Wzory Sin Cos w trygonometrii: Trygonometria, jak sama nazwa wskazuje, to nauka o trójkątach. Jest to ważna gałąź matematyki, która bada związek między długościami boków i kątami trójkąta prostokątnego, a także pomaga w określaniu brakujących długości boków lub kątów trójkąta. Istnieje sześć stosunków lub funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens, cosecans, secans i cotangens, gdzie cosecans, secans i cotangens są odwrotnością funkcji pozostałych trzech funkcji, tj. odpowiednio sinusa, cosinusa i tangensa.

Stosunek trygonometryczny definiuje się jako stosunek długości boków trójkąta prostokątnego. Trygonometria jest wykorzystywana w różnych dziedzinach naszego codziennego życia. Pomaga określić wysokość wzgórz lub budynków. Jest również stosowany w takich dziedzinach jak kryminologia, budownictwo, fizyka, archeologia, inżynieria silników morskich itp.

W tym artykule omówimy wszystko wzory trygonometryczne, głównie wzory na grzech i cos z ich przykładami oraz listę wszystkich wzorów w trygonometrii.

Spis treści

• Wzory w trygonometrii
• Wzór sinusa
• Wzór cosinusa
• Niektóre podstawowe wzory na grzech
• Tabela formuł grzechu cos
• Lista formuł grzechu
• Przykłady formuł Sin Cos
• Ćwicz problemy dotyczące wzorów sin cos w trygonometrii z przykładami

Wzory w trygonometrii

Rozważmy trójkąt prostokątny XYZ, gdzie ∠Y = 90°. Niech kąt przy wierzchołku Z będzie θ. Strona sąsiadująca z θ nazywana jest stroną sąsiednią, a strona przeciwna do θ nazywana jest stroną przeciwną. Przeciwprostokątna to bok przeciwny do kąta prostego lub najdłuższy bok kąta prostego.

• sin θ = strona przeciwna/przeciwprostokątna
• cos θ = sąsiadujący bok/przeciwprostokątna
• tan θ = strona przeciwna/strona sąsiadująca
• cosec θ = 1/sin θ = przeciwprostokątna/strona przeciwna
• sec θ = 1/ cos θ = Przeciwprostokątna/strona sąsiadująca
• łóżko θ = 1/ tan θ = strona sąsiadująca/strona przeciwna

Wzór sinusa

Sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przeciwnego boku do długości przeciwprostokątnej danego kąta. Funkcja sinus jest reprezentowana jako grzech.

sin θ = strona przeciwna/przeciwprostokątna

Wzór cosinusa

Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek długości sąsiedniego boku do długości przeciwprostokątnej danego kąta. Funkcja cosinus jest reprezentowana jako cos.

skaner.next Java

cos θ = sąsiadujący bok/przeciwprostokątna

Niektóre podstawowe wzory na grzech

Funkcje sinus i cosinus w ćwiartkach

• Funkcja sinus jest dodatnia w pierwszej i drugiej ćwiartce oraz ujemna w trzeciej i czwartej ćwiartce.
• Funkcja cosinus jest dodatnia w pierwszej i czwartej ćwiartce oraz ujemna w drugiej i trzeciej ćwiartce.

Stopni	Kwadrant	Znak funkcji sinus	Znak funkcji cosinus
0° do 90°	1. ćwiartka	+ (pozytywny)	+ (pozytywny)
90° do 180°	2. ćwiartka	+ (pozytywny)	- (negatywny)
180° do 270°	Trzecia ćwiartka	- (negatywny)	- (negatywny)
270° do 360°	4. ćwiartka	- (negatywny)	+ (pozytywny)

Tożsamość kąta ujemnego funkcji sinus i cosinus

• Sinus kąta ujemnego jest zawsze równy ujemnemu sinusowi kąta.

grzech (– θ) = – grzech θ

• Cosinus kąta ujemnego jest zawsze równy cosinusowi kąta.

cos (– θ) = cos θ

Zależność funkcji sinus i cosinus

grzech θ = cos (90° – θ)

Funkcje wzajemne funkcji sinus i cosinus

• Funkcja cosecant jest funkcją odwrotną funkcji sinus.

cosec θ = 1/sin θ

• Funkcja sieczna jest funkcją odwrotną funkcji cosinus.

sec θ = 1/cos θ

Tożsamość pitagorejska

bez ² θ + sałata ² θ = 1

Okresowe tożsamości funkcji sinus i cosinus

grzech (θ + 2nπ) = grzech θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

Wzory na kąt podwójny dla funkcji sinus i cosinus

grzech 2θ = 2 grzech θ cos θ

cos 2θ = cos ² θ – grzech ² θ = 2 sałata ² θ – 1 = 1 – 2 grzech ² I

Tożsamości półkątowe dla funkcji sinus i cosinus

grzech (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Tożsamości kąta potrójnego dla funkcji sinus i cosinus

grzech 3θ = 3 grzech θ – 4 grzech ³ I

cos 3θ = 4cos ³ θ – 3 cos θ

Wzory na sumę i różnicę

• Funkcja sinus

grzech (A + B) = grzech A cos B + cos A grzech B

grzech (A – B) = grzech A cos B – cos A grzech B

• Funkcja cosinus

cos (A + B) = cos A cos B – grzech A grzech B

cos (A – B) = cos A cos B + grzech A grzech B

Prawo sinusów lub reguła sinusów

Zasada sinusów to prawo trygonometryczne określające zależność między długościami boków i kątami trójkąta.

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Gdzie a, b i c to długości trzech boków trójkąta ABC, a A, B i C to kąty.

Prawo cosinusów

Prawo cosinusów reguły cosinusów służy do określania brakujących lub nieznanych kątów lub długości boków trójkąta.

A ² = b ² + c ² – 2bc cos A

B ² = ok ² + za ² – 2ca cos B

C ² = za ² + b ² – 2ab cos C

Gdzie a, b i c to długości trzech boków trójkąta ABC, a A, B i C to kąty.

Tabela formuł sin cos

Oto tabela/lista wzorów sin i cos dla różnych kątów w stopniach i radianach:

Lista formuł grzechu

Przykłady formuł Sin Cos

Zadanie 1: Jeśli cos α = 24/25, to znajdź wartość sin α.

Rozwiązanie:

Dany,

cos α = 24/25

Z tożsamości pitagorejskich mamy;

sałata²θ + grzech²θ = 1

(24/25)²+ bez²α = 1

bez²α = 1 – (24/25)²

bez²α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

bez²α = (625 – 576)/625 = 49/626

grzech α = √49/625 = ±7/25

Zatem sin α = ±7/25.

Zadanie 2: Udowodnić wzory na sin 2A i cos 2A, jeśli ∠A= 30°.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, ∠A= 30°

tablica w Javie

Wiemy to,

1) grzech 2A = 2 grzech A cos A

grzech 2(30°) = 2 grzech 30° cos 30°

grzech 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) {Ponieważ grzech 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 i grzech 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

L.H.S = R.H.S

2) cos 2A = 2cos²A – 1

cos 2(30°) = 2cos²(30°) – 1

cos 60° = 2(√3/2)²– 1 = 3/2 – 1 {Ponieważ cos 60° = 1/2 i cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

L.H.S = R.H.S

Stąd udowodnione.

Zadanie 3: Znajdź wartość cos x, jeśli tan x = 3/4.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę, tan x = 3/4

Wiemy to,

tan x = strona przeciwna/strona sąsiednia = 3/4

Aby znaleźć przeciwprostokątną, używamy twierdzenia Pitagorasa:

przeciwprostokątna²= naprzeciwko²+ sąsiadujący²

H²= 3²+ 4²

H²= 9 + 16 = 25

H = √25 = 5

Teraz cos x = sąsiedni bok/przeciwprostokątna

cos x = 4/5

Zatem wartość cos x wynosi 4/5.

Zadanie 4: Znajdź ∠C (w stopniach) i ∠A (w stopniach), jeśli ∠B = 45°, BC = 15 cali i AC = 12 cali.

Rozwiązanie:

Dane: ∠B = 45°, BC = a = 15 cali i AC = b = 12 cali.

Z twierdzenia sinusów mamy

a/sin A = b/sin B = c/sin C

⇒ a/grzech A = b/grzech B

⇒ 15/grzech A = 12/grzech 45°

⇒ 15/grzech A = 12/(1/√2)

⇒ 15/grzech A = 12√2 = 16,97

⇒ bez A = 15/16,97 = 0,8839

⇒ ∠A = grzech^-1(0,8839) = 62,11°

Wiemy, że suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.

Zatem ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62,11° + 45° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° – (62,11° + 45°) = 72,89°

Stąd ∠A = 62,11° i ∠C = 72,89°.

Zadanie 5: Udowodnij tożsamość półkątną funkcji cosinus.

Rozwiązanie:

Tożsamość półkątowa funkcji cosinus wynosi:

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Z tożsamości podwójnego kąta mamy,

cos 2A = 2 cos²A – 1

Teraz zamień A na θ/2 po obu stronach

⇒ sałata 2(θ/2) = 2 sałata²(i/2) – 1

⇒ sałata θ = 2 sałata²(i/2) – 1

⇒ 2co²(θ/2) = cos θ + 1

⇒ kosm²(θ/2) = (cos θ + 1)/2

⇒ sałata (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Stąd udowodnione.

Ćwicz problemy dotyczące wzorów sin cos w trygonometrii z przykładami

1. Biorąc pod uwagę sin⁡ θ = 3/5. Znajdź cos θ.

2. Udowodnij tożsamość sin⁡(2A) = 2 sin⁡A cos⁡A dla A=45∘.

3. Jeśli cos⁡ α = 5/13. Znajdź grzech(2a).

4. Znajdź θ jeśli sin θ = cos(90∘−θ).

5. Jeśli tan ⁡β = 2. Znajdź sin ⁡β i cos⁡ β, korzystając z tożsamości pitagorejskiej.

Często zadawane pytania dotyczące wzorów sin cos w trygonometrii z przykładami

Jakie są podstawowe wzory na sinus i cosinus w trygonometrii?

Podstawowe wzory na sinus i cosinus to sin ⁡θ = przeciwprostokątna/przeciwprostokątna i cos ⁡θ = sąsiadująca/przeciwprostokątna, gdzie θ jest kątem w trójkącie prostokątnym.

Jak znaleźć sinus i cosinus specjalnych kątów?

Kąty specjalne, takie jak 0∘, 30∘, 45∘, 60∘ i 90∘, mają określone wartości sinusów i cosinusów, które można zapamiętać, korzystając z tabel trygonometrycznych lub koncepcji okręgu jednostkowego.

Jaki jest związek między funkcjami sinus i cosinus?

Funkcje sinus i cosinus są powiązane tożsamością grzech ⁡θ = cos⁡(90∘- θ) i tożsamość pitagorejska bez⁡ ² θ+cos⁡ ² θ = 1.

Jak korzystać ze wzorów na kąt podwójny dla sinusa i cosinusa?

Są wzory na kąt podwójny grzech⁡(2θ) = 2sin⁡θcos⁡θ I cos⁡(2θ)=cos⁡ ² θ – grzech⁡ ² I. Służą one do wyrażania funkcji trygonometrycznych kątów podwójnych w postaci kątów pojedynczych.

Jak znaleźć wartości sinusów i cosinusów dla kątów w różnych ćwiartkach?

Znaki funkcji sinus i cosinus zależą od ćwiartki, w której leży kąt:

• Pierwsza ćwiartka: sin⁡ θ> 0 i cos θ> 0
• Druga ćwiartka: sin ⁡θ> 0 i cos θ <0
• Trzecia ćwiartka: sin⁡θ <0 i cosθ <0
• Czwarta ćwiartka: sin⁡θ 0