Prostopadłe linie w matematyce to pary prostych, które zawsze przecinają się pod kątem prostym, tj. linie prostopadłe to zawsze linie przecinające się pod kątem 90°. Linie prostopadłe są dla nas łatwo widoczne, narożniki ścian, narożniki biurka i inne reprezentują linię równoległą. O prostych prostopadłych mówimy, że przecinają się pod kątem prostym. Najkrótszą odległość między dwiema liniami podaje się na podstawie odległości prostopadłej między nimi, tj. linia prostopadła między dwoma punktami daje najkrótszą odległość między nimi.

W tym artykule dowiemy się szczegółowo o liniach prostopadłych, ich właściwościach i innych szczegółach.

Spis treści

• Co to są linie prostopadłe?
• Właściwości linii prostopadłych
• Nachylenie linii prostopadłych
• Wzór na linie prostopadłe
• Jak rysować linie prostopadłe?
• Równanie linii prostopadłej

Co to jest prostopadłe?

Prostopadłą definiuje się jako linię tworzącą a prosty kąt z inną linią. Innymi słowy linia prostopadła oznacza linie tworzące kąt 90 stopni. Najkrótsza odległość między punktem a linią to prosta prostopadła między nimi. Prostopadła tworzy 90 stopni z drugą linią. Linie AB i PQ pokazane na poniższym obrazku są do siebie prostopadłe, ponieważ przecinają się pod kątem 90 stopni.

Linie AB i CD dodane na poniższym obrazku przedstawiają dwie prostopadłe linie.

Co to są linie prostopadłe?

Linie prostopadłe oznaczają linie, które przecinają się pod kątem równym 90 stopni, czyli jeśli dwie linie spotykają się pod kątem prostym, nazywane są liniami prostopadłymi. Weźmy rysunek dodany poniżej, proste l i proste m przecinają się w punkcie O, a kąt utworzony przez nie wynosi 90 stopni.

Zatem możemy powiedzieć, że l jest linią prostopadłą do linii m lub linia m jest prostopadła do linii l. Przedstawiamy ten warunek jako, l ⊥ m. Teraz każda prosta równoległa do prostej l jest prostopadła do prostej m. Najkrótsza odległość między punktem a prostą jest zawsze odległością prostopadłą między nimi.

Notatka: Nie wszystkie linie przecinające się są liniami prostopadłymi, ale wszystkie linie prostopadłe są liniami przecinającymi się.

Znak prostopadły

Linie prostopadłe są reprezentowane za pomocą symbolu „⊥”. Jeżeli linie l i m są do siebie prostopadłe, tj. przecinają się pod kątem 90 stopni, to nazywane są liniami prostopadłymi i przedstawiane są jako l ⊥ m. Punkt przecięcia nazywa się podstawą prostopadłej.

Kształty prostopadłe

Kształty prostopadłe można zobaczyć wokół nas w życiu codziennym. Za prostopadłe uważa się kształty, w których co najmniej jeden kąt wynosi 90°. Różne kształty, które mają prostopadłe linie (kształty prostopadłe), to:

• Kwadrat
• Prostokąt
• Kąt prosty trójkąt

Właściwości linii prostopadłych

Dowolne dwie przecinające się linie przecinające się pod kątem 90 stopni nazywane są liniami prostopadłymi. Linie prostopadłe mają inne właściwości niż linie przecinające się, a ogólne właściwości linii przecinających się to:

• Linie prostopadłe to linie, które zawsze przecinają się pod kątem prostym.
• Jeśli dwie linie są prostopadłe do tej samej linii, to te dwie linie są zawsze do siebie równoległe.

Nachylenie linii prostopadłych

Nachylenie dowolnej linii to tan kąta utworzonego przez linię z dodatnią osią x, a nachylenie w przypadku linii prostopadłych ma między nimi szczególną zależność.

Załóżmy, że mamy dwie linie PQ i RS, które są do siebie prostopadłe. Teraz nachylenie linii PQ wynosi, powiedzmy m₁a nachylenie linii RS to powiedzmy m₂, to iloczyn nachyleń jest równy -1. To samo stwierdzenie brzmi:

Oświadczenie: Dwie linie są do siebie prostopadłe, jeśli iloczyn ich nachylenia wynosi -1.

Można to przedstawić jako,

M ₁ .M ₂ = -1

Wzór na linie prostopadłe

Poniżej omówiono dwa podstawowe wzory na linię prostopadłą:

Oświadczenie 1: Iloczyn nachylenia linii prostopadłej z nachyleniem linii pierwotnej jest zawsze -1 .

Dowód:

Pozwala, aby oryginalna linia tworzyła kąt θ z osią X.

Wtedy prosta prostopadła do tej prostej utworzy kąt θ + 90° lub θ – 90° z osią X.

Teraz nachylenie pierwotnej linii jest równe tan θ

nazwa produktów do makijażu

Nachylenie linii prostopadłej jest równe tg (θ + 90^O) lub tan (θ – 90^O)

tan (θ + 90 ^O ) = tan (θ – 90 ^O ) = -łóżeczko i

Zatem nachylenie linii prostopadłej wynosi -cot θ

Teraz,

Iloczyn nachyleń = tan θ × (-cot θ) = -1

Stąd udowodnione

Oświadczenie 2: Jeżeli równanie prostej wynosi topór + o + c = 0

Wtedy równanie prostej prostopadłej do danej prostej ma postać:

– bx + ay + d = 0

Gdzie, C I D są dowolnymi wartościami stałymi

Dowód:

Równanie prostej to ax + by + c = 0

Nachylenie linii jest -a/b

Niech nachylenie prostej prostopadłej wynosi m

Wiemy, że iloczyn nachylenia dwóch prostych prostopadłych wynosi -1

m × (-a / b) = – 1

m = b / a

Jeżeli prosta prostopadła przechodzi przez punkt (x₁, I₁), to równanie prostej prostopadłej ma postać

(i i₁) / (x – x₁) = b / a

i i₁= (b/a) × (x – x₁)

jest – jest₁= bx – bx₁

– bx + jest + (bx₁- Jest₁) = 0 {niech bx₁- Jest₁= d}

Zatem wymagane równanie linii to:

– bx + ay + d = 0

Jak rysować linie prostopadłe?

Możemy łatwo skonstruować parę prostych prostopadłych, korzystając z kątomierza i kompasu.

Rysowanie linii prostopadłych za pomocą kątomierza

Aby narysować parę linii prostopadłych, wykonaj kroki omówione poniżej:

Krok 1: Najpierw narysuj poziomą linię AB na papierze za pomocą linijki.

Krok 2: Zaznacz dowolny punkt P na prostej AB, z którego mamy narysować prostą prostopadłą.

Krok 3: Umieść ochraniacz na linii i dopasuj środek ochraniacza do punktu P na linii.

Krok 4: Zaznaczyć kąt 90 stopni za pomocą ochraniacza.

Krok 5: Połącz linie za pomocą dowolnej linijki o kącie 90 stopni, aby uzyskać parę linii prostopadłych.

Rysowanie linii prostopadłej za pomocą kompasu

Poniżej przedstawiono kroki tworzenia linii prostopadłych za pomocą kompasu

Krok 1: Narysuj linię na papierze za pomocą linijki

Krok 2: Wybierz punkt na linii i umieść na nim igłę kompasu.

Krok 3: Narysuj łuk (półkole) po jednej stronie linii.

Krok 4: Nie zmieniając promienia kompasu, umieść teraz igłę na jednym końcu średnicy półkola.

Krok 5: Podziel łuk półkolisty na trzy części, przecinając go dwukrotnie. Pierwsze cięcie oznacza 60°, a drugie cięcie 120°

Krok 6: Różnica między pierwszym i drugim cięciem wynosi 60°. Podziel tę szczelinę na pół za pomocą kompasu, nie zmieniając jego promienia.

Krok 7: Teraz połącz punkt dwusieku 60 i 120 z punktem, który początkowo zakładano do narysowania łuku półkolistego.

Krok 8: Wykreślona w ten sposób linia jest prostopadła do linii początkowej.

Przykłady linii prostopadłych

Linie prostopadłe to linie, które zawsze spotykają się pod kątem 90 stopni. W prawdziwym życiu widzimy różne przykłady linii równoległych, niektóre z nich są,

• Narożniki pomieszczeń są do siebie prostopadłe.
• Wskazówki zegara przedstawiają linie prostopadłe na godzinie trzeciej.
• Narożniki stołu i biurka reprezentują prostopadłe linie.

Linie prostopadłe i równoległe

Linie prostopadłe to linie tworzące ze sobą kąt 90°, podczas gdy linie równoległe to linie, które są do siebie równoległe, to znaczy są w równej odległości od siebie i nigdy się nie przecinają.

Notatka: Linie równoległe spotykają się w Nieskończoności .

Nachylenie linii równoległych i prostopadłych

Nachylenie prostych równoległych jest równe, a iloczyn nachylenia prostych prostopadłych wynosi -1.

Równania prostych równoległych i prostopadłych

Jeśli dwie linie są równoległe, to ich równanie linii wynosi:

• topór + o + c = 0 i topór + o + d = 0

Podczas gdy równanie dwóch prostopadłych to:

• topór + przez + c = 0 i -bx + topór + d = 0

Co to są linie równoległe?

Linie równoległe w geometrii definiuje się jako linie, które nie spotykają się w płaszczyźnie 2D, tj. nigdy nie przecinają się w płaszczyźnie 2D. Odległość pomiędzy dwiema równoległymi liniami jest zawsze stała. Obraz dodany poniżej przedstawia dwie pary równoległych linii.

Linie a, b, x i y są do siebie równoległe.

Różnica między liniami równoległymi a liniami prostopadłymi

Linie równoległe a linie prostopadłe omówiono w poniższej tabeli.

Równanie linii prostopadłej

Standard równanie linii Jest topór + o + c = 0 a linia prostopadła do danej linii jest dana za pomocą,

-bx + ay + d = 0

Gdzie, D jest wartością stałą, a jej wartość wyznacza się za pomocą innego podanego warunku.

Nachylenie linii prostopadłej

Załóżmy, że mamy prostą, której równanie ma postać y = mx + c i jej nachylenie wynosi m, wówczas nachylenie prostej prostopadłej do danej prostej wynosi:

Nachylenie linii prostopadłej = -1/m

Teraz, jeśli nachylenie dwóch linii wynosi m₁oraz m₂wówczas relacja między tymi dwoma nachyleniami wynosi: M ₁ M ₂ = -1

Czytaj więcej,

• Równoległe linie
• Linie poprzeczne
• Właściwości linii równoległych

Przykłady linii prostopadłych

Przykład 1: Czy linie 3x + 2y + 5 = 0 i 2x – 3y + 8 = 0 są prostopadłe?

Rozwiązanie:

Nachylenie linii ax + by + c = 0 wynosi -a/b

• Nachylenie linii 3x + 2y + 5 = 0 wynosi m₁= – 3 / 2.
• Nachylenie linii 2x – 3y + 8 = 0 wynosi m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Wiemy, że proste są prostopadłe, jeśli ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek.

M₁× m₂= -1

Teraz z powyższego warunku

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

Iloczyn nachylenia wynosi -1, a zatem linie są prostopadłe.

Przykład 2: Znajdź prostą prostopadłą do prostej x + 2y + 5 = 0 i przejdź przez punkt (2, 5).

Rozwiązanie:

Wiemy, że równanie prostej prostopadłej do prostej ax + by + c = 0 wynosi – bx + ay + d = 0.

Dane równanie prostej to x + 2y + 5 = 0

Porównując linię x + 2y + 5 = 0 z ax + by + c = 0 otrzymujemy,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Zatem równanie dowolnej linii prostopadłej do tej linii wynosi – 2x + y + d = 0…(i)

Biorąc pod uwagę, że ta linia przechodzi przez (2, 5),

Wstawiając (2, 5) do tego równania prostej prostopadłej

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Podstawiając wartość d w eq(i), otrzymujemy

-2x + y + (-1) = 0

Zatem równanie prostej prostopadłej ma postać -2x + y – 1 = 0

Przykład 3: Znajdź nachylenie prostej prostopadłej do prostej 3x + 9y + 7 = 0.

Rozwiązanie:

Dany,

Równanie prostej to 3x + 9y + 7 = 0

Nachylenie tej linii = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Niech nachylenie in prostopadle do powyższej linii wynosi m

Teraz korzystamy ze wzoru na prostą prostopadłą

m × (- 1 / 3) = – 1

⇒ m = 3

Zatem nachylenie linii prostopadłej do danej linii wynosi 3.

Przykład 4: Znajdź kąt linii prostopadłej do linii x + y + 3 = 0.

Rozwiązanie:

Dana linia,

x + y + 3 = 0

Nachylenie danej linii = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Niech nachylenie linii prostopadłej do powyższej linii wynosi m

Ze wzoru na prostą prostopadłą

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Kąt prostej prostopadłej do danej prostej wynosi zatem θ

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = opalenizna^-1(1) = 45°

Zatem kąt utworzony przez linię prostopadłą z osią X wynosi 45°.

Prostopadłe problemy praktyczne

Pytanie 1. Znajdź kąt prostej prostopadłej do prostej 3x + 9y – 11 = 0.

Pytanie 2. Jeżeli linia przechodzi przez punkty (11, –4) i (–1, 8), a inna linia przechodzi przez punkty (8, 3) i (–1, -3). Sprawdź, czy te linie są równoległe czy prostopadłe.

Pytanie 3. Znajdź równanie prostej prostopadłej do 5x − 7y = 5 i przechodzącej przez punkt (-1, 8).

Pytanie 4. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez (2, 3) i prostopadłej do osi x.

Linie prostopadłe – często zadawane pytania

Jakie są linie prostopadłe?

Jeżeli dwie przecinające się linie przecinają się pod kątem prostym, czyli pod kątem 90 stopni, wówczas te dwie proste nazywamy liniami prostopadłymi.

Co to są linie równoległe i prostopadłe?

Linie równoległe to linie, które nie przecinają się w płaszczyźnie 2D. Odległość między dwiema równoległymi liniami jest zawsze stała. Natomiast jeśli dwie linie spotykają się pod kątem 90 stopni, wówczas linie te nazywane są liniami prostopadłymi.

Czy przecinające się linie są zawsze prostopadłe?

Nie, nie wszystkie przecinające się linie są zawsze prostopadłe, mogą być prostopadłe lub nie. Przecinające się linie mogą spotykać się pod różnymi kątami.

Jaki jest warunek nachylenia linii prostopadłych?

Załóżmy, że nachylenie dwóch linii wynosi m₁oraz m₂wówczas warunek nachylenia dwóch linii prostopadłych jest następujący: M ₁ .M ₂ = -1

Ile linii prostopadłych można poprowadzić w jednej linii?

Do linii możemy narysować dowolną liczbę linii prostopadłych, czyli możemy mieć nieskończoną liczbę linii prostopadłych do dowolnej linii.

Kiedy dwie linie są prostopadłe?

Dwie proste są prostopadłe, jeśli przecinają się pod kątem 90°, czyli proste prostopadłe przecinają się zawsze pod kątem prostym.

Co to jest trójkąt prostopadły?

Trójkąt, który ma kąt równy 90°, nazywa się trójkątem prostopadłym. Nazywany jest także Trójkątem Prostokątnym.

Jakie są kształty prostopadłe?

Niektóre kształty zwane kształtami prostopadłymi to kształty, które mają co najmniej jedną prostopadłą. Różne przykłady kształtów prostopadłych to: kwadrat, prostokąt, trójkąt prostokątny

Co to są kąty prostopadłe?

Kąty równe 90° nazywane są kątami prostopadłymi. Inna nazwa kątów prostopadłych to kąty proste.

Co to jest symbol prostopadłości?

Symbol lub znak reprezentujący prostopadłość to: ⟂. Używamy tego symbolu, aby pokazać, czy dwie linie są prostopadłe. Na przykład, jeśli jest napisane A⟂B, gdzie A i B są dwiema liniami, wówczas linia A jest prostopadła do linii B i odwrotnie.

Jak rozpoznać, które linie są prostopadłe?

Jeśli kąt między dwiema liniami wynosi 90°. Wtedy możemy powiedzieć, że te dwie proste są prostopadłe. Jeśli nachylenie dwóch linii jest podane jako m₁, M₂następnie używamy wzoru na linię prostopadłą, aby sprawdzić, czy są one prostopadłe, czy nie. Wzór na prostą prostopadłą to m₁.M₂= -1

Jak znaleźć nachylenie linii prostopadłych?

Nachylenie prostych prostopadłych można łatwo obliczyć za pomocą wzoru na nachylenie. Załóżmy, że otrzymaliśmy prostą, najpierw konwertujemy ją do postaci standardowej, a następnie używamy wzoru na nachylenie, aby znaleźć nachylenie. Wzór na nachylenie jest następujący: m = -b/a, gdzie a jest współczynnikiem x, a b jest współczynnikiem y.