logo

TechCodeview

Formuły całkowania

Formuły całkowania to podstawowe wzory używane do rozwiązywania różnych problemów całkowych. Służą do znajdowania całkowania wyrażeń algebraicznych, stosunków trygonometrycznych, odwrotnych funkcji trygonometrycznych oraz funkcji logarytmicznych i wykładniczych. Te wzory całkowe są bardzo przydatne do znajdowania integracji różnych funkcji.

Całkowanie jest procesem odwrotnym do różniczkowania, tj. jeśli d/dx (y) = z, to ∫zdx = y. Całkowanie dowolnej krzywej daje pole pod krzywą. Integrację znajdujemy dwiema metodami: Integracja nieokreślona i Integracja określona. W integracji nieokreślonej nie ma granicy integracji, podczas gdy w integracji określonej istnieje granica, w ramach której funkcja jest całkowana.



Dowiedzmy się o nich formuły całkowe, i ich Klasyfikacja, szczegółowo w tym artykule.

Spis treści

Rachunek całkowy

Rachunek całkowy to dział rachunku różniczkowego zajmujący się teorią i zastosowaniami całek. Proces znajdowania całek nazywa się integracją. Rachunek całkowy pomaga w znalezieniu funkcji pierwotnej. Funkcje pierwotne nazywane są także całkami funkcji. Jest oznaczony przez ∫f(x)dx. Rachunek całkowy zajmuje się wartościami całkowitymi, takimi jak długości, pola i objętości. Całkę można wykorzystać do znalezienia przybliżonych rozwiązań niektórych równań danych. Rachunek całkowy obejmuje dwa rodzaje całkowania:



  • Nieokreślony Całki
  • Całki oznaczone

Co to są formuły całkujące?

Formuły całkowe zostały szerzej przedstawione w postaci następujących zestawów formuł. Formuły obejmują podstawowe wzory na całkowanie, całkowanie stosunków trygonometrycznych, odwrotne funkcje trygonometryczne, iloczyn funkcji i niektóre zaawansowane zestawy formuł na całkowanie. Integracja to sposób na połączenie części w celu uzyskania całości. Jest to odwrotna operacja różniczkowania. Zatem podstawowy wzór na całkowanie to

∫ f’(x) dx = f(x) + C

Formuły całkowania



Korzystając z tego, wyprowadza się następujące wzory całkowe.

Różne wzory na rachunek całkowy to:

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xNdx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logTo jest|x| + C
  4. ∫tjXdx = miX+ C
  5. ∫aXdx = (aX/ dziennikTo jesta) + C

Więcej wzorów całkowych omówiono poniżej w artykule,

Notatka:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k. f(x) dx = k ∫f(x) dx , gdzie k jest stałe
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Podstawowe formuły całkujące

Poniżej omówiono niektóre podstawowe formuły całkowania stosowane do rozwiązywania problemów integracyjnych. Wyprowadza się je z podstawowego twierdzenia o całkowaniu. Lista podstawowych wzorów całkowych znajduje się poniżej:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xNdx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ iXdx = miX+ C
  • ∫ zaXdx = aX/log a+ C
  • ∫ iX[f(x) + f'(x)] dx = miXf(x) + do {gdzie, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Klasyfikacja wzorów całkowych

Wzory całkowe są podzielone na różne kategorie w oparciu o następującą funkcję.

  • Funkcje wymierne
  • Funkcje irracjonalne
  • Funkcje hiperboliczne
  • Odwrotne funkcje hiperboliczne
  • Funkcje trygonometryczne
  • Odwrotne funkcje trygonometryczne
  • Funkcje wykładnicze
  • Funkcje logarytmiczne

Wzory całkowe funkcji trygonometrycznych

Całkowanie Wzory funkcji trygonometrycznych służą do rozwiązywania równań całkowych obejmujących funkcje trygonometryczne. Poniżej znajduje się lista wzorów całkowych obejmujących funkcje trygonometryczne i odwrotne funkcje trygonometryczne:

  • ∫ sałata x dx = grzech x + C
  • ∫ grzech x dx = -cos x + C
  • ∫ sek2x dx = opalenizna x + C
  • ∫ cosek2x dx = -łóżeczko x + C
  • ∫ s x tan x dx = s x + C
  • ∫ cosec x łóżeczko x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sek x| +C
  • ∫ łóżko x dx = log |sin x| + C
  • ∫ sek. x dx = log |sek. x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – łóżeczko x| + C

Wzory całkowe odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Poniżej podano różne wzory całkowe odwrotnych funkcji trygonometrycznych, które są używane do rozwiązywania problemów całkowych,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = grzech-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = sałata-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = tan-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = łóżeczko dziecięce-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = sek-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosek-1x + C

Zaawansowane formuły integracyjne

Poniżej omówiono niektóre inne zaawansowane formuły całkowe, które mają duże znaczenie przy rozwiązywaniu całek,

  • ∫1/(x2- A2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2- X2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ za2) dx = 1/a tan-1x/a + C
  • ∫1/√(x2- A2)dx = log |x +√(x2- A2)| + C
  • ∫ √(x2- A2) dx = x/2 √(x2- A2) -A2/2 log |x + √(x2- A2)| + C
  • ∫1/√(a2- X2) dx = grzech-1x/a + C
  • ∫√(a2- X2) dx = x/2 √(a2- X2) dx + a2/2 bez-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ za2) dx = log |x + √(x2+ za2)| + C
  • ∫ √(x2+ za2) dx = x/2 √(x2+ za2) + a2/2 log |x + √(x2+ za2)| + C

Różne formuły integracji

Do rozwiązywania różnych typów pytań integralnych stosuje się różne typy metod całkowania. Każda metoda jest wynikiem standardowym i można ją uznać za wzór. Niektóre z ważnych metod omówiono poniżej w tym artykule. Sprawdźmy trzy ważne metody integracji.

  • Całkowanie według wzoru części
  • Całkowanie poprzez wzór podstawieniowy
  • Całkowanie przez ułamki częściowe Wzór

Całkowanie według wzoru części

Całkowanie przez części Wzór stosuje się wtedy, gdy daną funkcję można łatwo opisać jako iloczyn dwóch funkcji. Poniżej podano wzór całkowania przez części stosowany w matematyce:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Przykład: Oblicz ∫ xe X dx

Rozwiązanie:

∫ samochódXdx ma postać ∫ f(x) g(x) dx

niech f(x) = x i g(x) = eX

wiemy to, ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ samochódXdx = x ∫eXdx – ∫( 1 ∫eXdx) dx+ c

= samochódX- To jestX+ c

Całkowanie poprzez wzór podstawieniowy

Całkowanie poprzez wzór podstawieniowy stosuje się, gdy funkcja jest funkcją innej funkcji. tj. niech I = ∫ f(x) dx, gdzie x = g(t) takie, że dx/dt = g'(t), wówczas dx = g'(t)dt

Teraz, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Przykład: Oceń ∫ (4x +3) 3 dx

Rozwiązanie:

Niech u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

funkcjonuje w c

= 1/4 ∫(u)3z

= 1/4. W4/5

= ty4/20

= 4x ​​+3)4/20

Całkowanie przez ułamki częściowe Wzór

Całkowanie przez ułamki cząstkowe Wzór stosuje się, gdy wymagana jest całka z P(x)/Q(x), a P(x)/Q(x) jest ułamkiem niewłaściwym, tak że stopień P(x) jest mniejszy niż (<) stopień Q(x), wówczas ułamek P(x)/Q(x) zapisuje się jako

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/Q(x)

Gdzie

  • R(x) jest wielomianem w x
  • P 1 (x)/Q(x) jest właściwą funkcją wymierną

Teraz całkowanie R(x) + P1(x)/Q(x) można łatwo obliczyć, korzystając ze wzorów omówionych powyżej.

Zastosowanie całek

Wzory całkowe są bardzo przydatnymi wzorami w matematyce, które są używane do różnych zadań. Różny zastosowania całek obejmuje:

  • Znalezienie długości krzywej
  • Znalezienie pola pod krzywą
  • Znajdowanie przybliżonych wartości funkcji
  • Wyznaczanie ścieżki obiektu i inne
  • Aby znaleźć pole pod krzywą
  • Aby znaleźć pole powierzchni i objętość nieregularnych kształtów
  • Aby znaleźć środek masy lub środek ciężkości

Formuły te można zasadniczo podzielić na dwie kategorie,

  • Zdefiniowane formuły całkowania
  • Nieokreślone formuły całkowania

Zdefiniowana formuła całkowania

Wzory na całkę oznaczoną stosuje się, gdy podana jest granica całkowania. W integracji oznaczonej rozwiązaniem jest wartość stała. Generalnie całkowanie oznaczone rozwiązuje się w następujący sposób:

∫ A B f(x) dx = F(b) – F(a)

Nieokreślona formuła integracji

Formuły całkowania nieokreślonego służą do rozwiązywania całkowania nieokreślonego, gdy nie jest podana granica całkowania. W całkowaniu nieokreślonym używamy stałej całkowania, która jest ogólnie oznaczana przez C

∫f(x) = F(x) + C

  • Całki nieoznaczone
  • Zdefiniuj właściwości integralne
  • Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Przykłady dotyczące wzorów całkowych

Przykład 1: Oceń

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 X dx
  • ∫4e X dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/grzech 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Rozwiązanie:

(i) ∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(iv) ∫3 X dx

= (3X/ dziennikTo jest3) + C [ ∫a X dx = (a X / dziennik To jest a) + C]

(v) ∫4e X dx

= 4∫eXdx [∫k. f(x) dx = k f(x) dx , gdzie k jest stałe]

= 4 iX+ C [∫tj X dx = mi X + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫ tan x . sekunda x dx [ ∫tan x .sec x dx = sec x + C ]

= sekunda x + C

(vii) ∫(1/grzech 2 x) dx

= ∫ cosek2x dx [∫cosek 2 x dx = -łóżeczko x + C ]

= -łóżeczko x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22- X2)] dx [wiemy to, dx = grzech -1 (x/a) + C]

= bez-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [wiemy to,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)sek-1(x/a) + C]

= (1/3) sek-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ grzech x) dx

= ∫cosek x dx [wiemy to, ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – łóżko x| +C

Przykład 2: Oblicz ∫{e 9log To jest X + i 8log To jest X }/{To jest 6log To jest X + i 5log To jest X } dx

Rozwiązanie:

Od, To jest drżący To jest X = x A

∫{np 9log To jest X + i 8log To jest X }/{To jest 6log To jest X + i 5log To jest X } dx

= ∫{x9+ x8}/{X6+ x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/X5dx

= ∫x3dx [wiemy to, ∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) + C

Przykład 3: Oblicz ∫ sin x + cos x dx

Rozwiązanie:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [wiemy to, ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + grzech x + C [wiemy, że ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Przykład 4: Oceń ∫4 x+2 dx

Rozwiązanie:

∫4 x+2 dx = ∫4X. 42dx

= ∫16. 4Xdx [ wiemy, że∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , gdzie k jest stałe]

= 16∫ 4Xdx [∫a X dx = (a X / dziennik To jest a) + C]

= 16 (4X/log 4) + C

Przykład 5: Oblicz ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Rozwiązanie:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [Wiemy o tym, ∫x N dx = {x n+1 /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Przykład 6: Oblicz ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Rozwiązanie:

1 + sałata 2x = 2 sałata 2 X

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 sek2xdx

= 2∫sek2x dx [Wiemy o tym, ∫ sek 2 x dx = opalenizna x + C ]

= 2 brązowe x + C

Przykład 7: Oblicz ∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

Rozwiązanie:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sek 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sek2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, gdzie k jest stałe]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sek2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Ćwicz problemy dotyczące wzorów całkowych

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Często zadawane pytania dotyczące formuł integracji

Jakie są wszystkie formuły całkowania?

Formuły całkowe to formuły używane do rozwiązywania różnych problemów całkowych,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xNdx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ iXdx = miX+ C
  • ∫ zaXdx = aX/log a+ C
  • ∫ iX[f(x) + f'(x)] dx = miXf(x) + do {gdzie, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Jakie są wzory całkowania UV?

Formuła całkowania UV to:

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Co oznacza integracja w matematyce?

Jeżeli pochodną funkcji g(x) jest f(x), to całkowanie f(x) wynosi g(x), czyli ∫f(x)dx = g(x). Integracja jest reprezentowana przez symbol ∫

Jak integrujemy za pomocą formuł całkujących?

Całkowanie można osiągnąć za pomocą wzorów,

  • Zdefiniuj małą część obiektu w określonych wymiarach, która dodając nieskończenie razy, tworzy kompletny obiekt.
  • Użycie formuł całkowych na tej małej części wzdłuż różnych wymiarów daje nam kompletny obiekt.

Co to jest wzór całkowy na części?

Wzór na całkę przez część służy do rozwiązywania całki, gdy podany jest ułamek niewłaściwy.

Jakie jest zastosowanie formuł całkujących?

Wzory całkowe służą do rozwiązywania różnych problemów całkowych. Za pomocą integracji można łatwo rozwiązać różne problemy, które napotykamy w życiu codziennym, takie jak znalezienie środka masy dowolnego obiektu, znalezienie trajektorii rakiety, rakiety, samolotu i innych.