przykładów permutacji i kombinacji.

Sortowanie osób, liczb, liter i kolorów to tylko niektóre przykłady permutacji.
Wybór menu, ubrań i tematów to przykłady kombinacji.

Jaka jest wartość 0!?

Wartość 0! = 1, jest bardzo przydatne w rozwiązywaniu problemów permutacji i kombinacji.