Funkcje w matematyce można uważać za automaty sprzedające. Otrzymując pieniądze w formie wkładu, w zamian dają puszki lub ciasteczka. Podobnie funkcje pobierają pewne liczby wejściowe i dają nam dane wyjściowe. Można powiedzieć, że w prawdziwym życiu wszystko można sformułować i rozwiązać za pomocą funkcji. Od projektowania budynków i architektury po mega wieżowce, matematyczny model prawie wszystkiego w prawdziwym życiu wymaga funkcji, dlatego nie da się uniknąć tego, że funkcje mają gigantyczne znaczenie w naszym życiu. Dziedzina i zakres to aspekty, za pomocą których można opisać funkcję.
Na przykład: Załóżmy, że na wierzchu maszyny jest napisane, że można kupić tylko banknoty 20 i 50 rupii. Co się stanie, jeśli ktoś użyje banknotów 10 rupii? Maszyna nie będzie dawać żadnych wyników. Dziedzina reprezentuje zatem rodzaj danych wejściowych, jakie możemy mieć w funkcji. W tym przypadku domeną automatu są banknoty 20 i 50 rupii. Podobnie nie ma znaczenia, ile pieniędzy ktoś włoży do maszyny, nigdy nie dostanie z niej kanapek. Zatem w grę wchodzi tutaj koncepcja zasięgu, zasięg to możliwe wyniki, jakie może dać maszyna.
Zakres i dziedzina funkcji
Dziedzina funkcji:
Dziedzina to wszystkie wartości, które mogą przejść do funkcji, dla której daje prawidłowy wynik. Jest to zbiór wszystkich możliwych danych wejściowych funkcji.
Na przykład: Na poniższym rysunku f(x) = x2. Zbiór wszystkich wejść nazywa się Dziedziną, a zbiór wszystkich wyjść uważa się za zakres.
Jak znaleźć dziedzinę funkcji?
Dziedzina funkcji powinna zawierać wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem punktów, w których mianownik staje się zerem, a wyrazy pod pierwiastkami kwadratowymi stają się ujemne. Aby znaleźć dziedzinę, spróbuj znaleźć punkty lub wartości wejściowe, w których funkcja nie jest zdefiniowana.
Pytanie 1: Znajdź domenę
Odpowiedź:
Ta funkcja może dać niezdefiniowany wynik, gdy x = 1. Zatem dziedzina jest R – {1} .
Pytanie 2: Znajdź dziedzinę następującej funkcji:
Odpowiedź :
Ważne jest, aby funkcja nie była Nieskończona lub Niezdefiniowana, dlatego musimy zobaczyć, jakie wartości domeny mogą sprawić, że funkcja będzie Niezdefiniowana lub Nieskończona.
Patrząc na mianownik, jasne jest, że wartości 3 i 5 tworzą mianownik 0, a zatem funkcja Infinite jest niepożądana.
Dlatego nie można tu umieścić wartości x=3 i x=5.
Domena będzie R – {3,5}.
Pytanie 3: Znajdź wartości domeny, dla których funkcje Y = (2x 2 -1) i Z= (1-3x) są równe.
cechy serii panda
Odpowiedź :
Przyrównanie dwóch funkcji:
2x2– 1 = 1 – 3 x
2x2+ 3x – 2 = 0
2x2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x + 2) – 1 (x+2) = 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
odchylenie standardowe pandyx = 1/2, -2.
Dlatego wartości domeny są {1/2, -2}.
Zakres funkcji
Zakres funkcji to zbiór wszystkich jej możliwych wyników.
Przykład: Rozważmy funkcję ƒ: A⇢A, gdzie A = {1,2,3,4}.
Elementy zestawu Domeny nazywane są obrazami wstępnymi, a elementy zestawu Domeny odwzorowane na obrazy wstępne nazywane są obrazami. Zakres funkcji to zbiór wszystkich obrazów elementów w domenie. W tym przykładzie zakres funkcji wynosi {2,3}.
Jak znaleźć zakres funkcji?
Zakres to rozpiętość wartości wyjściowych funkcji. Jeśli potrafimy obliczyć wartości maksymalne i minimalne funkcji, możemy uzyskać pojęcie o zakresie tej funkcji.
Pytanie 1: Znajdź zakres. f(x) =
Odpowiedź:
Ponieważ funkcja jest pierwiastkiem kwadratowym, nigdy nie może dać wartości ujemnych na wyjściu. Zatem wartość minimalna może wynosić tylko 0 przy x = 1. Wartość maksymalna może sięgać nieskończoności w miarę zwiększania x.
Zatem zakres funkcji wynosi [0,∞).
Pytanie 2: Dziedzina funkcji ƒ określonej przez f(x) =
Odpowiedź:
Biorąc pod uwagę, f(x) =
frac{1}{sqrtx – } .Przy wyborze zestawu domen należy zadbać o dwie rzeczy,
- Mianownik nigdy nie dąży do zera.
- Wyraz zawarty w pierwiastku kwadratowym nie staje się ujemny.
Rozwińmy to, co jest zapisane w wyrazie w pierwiastku kwadratowym.
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} W tym przypadku nie możemy umieścić żadnej z wartości x ≥ 0 lub x <0.
Zatem f nie jest zdefiniowane dla żadnego x ∈ R. Zatem dziedzina jest zbiorem pustym.
Dziedzina i zakres funkcji kwadratowych
Funkcje kwadratowe są funkcjami postaci f(x) = ax2+ bx + c, gdzie a, b i c są stałymi oraz a ≠ 0. Wykres funkcji kwadratowej ma postać paraboli. Zasadniczo jest to zakrzywiony kształt otwierający się w górę lub w dół.
Przyjrzyjmy się, jak wykreślić funkcje kwadratowe,
Zatem w naszej funkcji kwadratowej
- jeśli a> 0, parabola otwiera się w górę.
- jeśli a <0, parabola otwiera się w dół.
Teraz wierzchołek jest najwyższym lub najniższym punktem naszej krzywej, w zależności od wykresu funkcji kwadratowej. Aby znaleźć wierzchołek wykresu ogólnego wyrażenia kwadratowego.
W standardowej formie kwadratowej wierzchołek jest określony przez
Notatka: Każda krzywa jest symetryczna wokół swojej osi pionowej.
Spójrzmy na kilka przykładów,
Pytanie: Narysuj wykres f(x) = 2x 2 + 4x + 2.
Odpowiedź:
Porównanie tego równania z ogólnym równaniem funkcji kwadratowej. a = 2, b = -4 i c = 2.
Ponieważ a> 0, parabola ta będzie otwarta w górę.
- Wartość x wierzchołka =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - Wartość y wierzchołka = 2(-1)2+ 4(-1) + 2 = 0
Zatem wierzchołek znajduje się w punkcie (-1,0). Ponieważ parabola otwiera się do góry, musi to być minimalna wartość funkcji.
macierze w programowaniu w języku CPunkt, w którym wykres przecina oś y, wynosi (0,2).
Zakres i dziedzinę funkcji kwadratowych można łatwo znaleźć, wykreślając wykres. Nie zawsze jest konieczne rysowanie pełnego wykresu, dla zasięgu powinien być znany jedynie kierunek paraboli (w górę lub w dół) i wartość paraboli w wierzchołku. Wartość w wierzchołku jest zawsze minimalna/maksymalna, w zależności od kierunku paraboli. Dziedziną takich funkcji są zawsze liczby całkowite, ponieważ wszędzie są one określone, tj.; nie ma wartości wejściowej, która mogłaby spowodować, że podadzą niezdefiniowany jako wynik.
Spójrzmy na inny przykład dotyczący dziedziny i zasięgu paraboli.
Pytanie: Narysuj wykres i znajdź dziedzinę oraz zakres podanej funkcji, f(x) = -x 2 + 4.
Odpowiedź:
Ponieważ a = -1. Parabola otworzy się w dół, tj.; nie będzie wartości minimalnej, będzie ona rozciągać się do nieskończoności. Ale będzie maksymalna wartość, która wystąpi w wierzchołku.
Aby znaleźć położenie wierzchołka, można skorzystać z poprzedniego wzoru. Wierzchołek znajduje się w pozycji (0,4).
Wartość w wierzchołku (0,4) = (0)2+ 4 = 4.
Zatem maksymalna wartość wynosi 4, a minimalna wartość jest ujemna nieskończoności.
Zakres funkcji – (-∞, 4] i dziedzina wynosi R .
