W matematyce sumowanie to podstawowe dodawanie ciągu dowolnych liczb, zwane dodawaniem lub sumowaniem; wynikiem jest ich suma lub suma. W matematyce liczby, funkcje, wektory, macierze, wielomiany i ogólnie elementy dowolnego obiektu matematycznego można powiązać z operacją zwaną dodawaniem/sumowaniem, oznaczaną jako +.

Sumowanie jawnej sekwencji oznacza się jako ciąg dodatków. Na przykład sumowanie (1, 3, 4, 7) może opierać się na 1 + 3 + 4 + 7, a wynikiem dla powyższego zapisu jest 15, czyli 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Ponieważ operacja dodawania jest zarówno łączna, jak i przemienna, nie ma potrzeby stosowania nawiasów podczas wypisywania serii/sekwencji, a wynik będzie taki sam niezależnie od kolejności sum.

Spis treści

• Co to jest formuła podsumowująca?
• Gdzie stosować formułę podsumowującą?
• Właściwości sumowania
• Standardowe formuły podsumowujące
• Przykład dotyczący wzoru sumującego
• Często zadawane pytania dotyczące formuły podsumowania

Co to jest formuła podsumowująca?

Notacja sumacyjna lub notacja sigma (∑) to metoda używana do zapisywania długich sum w zwięzły sposób. Zapis ten można dołączyć do dowolnej formuły lub funkcji.

Na przykład, _ja=1 ∑ ¹⁰(i) jest zapisem sigma dodawania skończonego ciągu 1 + 2 + 3 + 4… + 10, gdzie pierwszy element to 1, a ostatni element to 10.

Formuły podsumowujące

Gdzie stosować formułę podsumowującą?

Notację sumacyjną można stosować w różnych dziedzinach matematyki:

• Sekwencja w serii
• Integracja
• Prawdopodobieństwo
• Permutacja i kombinacja
• Statystyka

Notatka: Sumowanie to krótka forma powtarzalnego dodawania. Sumowanie możemy również zastąpić pętlą dodawania.

Właściwości sumowania

Właściwość 1

_ja=1 ∑ ^Ndo = do + do + do +…. + do (n) razy = nc

Na przykład: Znajdź wartość_ja=1 ∑ ⁴C.

Korzystając z właściwości 1, możemy bezpośrednio obliczyć wartość_ja=1 ∑ ⁴c jako 4×c = 4c.

Własność 2

_c=1 ∑ ^Nkc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n)…. (n) razy = k × (1 + … + n) = k_c=1 ∑ ^NC

Na przykład: Znajdź wartość_ja=1 ∑ ⁴5i.

pvr pełna forma

Korzystając z właściwości 2 i 1, możemy bezpośrednio obliczyć wartość_{ja= 1} ∑ ⁴5i jako 5×_ja=1 ∑ ⁴ja = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Własność 3

_c=1 ∑ ^N(k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n)…. (n) razy = (n × k) + (1 + … + n) = nk +_c=1 ∑ ^NC

Na przykład: Znajdź wartość_ja=1∑⁴(5+i).

Korzystając z właściwości 2 i 3, możemy bezpośrednio obliczyć wartość_ja=1 ∑ ⁴(5+i) jako 5×4+_ja=1 ∑ ⁴ja = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

Właściwość 4

_k=1 ∑ ^N(f(k) + g(k)) =_k=1 ∑ ^Nf(k) +_k=1 ∑ ^Ng(k)

Na przykład: Znajdź wartość_ja=1∑⁴(ja + ja²).

Korzystając z właściwości 4, możemy bezpośrednio obliczyć wartość_ja=1 ∑ ⁴(ja + ja²) Jak_ja=1 ∑ ⁴ja +_ja=1 ∑ ⁴I²= (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Standardowe formuły podsumowujące

Różne formuły podsumowujące to:

Suma pierwszych n liczb naturalnych: (1+2+3+…+n) =_ja=1 ∑ ^N(i) = [n × (n +1)]/2

Suma kwadratów pierwszych n liczb naturalnych: (1²+2²+3²+…+n²) =_ja=1 ∑ ^N(I²) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6

Suma sześcianów pierwszych n liczb naturalnych: (1³+2³+3³+…+n³) =_ja=1 ∑ ^N(I³) = [rzecz²×(n +1)²)]/4

Suma pierwszych n parzystych liczb naturalnych: (2+4+…+2n) =_ja=1 ∑ ^N(2i) = [n ×(n +1)]

Suma pierwszych n nieparzystych liczb naturalnych: (1+3+…+2n-1) =_ja=1 ∑ ^N(2i-1) = n²

Suma kwadratów pierwszych n parzystych liczb naturalnych: (2²+4²+…+(2n)²) =_ja=1 ∑ ^N(2i)²= [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Suma kwadratów pierwszych n nieparzystych liczb naturalnych: (1²+3²+…+(2n-1)²) =_ja=1 ∑ ^N(2i-1)²= [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Suma sześcianów pierwszych n parzystych liczb naturalnych: (2³+4³+…+(2n)3) =_ja=1 ∑ ^N(2i)³= 2[n(n+1)]²

Suma sześcianów pierwszych n nieparzystych liczb naturalnych: (1³+3³+…+(2n-1)³) =_ja=1 ∑ ^N(2i-1)³= rz²(2n²- 1)

Powiązane artykuły:

• Suma liczb naturalnych
• Suma w matematyce
• Działania arytmetyczne
• Postęp arytmetyczny i postęp geometryczny

Przykład dotyczący wzoru sumującego

Przykład 1: Znajdź sumę pierwszych 10 liczb naturalnych, korzystając ze wzoru na sumowanie.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na sumę n liczby naturalnej_ja=1∑^N(i) = [n × (n +1)]/2

ciąg Java do int

Mamy sumę pierwszych 10 liczb naturalnych =_ja=1∑¹⁰(i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Przykład 2: Znajdź sumę 10 pierwszych liczb naturalnych większych niż 5, korzystając ze wzoru na sumowanie.

Rozwiązanie:

Zgodnie z pytaniem:

Suma 10 pierwszych liczb naturalnych większych od 5 =_ja=6∑^piętnaście(I)

=_ja=1∑^piętnaście(I) -_ja=1∑⁵(I)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Przykład 3: Znajdź sumę danego ciągu skończonego 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

Rozwiązanie:

połącz się z bazą danych Java

Podany ciąg to 1²+ 2²+ 3²+…8², można to zapisać jako_ja=1∑⁸I²korzystając z własności/formuły sumowania

_ja=1∑⁸I²= [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Przykład 4: Uprość _c=1 ∑ ^N kc.

Rozwiązanie:

Biorąc pod uwagę wzór sumowania =_c=1∑^Nkc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n terminów)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1∑^Nkc = k _c=1 ∑ ^N C

Przykład 5: Uprość i oceń x ₌₁ ∑ ^N (4+x).

Rozwiązanie:

Dane podsumowanie jest_x=1∑^N(4+x)

Jak to wiemy_c=1∑^N(k+c) = nk +_c=1∑^NC

Dane sumowanie można uprościć jako:

wiek Kylie Jenner

4n+ _x=1 ∑ ^N (X)

Przykład 6: Uprość _x=1 ∑ ^N (2x+x ² ).

Rozwiązanie:

Dane podsumowanie jest_x=1∑^N(2x+x²).

jak to wiemy_k=1∑^N(f(k) + g(k)) =_k=1∑^Nf(k) +_k=1∑^Ng(k)

dane sumowanie można uprościć jako _x=1 ∑ ^N (2x) + _x=1 ∑ ^N (X ² ).

Często zadawane pytania dotyczące formuły podsumowania

Co to jest wzór na sumowanie liczb naturalnych?

Sumę liczb naturalnych od 1 do n oblicza się za pomocą wzoru n (n + 1) / 2. Na przykład suma pierwszych 100 liczb naturalnych wynosi 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Co to jest ogólny wzór sumowania?

Ogólny wzór na sumowanie używany do znajdowania sumy ciągu {a₁, A₂, A₃,…,A_N} Jest, ∑a _I = za ₁ + za ₂ + za ₃ + … + za _N

Jak używać ∑?

∑ jest symbolem sumowania i służy do znajdowania sumy szeregów.

Jaki jest wzór na sumowanie n?

Wzór na sumę n liczb naturalnych to: Wzór na sumę n liczb to [n(n+1)2]