REGUŁA TRAPEZOWA: DEFINICJA, WZÓR, PRZYKŁADY I CZĘSTO ZADAWANE PYTANIA

Reguła trapezowa jest jedną z podstawowych zasad całkowania, która służy do zdefiniowania podstawowej definicji całkowania. Jest to powszechnie stosowana reguła, a reguła trapezu została tak nazwana, ponieważ podaje pole pod krzywą, dzieląc krzywą na małe trapezy zamiast na prostokąty.

Generalnie pole pod krzywą znajdujemy dzieląc pole na mniejsze prostokąty, a następnie znajdując sumę wszystkich prostokątów, ale w regule trapezów pole pod krzywą dzieli się na trapezy, a następnie oblicza się ich sumę. Reguła trapezów służy do znajdowania wartości całek oznaczonych w analizie numerycznej. Zasada ta nazywana jest również regułą trapezu lub regułą trapezu. Dowiemy się więcej o regule trapezu, jej wzorze i dowodzie, przykładzie i innych szczegółach w tym artykule.

Co to jest reguła trapezu?

Reguła trapezowa to reguła służąca do wyznaczania wartości całki oznaczonej postaci^B∫_Af(x) dx. Wiemy, że wartość całki oznaczonej^B∫_Af(x) dx to obszar zawarty pod krzywą y = f(x) i osią x w przedziale aib na osi x. Obliczamy tę powierzchnię, dzieląc cały obszar na kilka małych prostokątów, a następnie obliczając ich sumę.

W regule trapezowej, jak sama nazwa wskazuje, pole pod krzywą dzieli się na kilka trapezów, a następnie oblicza się ich sumę, aby uzyskać pole krzywej. Reguła trapezów nie zapewnia najlepszego przybliżenia pola pod krzywą niż reguła Simpsona, ale mimo to jej wynik jest wystarczająco dokładny i reguła ta jest powszechnie stosowaną regułą w rachunku różniczkowym.

Wzór na regułę trapezu

Wzór na regułę trapezu to wzór używany do znalezienia pola pod krzywą. Teraz, aby znaleźć pole pod krzywą, korzystając z reguły trapezu,

Niech y = f(x) będzie krzywą ciągłą zdefiniowaną na przedziale domkniętym [a, b]. Teraz dzielimy zamknięty przedział [a, b] na n równych podprzedziałów, z których każdy ma szerokość:

Δx = (b – a)/n

Takie, że

a = x₀ ₁ ₂<⋯ _N= b

Teraz, korzystając ze wzoru na regułę trapezu, możemy znaleźć pole pod krzywą jako:

∫^B_Af(x) dx = Pole pod krzywą = (Δx/2) [y₀+ 2 (i₁+ i₂+ i₃+ ….. + i_n-1) + y_N]

gdzie, j₀, I₁, I₂,…. I_Nsą wartościami funkcji odpowiednio przy x = 1, 2, 3, ….., n.

Wyprowadzenie wzoru na regułę trapezu

Wzór na regułę trapezu do obliczania pola pod krzywą uzyskuje się dzieląc pole pod krzywą na kilka trapezów, a następnie obliczając ich sumę.

Oświadczenie:

Niech f(x) będzie funkcją ciągłą określoną na przedziale (a, b). Teraz dzielimy przedziały (a, b) na n równych podprzedziałów, gdzie szerokość każdego przedziału wynosi:

mrówka kontra maven

Δx = (b – a)/n

takie, że a = x₀ ₁ ₂ ₃<…..< x_N= b

Wtedy wzór na regułę trapezu wygląda następująco:

∫^B_Af(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_N)]

gdzie, x_I= a + i△x

Jeśli n → ∞, RHS wyrażenia daje całkę oznaczoną $int_{a}^{b}f(x) dx$

Dowód:

Wzór ten można udowodnić dzieląc obszar pod daną krzywą, jak pokazano na powyższym rysunku, na różne trapezy. Pierwszy trapez ma wysokość Δx, a długości podstaw równoległych wynoszą f(x₀) i f(x₁)

Pole pierwszego trapezu = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

Podobnie pole pozostałych trapezów wynosi (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃)], i tak dalej.

Teraz możemy powiedzieć, że

∫^B_Af(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x₀)+f(x₁) ) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂) ) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_N) )

Po uproszczeniu otrzymujemy,

∫^B_Af(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_N))

W ten sposób udowodniono regułę trapezu.

Jak zastosować regułę trapezu?

Reguła trapezów znajduje pole pod krzywą, dzieląc pole pod krzywą na różne trapezy, a następnie obliczając sumę wszystkich trapezów. Reguła trapezów nie jest idealnym przybliżeniem wartości całki oznaczonej, ponieważ wykorzystuje przybliżenie kwadratowe.

Musimy znaleźć wartość całki oznaczonej ∫^B_Af(x) dx. Wartość całki oznaczonej można obliczyć za pomocą reguły trapezów, wykonując poniższe kroki:

Krok 1: Zaznacz wartość podprzedziałów n oraz przedziałów a i b.

Krok 2: Znajdź szerokość podprzedziału (△x) korzystając ze wzoru △x = (b – a)/n

Krok 3: Umieść wszystkie wartości we wzorze na regułę trapezu i znajdź przybliżone pole danej krzywej, które reprezentuje całkę oznaczoną ∫^B_Af(x) dx
protokół udp

∫ ^B _A f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _N ))

Gdzie, X _I = a + i△x

Notacja sumacyjna reguły trapezowej

Wiemy, że pole trapezu jest w zasadzie średnią długości boków równoległych pomnożonych przez wysokość. Zatem w tym przypadku rozważmy trapez dla i^tinterwał,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Ponieważ powierzchnia całkowita jest sumą wszystkich powierzchni,

A = A₁+ A₂+ ….+ A_N

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Nazywa się to notacją sigma lub notacją sumacyjną sum trapezowych.

Sumy Riemanna

Riemann podsumowuje prace nad pomysłem podzielenia obszaru pod krzywą na różne prostokątne części. W miarę zwiększania się liczby prostokątów obszar staje się coraz bliżej bieżącego obszaru. Na poniższym rysunku znajduje się funkcja f(x). Pole pod tą funkcją jest podzielone na wiele prostokątów. Całkowite pole pod krzywą to suma pól wszystkich prostokątów.

Zauważ, że na powyższym rysunku prawy koniec prostokątów dotyka krzywej. Nazywa się to sumami prawostronnymi Riemanna.

W innym przypadku, gdy lewy koniec prostokątów dotyka krzywej, jak pokazano na poniższym obrazku, nazywa się to lewymi sumami Riemanna.

Powiedzmy, że Δx jest szerokością przedziału, szerokość n jest liczbą przedziałów, jak podano powyżej. Następnie obszar krzywej reprezentowany przez sumę jest określony przez,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

Sumy punktu środkowego

W sumach Riemanna lewy lub prawy koniec prostokąta dotyka krzywej. W tym przypadku środkowy punkt prostokąta dotyka krzywej. Wszystko inne jest takie samo jak sumy Riemanna. Poniższy rysunek przedstawia funkcję f(x) i różne prostokąty w sumach punktów środkowych.

Powiedzmy A_Ioznacza obszar i^tprostokąt. Pole tego prostokąta w tym przypadku będzie wynosić:

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x$

Teraz całkowita powierzchnia w zapisie sumującym będzie podana przez,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}$

Czytaj więcej,

Formuły całkowania
Całkowanie przez części
Wzór różniczkujący i całkujący

Rozwiązany przykład na regule trapezowej

Przykład 1: Znajdź obszar ograniczony funkcją f(x) pomiędzy x = 0 a x = 4 z 4 przedziałami.

f(x) = 4

Rozwiązanie:

Tutaj a = 0, b = 4 i n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Reguła trapezowa dla n = 4 brzmi:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Zastępując wartości w tym równaniu,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4 ) + 4) = 16$

Przykład 2: Znajdź obszar ograniczony funkcją f(x) pomiędzy x = 0 a x = 3 z 3 przedziałami.

f(x) = x

Rozwiązanie:

Tutaj a = 0, b = 3 i n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Reguła trapezowa dla n = 3 to:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Zastępując wartości w tym równaniu,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Strzałka w prawo T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

Przykład 3: Znajdź obszar ograniczony funkcją f(x) pomiędzy x = 0 a x = 2 z 2 przedziałami.

f(x) = 2x

Rozwiązanie:

Tutaj a = 0, b = 2 i n = 2.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Reguła trapezowa dla n = 2 brzmi:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Zastępując wartości w tym równaniu,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

Przykład 4: Znajdź obszar ograniczony funkcją f(x) pomiędzy x = 0 a x = 3 z 3 przedziałami.

f(x) = x ²

Rozwiązanie:

Tutaj a = 0, b = 3 i n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$
rzuć ciąg znaków na int java

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Reguła trapezowa dla n = 3 to:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Zastępując wartości w tym równaniu,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Strzałka w prawo T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

Przykład 5: Znajdź obszar ograniczony funkcją f(x) pomiędzy x = 0 a x = 4 z 4 przedziałami.

f(x) = x ³ + 1

Rozwiązanie:

Tutaj a = 0, b = 4 i n = 4.
konwencja nazewnictwa Java

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Reguła trapezowa dla n = 4 brzmi:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Zastępując wartości w tym równaniu,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Strzałka w prawo T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Strzałka w prawo T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Strzałka w prawo T_n= 72$

Przykład 6: Znajdź obszar ograniczony funkcją f(x) pomiędzy x = 0 a x = 4 z 4 przedziałami.

f(x) = mi ^X

Rozwiązanie:

Tutaj a = 0, b = 4 i n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Reguła trapezowa dla n = 4 brzmi:

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Zastępując wartości w tym równaniu,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Strzałka w prawo T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

Zastosowania reguły trapezu

Całkowanie numeryczne:

Podstawowym zastosowaniem reguły trapezów jest aproksymacja całek oznaczonych. Stosuje się ją, gdy całkowanie funkcji stanowi wyzwanie, a podejście numeryczne jest bardziej wykonalne. Reguła trapezowa jest często częścią bardziej zaawansowanych technik całkowania numerycznego.

Fizyka i Inżynieria:

W fizyce i inżynierii regułę trapezu można zastosować do obliczenia takich wielkości, jak przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. Na przykład, gdy dane eksperymentalne są zbierane w dyskretnych odstępach czasu, regułę trapezów można zastosować do oszacowania pola pod krzywą, zapewniając przybliżenie całki.

Ekonomia i finanse:

Regułę trapezu można zastosować w modelowaniu finansowym do oszacowania wartości bieżącej przyszłych przepływów pieniężnych. Jest to szczególnie przydatne w analizie zdyskontowanych przepływów pieniężnych (DCF), gdzie celem jest obliczenie bieżącej wartości netto inwestycji.

Statystyka:

W statystyce regułę trapezową można zastosować do oszacowania obszaru w ramach funkcji gęstości prawdopodobieństwa lub funkcji rozkładu skumulowanego. Jest to szczególnie przydatne w przypadkach, gdy dokładna forma rozkładu jest nieznana lub złożona.

Często zadawane pytania dotyczące reguły trapezu

P1: Co to jest reguła trapezowa?

Odpowiedź:

Reguła trapezów to zasada służąca do znalezienia całki oznaczonej, która dzieli pole pod krzywą na kilka trapezów, następnie wyznaczane są ich poszczególne pola, a następnie obliczana jest suma, aby uzyskać wartość całki oznaczonej.

P2: Jaki jest wzór na regułę trapezu?

Odpowiedź:

Wzór na regułę trapezu to:

∫ ^B _A f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _N ))

P3: Dlaczego nazywa się to formułą reguły trapezowej?

Odpowiedź:

Wzór na regułę trapezu nazywany jest regułą trapezu, ponieważ dzieli pole pod krzywą na kilka trapezów, a następnie oblicza się ich pole, znajdując sumę trapezów.

P4: Jaka jest różnica między regułą trapezu a regułą sumy Riemanna?

Odpowiedź:

Główna różnica między regułą trapezów a regułą sum Riemanna polega na tym, że reguła trapezów dzieli pole pod krzywą jako trapezy, a następnie znajduje pole, biorąc ich sumę, podczas gdy suma Riemanna dzieli pole pod krzywą jako trapez i następnie znajduje obszar, biorąc ich sumę.