Całkowanie przez części: Całkowanie przez części to technika stosowana w rachunku różniczkowym w celu znalezienia całki iloczynu dwóch funkcji. Zasadniczo jest to odwrócenie reguły produktu na rzecz różnicowania.

Całkowanie funkcji nie zawsze jest łatwe. Czasami musimy zintegrować funkcję będącą wielokrotnością dwóch lub więcej funkcji. W tym przypadku, jeśli musimy znaleźć całkowanie, musimy skorzystać z koncepcji całkowania przez część, która wykorzystuje dwa iloczyny dwóch funkcji i mówi nam, jak znaleźć ich integrację.

Teraz dowiedzmy się o Całkowanie przez części, jego wzór, wyprowadzenie i inne szczegóły w tym artykule.

Co to jest całkowanie przez części?

Całkowanie przez części to technika stosowana do znajdowania całkowania iloczynu dwóch lub więcej funkcji, w przypadku gdy całkowanie nie może być wykonane przy użyciu normalnych technik. Załóżmy, że mamy dwie funkcje f(x) i g(x) i musimy znaleźć całkowanie ich iloczynu, tj. ∫ f(x).g(x) dx, gdzie nie jest możliwe dalsze rozwiązanie iloczynu tego iloczynu f(x).g(x).

Całkowanie to osiąga się za pomocą wzoru:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + do

gdzie f'(x) jest pierwszym zróżnicowaniem f(x).

Formułę tę odczytuje się następująco:

Całkowanie pierwszej funkcji pomnożone przez drugą funkcję jest równe (pierwsza funkcja) pomnożone przez (całkowanie drugiej funkcji) – Całkowanie (różnicowanie pierwszej funkcji pomnożone przez całkowanie drugiej funkcji).

Z powyższego wzoru łatwo możemy zauważyć, że wybór pierwszej funkcji i drugiej funkcji jest bardzo ważny dla powodzenia tej formuły, a sposób, w jaki wybieramy pierwszą i drugą funkcję, zostanie omówiony w dalszej części tego artykułu.

Co to jest częściowa integracja?

Całkowanie częściowe, znane również jako całkowanie przez części, to technika stosowana w rachunku różniczkowym do oceny całki iloczynu dwóch funkcji. Wzór na częściowe całkowanie jest podany wzorem:

∫ u dv = uv – ∫ v du

gdzie u i v są różniczkowalnymi funkcjami x. Wzór ten pozwala nam uprościć całkę iloczynu, dzieląc ją na dwie prostsze całki. Chodzi o to, aby wybrać u i dv tak, aby nowa całka po prawej stronie była łatwiejsza do obliczenia niż pierwotna całka po lewej stronie. Technika ta jest szczególnie przydatna, gdy mamy do czynienia z iloczynami funkcji, które nie mają prostych funkcji pierwotnych.

Historia częściowej integracji

Koncepcję całkowania przez części po raz pierwszy zaproponował słynny Brook Taylor w swojej książce z 1715 roku. Pisał on, że można znaleźć całkowanie iloczynu dwóch funkcji, których wzory na różniczkowanie istnieją. Niektóre ważne funkcje nie mają wzorów całkowych i ich całkowanie osiąga się poprzez całkowanie poprzez uwzględnienie ich jako iloczynu dwóch funkcji. Na przykład ∫ln x dx nie może zostać obliczone przy użyciu normalnych technik całkowania. Ale możemy to zintegrować, stosując technikę całkowania przez część i przyjmując to jako iloczyn dwóch funkcji, czyli ∫1.ln x dx.

Całkowanie według wzoru części

Formuła całkowania przez części to formuła, która pomaga nam osiągnąć integrację iloczynu dwóch lub więcej funkcji. Załóżmy, że musimy zintegrować iloczyn dwóch funkcji jako

∫u.v dx

gdzie u i v są funkcjami x, to można to osiągnąć za pomocą,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + do

Kolejność wyboru Pierwszej i Drugiej funkcji jest bardzo ważna, a koncepcją stosowaną w większości przypadków do znalezienia pierwszej i drugiej funkcji jest koncepcja ILATE.

Korzystając z powyższego wzoru i koncepcji ILATE, łatwo znajdziemy całkowanie iloczynu dwóch funkcji. Wzór całkowania przez części pokazano na poniższym obrazku,

Wyprowadzenie całkowania według wzoru na części

Całkowanie przez części Formuła jest wyprowadzana przy użyciu reguły iloczynu różniczkowania. Załóżmy, że mamy dwie funkcje W I W i x, to pochodną ich iloczynu uzyskuje się za pomocą wzoru,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Teraz wyprowadzimy wzór na całkowanie przez części, korzystając z reguły iloczynu różniczkowania.

Zmiana układu terminów

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Całkowanie obu stron względem x ,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

upraszczanie,

∫ u dv = uv – ∫ v du

W ten sposób wyprowadzany jest wzór na całkowanie przez części.

Zasada ILATE

Reguła ILATE mówi nam, jak wybrać pierwszą i drugą funkcję przy rozwiązywaniu całkowania iloczynu dwóch funkcji. Załóżmy, że mamy dwie funkcje x u i v i musimy znaleźć całkowanie ich iloczynu, następnie wybieramy pierwszą funkcję i regułę ILATE.

Pełny formularz ILATE omówiono na poniższym obrazku,

ILATE Zasada częściowego całkowania

Reguły ILATE podają nam hierarchię brania pierwszej funkcji, czyli jeśli w danym iloczynie funkcji jedna funkcja jest funkcją logarytmiczną, a druga funkcją trygonometryczną. Teraz bierzemy funkcję logarytmiczną jako pierwszą funkcję, ponieważ znajduje się ona powyżej w hierarchii reguły ILATE, podobnie wybieramy odpowiednio pierwszą i drugą funkcję.

usuń ostatni znak z ciągu

NOTATKA: Nie zawsze właściwe jest stosowanie reguły ILATE, czasami do znalezienia pierwszej i drugiej funkcji stosuje się także inne reguły.

Jak znaleźć całkowanie według części?

Całkowanie przez część służy do znajdowania całkowania iloczynu dwóch funkcji. Możemy to osiągnąć, wykonując kroki omówione poniżej,

Załóżmy, że musimy uprościć ∫uv dx

Krok 1: Wybierz pierwszą i drugą funkcję zgodnie z regułą ILATE. Załóżmy, że przyjmiemy u jako pierwszą funkcję, a v jako drugą funkcję.

Krok 2: Różniczkujemy u(x) względem x, czyli Oceń du/dx.

Krok 3: Całkuj v(x) względem x, czyli Oblicz ∫v dx.

Wyniki uzyskane w Kroku 1 i Kroku 2 wykorzystaj we wzorze,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Krok 4: Uprość powyższy wzór, aby uzyskać wymaganą integrację.

Powtarzane całkowanie przez części

Powtarzane całkowanie przez części jest rozszerzeniem techniki całkowania przez części w rachunku różniczkowym. Stosuje się go, gdy masz iloczyn funkcji, który wymaga wielokrotnego całkowania w celu znalezienia funkcji pierwotnej. Proces polega na iteracyjnym stosowaniu wzoru całkowania przez części, aż dojdziesz do punktu, w którym otrzymana całka będzie łatwa do oszacowania lub będzie miała znaną postać.

Stosując wielokrotnie ten wzór, należy zacząć od całki obejmującej iloczyn dwóch funkcji, a następnie zastosować całkowanie przez części, aby rozbić ją na prostsze całki. Następnie kontynuowałbyś ten proces na otrzymanych całekach, aż dojdziesz do punktu, w którym dalsze zastosowania nie będą konieczne lub w którym całki staną się łatwe do opanowania.

Oto przykład krok po kroku działania powtarzanego całkowania przez części:

1. Zacznij od całki z iloczynu dwóch funkcji: ∫ u dv.
2. Zastosuj wzór na całkowanie przez części, aby otrzymać: uv – ∫ v du.
3. Jeśli nowa całka otrzymana po prawej stronie nadal zawiera iloczyn funkcji, zastosuj ponownie całkowanie przez części, aby ją jeszcze bardziej rozbić.
4. Kontynuuj ten proces, aż otrzymasz prostszą całkę, którą można łatwo obliczyć lub taką, która pasuje do znanej postaci całki.

Całkowanie tabelaryczne według części

Integracja tabelaryczna, znana również jako metoda tabelaryczna lub metoda całkowania tabelarycznego, to alternatywna technika obliczania całek, która wymaga wielokrotnego stosowania całkowania przez części. Metoda ta jest szczególnie użyteczna w przypadku całek, gdzie iloczyn funkcji można całkować wielokrotnie, aby otrzymać prosty wynik.

Metoda tabelaryczna organizuje powtarzający się proces integracji według części w tabeli, ułatwiając śledzenie terminów i efektywnie upraszczając całkowanie. Oto jak działa metoda tabelaryczna:

1. Rozpocznij od zapisania funkcji związanych z całką w dwóch kolumnach: jedna dla funkcji różniczkującej (u), druga dla funkcji całkującej (dv).
   • Zacznij od funkcji całkowania (dv) w lewej kolumnie i funkcji różniczkowania (u) w prawej kolumnie.
2. Kontynuuj różniczkowanie funkcji w kolumnie u, aż osiągniesz zero lub stałą. Na każdym kroku integruj funkcję w kolumnie dv, aż dojdziesz do punktu, w którym dalsza integracja nie jest konieczna.
3. Pomnóż wyrazy po przekątnej i zamień znaki (+ i -) dla każdego wyrazu. Zsumuj te iloczyny, aby znaleźć wynik integracji.

Oto przykład ilustrujący tabelaryczna metoda integracji :

Obliczmy całkę ∫x sin(x) dx.

• Krok 1: Utwórz tabelę z dwiema kolumnami dla u (funkcja różnicująca) i dv (funkcja całkująca):

• Krok 2: Różniczkuj funkcję w kolumnie u i całkuj funkcję w kolumnie dv:

• Krok 3: Pomnóż wyrazy po przekątnej i zamień znaki:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

pawandeep rajan

Zatem wynik całki ∫x sin(x) dx wynosi -x cos(x) + grzech(x).

Metoda całkowania tabelarycznego jest szczególnie przydatna w przypadku całek obejmujących funkcje, które powtarzają się po różniczkowaniu lub całkowaniu, umożliwiając systematyczne i zorganizowane podejście do znajdowania funkcji pierwotnej.

Zastosowania całkowania przez części

Całkowanie przez części ma różne zastosowania w rachunku całkowym. Służy do znajdowania całkowania funkcji tam, gdzie zawodzą normalne techniki całkowania. Całkowanie funkcji odwrotnych i logarytmicznych można łatwo znaleźć, korzystając z koncepcji całkowania przez części.

Całkowanie funkcji logarytmicznej i funkcji Arctan znajdziemy za pomocą reguły całkowania przez część,

Całkowanie funkcji logarytmicznej (log x)

Całkowanie odwrotnej funkcji logarytmicznej (log x) osiąga się za pomocą wzoru całkowania przez część. Integrację omówiono poniżej,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Biorąc log x jako pierwszą funkcję i 1 jako drugą funkcję.

Używając ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Jaka jest wymagana całka funkcji logarytmicznej.

Całkowanie odwrotnej funkcji trygonometrycznej (tan^-1X)

Całkowanie odwrotnej funkcji trygonometrycznej (tan^-1x) osiąga się za pomocą wzoru całkowania przez części. Integrację omówiono poniżej,

∫ tak^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Opalanie się^-1x jako pierwszą funkcję i 1 jako drugą funkcję.

Używając ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫opalony^-1x.1.dx = tan^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫opalony^-1x.1.dx = tan^-1X. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫opalony^-1x.1.dx = x. Więc^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫opalony^-1x.dx = x. Więc^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Która jest wymaganą całką odwrotnej funkcji trygonometrycznej.

Zastosowania częściowej integracji w życiu codziennym

Niektóre z typowych zastosowań częściowej integracji w życiu codziennym to:

wysokość przesunięcia

• Znajdowanie funkcji pierwotnych
  • W inżynierii i fizyce całkowanie częściowe służy do znajdowania funkcji pierwotnych funkcji reprezentujących wielkości fizyczne. Na przykład w mechanice służy do wyprowadzania równań ruchu z równań siły i przyspieszenia.
• Produkt Wallisa
  • Iloczyn Wallisa, nieskończona reprezentacja iloczynu pi, można wyprowadzić za pomocą technik częściowego całkowania. Ten produkt ma zastosowania w takich dziedzinach, jak teoria liczb, teoria prawdopodobieństwa i przetwarzanie sygnałów.
• Tożsamość funkcji gamma
  • Funkcja gamma, która rozszerza funkcję silni na liczby zespolone, ma różne zastosowania w matematyce, fizyce i inżynierii. Całkowanie częściowe służy do udowadniania tożsamości obejmujących funkcję gamma, które są kluczowe w takich dziedzinach, jak teoria prawdopodobieństwa, mechanika statystyczna i mechanika kwantowa.
• Zastosowanie w analizie harmonicznej
  • Całkowanie częściowe odgrywa znaczącą rolę w analizie harmonicznej, szczególnie w analizie Fouriera. Służy do wyprowadzania właściwości transformat Fouriera, takich jak twierdzenie o splocie i właściwości szeregu Fouriera. Wyniki te znajdują zastosowanie w takich dziedzinach, jak przetwarzanie sygnałów, analiza obrazu i telekomunikacja.

Całkowanie według wzorów części

Całkowanie różnych funkcji możemy uzyskać, korzystając z koncepcji całkowania przez części. Niektóre z ważnych wzorów uzyskanych przy użyciu tej techniki to

• ∫ i^X(f(x) + f'(x)).dx = e^Xf(x) + C
• ∫√(x²+ za²).dx = ½ . x.√(x²+ za²) + a²/2. log|x + √(x²+ za²)| + C
• ∫√(x²- A²).dx =½ . x.√(x²- A²) - A²/2. log|x +√(x²- A²) | C
• ∫√(a²- X²).dx = ½ . x.√(a²- X²) + a²/2. bez^-1x/a + C

Integracja według przykładów części

Przykład 1: Znajdź ∫ e ^X x dx.

Rozwiązanie:

Niech I = ∫ mi^Xx dx

Wybór u i v przy użyciu reguły ILATE

ty = x
v = mi^X

Różnicowanie ciebie

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^Xdx = mi^X

Korzystając ze wzoru całkowania przez części,

⇒ ja = ∫ mi^Xx dx

⇒ ja = x ∫e^Xdx − ∫1 (∫ mi^Xdx) dx

⇒ Ja = xe^X- i^X+ C

⇒ ja = np^X(x - 1) + C

Przykład 2: Oblicz ∫ x sin x dx.

Rozwiązanie:

Niech I = ∫ x sin x dx

Wybór u i v przy użyciu reguły ILATE

ty = x
v = grzech x

Różnicowanie ciebie

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Korzystając ze wzoru całkowania przez części,

⇒ ja = ∫ x grzech x dx

⇒ ja = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ ja = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ ja = − x cos x + grzech x + C

Przykład 3: Znajdź ∫ grzech ⁻¹ x dx.

Rozwiązanie:

Niech Ja= ∫ grzeszę⁻¹x dx

⇒ ja = ∫ 1. grzech⁻¹x dx

Wybór u i v przy użyciu reguły ILATE

ty = grzech⁻¹X
v = 1

Różnicowanie ciebie

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(grzech⁻¹x)/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 - x²)

Korzystając ze wzoru całkowania przez części,

⇒ ja = ∫ grzech⁻¹x dx

⇒ Ja = bez⁻¹x ∫ 1 dx – ∫ 1/√(1 – x²) ∫(1 dx) dx

⇒ Ja = x grzech⁻¹x - ∫( x/√(1 - x²) )dx

Niech, t = 1 - x²

Różnicowanie obu stron

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ ja = ∫ grzech⁻¹x dx = x grzech⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ Ja = x grzech⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ Ja = x grzech⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ Ja = x grzech⁻¹x + √(1 - x²) + C

częściowe uzależnienie

Ćwicz problemy z całkowaniem przez części

1. Zintegruj xe ^X

2. Całkuj x sin(x)

3. Zintegruj x ² ln(x)

4. Zintegruj np ^X cos(x)

5. Całkuj ln(x)

Często zadawane pytania dotyczące integracji przez części

Co to jest całkowanie przez części?

Całkowanie przez części to technika znajdowania całkowania iloczynu dwóch funkcji tam, gdzie zawodzą normalne techniki całkowania. Całkowanie według wzoru na część to,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + do

Co to jest wzór na całkowanie przez części?

Dla dwóch funkcji f(x) i g(x) wzór na całkowanie przez części wygląda następująco:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + do

Gdzie f'(x) jest różniczkowaniem f(x).

Jak wyprowadzić całkowanie przez wzór na części?

Całkowanie według wzoru częściowego wyprowadza się przy użyciu reguły iloczynu różniczkowania.

Dlaczego używamy wzoru całkowania przez części?

Całkowanie przez wzór częściowy służy do znajdowania całkowania funkcji, gdy zawodzą normalne techniki różnicowania. Całkowanie odwrotnych funkcji trygonometrycznych i funkcji logarytmicznych możemy znaleźć, korzystając ze wzoru na całkowanie przez części

Jakie jest zastosowanie całkowania przez części?

Całkowanie przez część ma różne zastosowania, a podstawowym zastosowaniem jest to, że służy do znalezienia całkowania funkcji, gdy funkcja jest podana jako iloczyn funkcji, których nie można dalej uprościć. Na przykład ∫ f(x).g(x) dx osiąga się poprzez całkowanie przez części.