logo

TechCodeview

Formularz rzutu rzędowego

Macierz ma postać rzutu rzędowego, jeśli ma następujące właściwości:

  • Dowolny wiersz składający się wyłącznie z zer znajduje się na dole macierzy.
  • Dla każdego wiersza, który nie zawiera całkowicie zer, pierwszym niezerowym wpisem jest 1 (tzw. wiodąca jedynka).
  • W przypadku dwóch kolejnych (niezerowych) wierszy wiodąca cyfra 1 w wyższym rzędzie jest bardziej na lewo niż wiodąca cyfra w dolnym rzędzie.

W przypadku postaci rzutu zredukowanego wiodąca 1 w każdym wierszu zawiera 0 poniżej i powyżej wartości w tej kolumnie.

Poniżej znajduje się przykład postaci rzędowo-eszelonowej:



egin{bmacierz} 1 i 2 i -1 i 4 0 i 1 i 0 i 3 0 i 0 i 1 i 2 end{bmacierz}

i zredukowana forma rzędowo-szczeblowa:

egin{bmacierz} 0 i 1 i 0 i 5 0 i 0 i 1 i 3 0 i 0 i 0 i 0 end{bmacierz}

Dowolną macierz można przekształcić do postaci rzutu zredukowanego przy użyciu techniki zwanej eliminacją Gaussa. Jest to szczególnie przydatne przy rozwiązywaniu układów równań liniowych.

Eliminacja Gaussa

Eliminacja Gaussa to sposób na przekształcenie macierzy w postać rzutu zredukowanego. Można go również wykorzystać jako sposób na znalezienie rozwiązania układu równań liniowych. Pomysł jest taki, że wykonujemy pewne operacje matematyczne na wierszu i kontynuujemy je, aż pozostanie tylko jedna zmienna.

Poniżej znajdują się niektóre operacje, które możemy wykonać:

  • Zamień dowolne dwa rzędy
  • Dodaj dwa rzędy razem.
  • Pomnóż jeden wiersz przez stałą niezerową (tj. 1/3, -1/5, 2).

Biorąc pod uwagę następujące równanie liniowe:

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

i rozszerzona macierz powyżej

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Teraz musimy to przekształcić w postać schodkową. Aby przekształcić to w postać schodkową, musimy wykonać eliminację Gaussa.

  • Najpierw musimy odjąć 2*r1z r2i 4*r1z r3aby otrzymać 0 na pierwszym miejscu r2I R3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • Następnie zamienimy wiersze r2 i r3, a następnie odejmiemy 5*r2z r3aby uzyskać drugie 0 w trzecim rzędzie.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Teraz możemy wydedukować wartość z z r3,tj. 10 z =0 ⇾ z=0. Za pomocą wartości z =0 możemy przypisać ją do r2, y = 2. Podobnie możemy umieścić wartość y i z w r1i otrzymujemy wartość x=3

Ranga macierzy

Rząd macierzy to liczba niezerowych wierszy w postaci rzutu wierszowego. Aby znaleźć rangę, musimy wykonać następujące kroki:

  • Znajdź postać schodkową danej macierzy
  • Policz liczbę niezerowych wierszy.

Weźmy przykładową macierz:

egin{bmacierz} 4 i 0 i 1 2 i 0 i 2 3 i 0 i 3 end{bmacierz}

Teraz redukujemy powyższą macierz do postaci schodkowej

egin{bmatrix} 1 i 0 i frac{1}{4} 0 i 0 i 1 0 i 0 i 0 end{bmatrix}

Tutaj tylko dwa wiersze zawierają elementy niezerowe. Zatem rząd macierzy wynosi 2.

Realizacja

  • Aby przekonwertować macierz do postaci zredukowanego rzutu wierszowego, użyliśmy pakietu Sympy w Pythonie, najpierw musimy go zainstalować.

Python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Wyjście: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>