Sortowanie topologiczne dla Skierowany graf acykliczny (DAG) jest liniowym uporządkowaniem wierzchołków takim, że dla każdej skierowanej krawędzi u-v, wierzchołek W przychodzi wcześniej W w zamówieniu.
Notatka: Sortowanie topologiczne grafu nie jest możliwe, jeśli graf nie jest a DZIEŃ .
Przykład:
Zalecana praktykaRozwiązanie oparte na systemie DFS umożliwiające znalezienie sortowania topologicznego zostało już omówione.Wejście: Wykres:
inaczej, jeśli JavaPrzykład
Wyjście: 5 4 2 3 1 0
Wyjaśnienie: Pierwszym wierzchołkiem w sortowaniu topologicznym jest zawsze wierzchołek o stopniu wejściowym równym 0 (wierzchołek bez krawędzi przychodzących). Sortowanie topologiczne poniższego grafu to 5 4 2 3 1 0. Dla grafu może istnieć więcej niż jedno sortowanie topologiczne. Innym sortowaniem topologicznym poniższego wykresu jest 4 5 2 3 1 0.
Porządek topologiczny może nie być unikalny:
Sortowanie topologiczne jest problemem zależności, w którym wykonanie jednego zadania zależy od wykonania kilku innych zadań, których kolejność może być różna. Wyjaśnijmy tę koncepcję na przykładzie:
Załóżmy, że naszym zadaniem jest dotarcie do naszej Szkoły i żeby tam dotrzeć, musimy się najpierw ubrać. Zależności w noszeniu ubrań obrazuje poniższy wykres zależności. Na przykład nie można założyć butów przed założeniem skarpetek.
Z powyższego zdjęcia już zdałeś sobie sprawę, że istnieje wiele sposobów na ubieranie się. Poniższy obrazek przedstawia niektóre z tych sposobów.
Czy możesz wymienić cały możliwy porządek topologiczny ubierania się zgodnie z powyższym wykresem zależności?
ciąg znaków w C++
Algorytm sortowania topologicznego przy użyciu DFS:
Oto algorytm krok po kroku sortowania topologicznego przy użyciu wyszukiwania w głąb (DFS):
- Utwórz wykres za pomocą N wierzchołki i M -kierowane krawędzie.
- Zainicjuj stos i odwiedzaną tablicę rozmiaru N .
- Dla każdego nieodwiedzonego wierzchołka grafu wykonaj następujące czynności:
- Wywołaj funkcję DFS z wierzchołkiem jako parametrem.
- W funkcji DFS zaznacz wierzchołek jako odwiedzony i rekurencyjnie wywołaj funkcję DFS dla wszystkich nieodwiedzonych sąsiadów wierzchołka.
- Po odwiedzeniu wszystkich sąsiadów wsuń wierzchołek na stos.
- Po odwiedzeniu wierzchołków usuń elementy ze stosu i dołącz je do listy wyjściowej, aż stos będzie pusty.
- Wynikowa lista jest topologicznie posortowanym porządkiem wykresu.
Ilustracja algorytmu sortowania topologicznego:
Poniższy obraz jest ilustracją powyższego podejścia:

Ogólny przebieg sortowania topologicznego
Krok 1:
- Rozpoczynamy DFS od węzła 0, ponieważ nie ma on żadnych węzłów przychodzących
- Wrzucamy węzeł 0 na stos i przechodzimy do następnego węzła posiadającego minimalną liczbę sąsiadujących węzłów, czyli węzła 1.
Krok 2:
- W tym kroku, ponieważ nie ma sąsiada z tym węzłem, włóż węzeł 1 na stos i przejdź do następnego węzła.
Krok 3:
- W tym kroku wybieramy węzeł 2, ponieważ ma on minimalną liczbę sąsiadujących węzłów po 0 i 1.
- Wywołujemy DFS dla węzła 2 i wypychamy wszystkie węzły przechodzące z węzła 2 w odwrotnej kolejności.
- Więc naciśnij 3, a następnie naciśnij 2.
Krok 4:
- Wywołujemy teraz DFS dla węzła 4
- Ponieważ 0 i 1 są już obecne na stosie, po prostu wpychamy węzeł 4 na stos i wracamy.
Krok 5:
- W tym kroku, ponieważ wszystkie sąsiednie węzły 5 znajdują się już na stosie, wpychamy węzeł 5 na stos i wracamy.
Krok 6: To ostatni krok sortowania topologicznego, w którym zdejmujemy wszystkie elementy ze stosu i drukujemy je w tej kolejności.
Poniżej implementacja powyższego podejścia:
C++ #include using namespace std; // Function to perform DFS and topological sorting void topologicalSortUtil(int v, vector>& przym., wektor & odwiedził, stos & Stack) { // Oznacz bieżący węzeł jako odwiedzony [v] = true; // Powtórz dla wszystkich sąsiednich wierzchołków for (int i: adj[v]) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, odwiedził, Stack); } // Prześlij bieżący wierzchołek na stos, który przechowuje wynik Stack.push(v); } // Funkcja wykonująca sortowanie topologiczne void topologicalSort(vector>& adj, int V) { stos Stos; // Stos do przechowywania wektora wynikowego odwiedził(V, fałsz); // Wywołanie rekursywnej funkcji pomocniczej do przechowywania // Sortowanie topologiczne rozpoczynające się od wszystkich wierzchołków jeden po drugim // jeden dla (int i = 0; i< V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, Stack); } // Print contents of stack while (!Stack.empty()) { cout << Stack.top() << ' '; Stack.pop(); } } int main() { // Number of nodes int V = 4; // Edges vector> krawędzie = { { 0, 1 }, { 1, 2 }, { 3, 1 }, { 3, 2 } }; // Wykres reprezentowany jako wektor listy sąsiedztwa> przym(V); for (auto i: krawędzie) { adj[i[0]].push_back(i[1]); } cout<< 'Topological sorting of the graph: '; topologicalSort(adj, V); return 0; }>
Jawa import java.util.*; public class TopologicalSort { // Function to perform DFS and topological sorting static void topologicalSortUtil(int v, List> adj, boolean[] odwiedzone, Stos stos) { // Oznacz bieżący węzeł jako odwiedzony[v] = true; // Powtórz dla wszystkich sąsiednich wierzchołków for (int i : adj.get(v)) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, odwiedził, stos); } // Prześlij bieżący wierzchołek na stos, który przechowuje // wynikowy stos.push(v); } // Funkcja wykonująca sortowanie topologiczne static void topologicalSort(List> adj, int V) { // Stos do przechowywania wyniku Stack stos = nowy stos(); wartość logiczna[] odwiedzona = nowa wartość logiczna[V]; // Wywołanie rekursywnej funkcji pomocniczej do przechowywania // Sortowanie topologiczne rozpoczynające się od wszystkich wierzchołków jeden // jeden po drugim for (int i = 0; i< V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack System.out.print( 'Topological sorting of the graph: '); while (!stack.empty()) { System.out.print(stack.pop() + ' '); } } // Driver code public static void main(String[] args) { // Number of nodes int V = 4; // Edges List> krawędzie = nowa ArrayList(); krawędzie.add(Arrays.asList(0, 1)); krawędzie.add(Arrays.asList(1, 2)); krawędzie.add(Arrays.asList(3, 1)); krawędzie.add(Arrays.asList(3, 2)); // Wykres reprezentowany jako lista sąsiedztwa Lista> adj = nowa ArrayList(V); for (int i = 0; tj< V; i++) { adj.add(new ArrayList()); } for (List i : krawędzie) { adj.get(i.get(0)).add(i.get(1)); } sortowanie topologiczne(adj, V); } }>
Python3 def topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack): # Mark the current node as visited visited[v] = True # Recur for all adjacent vertices for i in adj[v]: if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Push current vertex to stack which stores the result stack.append(v) # Function to perform Topological Sort def topologicalSort(adj, V): # Stack to store the result stack = [] visited = [False] * V # Call the recursive helper function to store # Topological Sort starting from all vertices one by # one for i in range(V): if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Print contents of stack print('Topological sorting of the graph:', end=' ') while stack: print(stack.pop(), end=' ') # Driver code if __name__ == '__main__': # Number of nodes V = 4 # Edges edges = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]] # Graph represented as an adjacency list adj = [[] for _ in range(V)] for i in edges: adj[i[0]].append(i[1]) topologicalSort(adj, V)>
C# using System; using System.Collections.Generic; class Program { // Function to perform DFS and topological sorting static void TopologicalSortUtil(int v, List> adj, bool[] odwiedził, Stos stos) { // Oznacz bieżący węzeł jako odwiedzony[v] = true; // Powtórz dla wszystkich sąsiednich wierzchołków foreach(int i in adj[v]) { if (!visited[i]) TopologicalSortUtil(i, adj, odwiedzone, stos); } // Prześlij bieżący wierzchołek na stos, który przechowuje // stos wyników.Push(v); } // Funkcja wykonująca sortowanie topologiczne static void TopologicalSort(List> adj, int V) { // Stos do przechowywania wyniku Stack stos = nowy stos (); bool[] odwiedzono = nowy bool[V]; // Wywołanie rekursywnej funkcji pomocniczej do przechowywania // Sortowanie topologiczne rozpoczynające się od wszystkich wierzchołków jeden // jeden po drugim for (int i = 0; i< V; i++) { if (!visited[i]) TopologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack Console.Write('Topological sorting of the graph: '); while (stack.Count>0) { Console.Write(stack.Pop() + ' '); } } // Kod sterownika static void Main(string[] args) { // Liczba węzłów int V = 4; // Lista krawędzi> krawędzie = nowa lista>{nowa lista { 0, 1 }, nowa lista { 1, 2 }, nowa lista { 3, 1 }, nowa lista { 3, 2 } }; // Wykres reprezentowany jako lista sąsiedztwa Lista> adj = nowa lista>(); for (int i = 0; tj< V; i++) { adj.Add(new List ()); } foreach(Lista i na krawędziach) { adj[i[0]].Add(i[1]); } Sortowanie topologiczne(adj, V); } }>
JavaScript // Function to perform DFS and topological sorting function topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack) { // Mark the current node as visited visited[v] = true; // Recur for all adjacent vertices for (let i of adj[v]) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Push current vertex to stack which stores the result stack.push(v); } // Function to perform Topological Sort function topologicalSort(adj, V) { // Stack to store the result let stack = []; let visited = new Array(V).fill(false); // Call the recursive helper function to store // Topological Sort starting from all vertices one by // one for (let i = 0; i < V; i++) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack); } // Print contents of stack console.log('Topological sorting of the graph: '); while (stack.length>0) { console.log(stack.pop() + ' '); } } // Kod sterownika (() => { // Liczba węzłów const V = 4; // Krawędzie const krawędzie = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]]; // Wykres reprezentowany jako lista sąsiedztwa const adj = Array.from({ długość: V }, () => []); for (let i krawędzi) { adj[i[0]].push (i[1]); Sortowanie topologiczne(adj, V })();>
Wyjście
Topological sorting of the graph: 3 0 1 2>
Złożoność czasowa: O(V+E). Powyższy algorytm to po prostu DFS z dodatkowym stosem. Zatem złożoność czasowa jest taka sama jak DFS
Przestrzeń pomocnicza: O(V). Dodatkowa przestrzeń jest potrzebna na stos
Sortowanie topologiczne przy użyciu BFS:
supwC++
#include #include #include using namespace std; // Class to represent a graph class Graph { int V; // No. of vertices list * przym.; // Wskaźnik do tablicy zawierającej // listy sąsiedztwa public: Graph(int V); // Konstruktor void addEdge(int v, int w); // Funkcja dodająca krawędź do wykresu void topologicalSort(); // drukuje sortowanie topologiczne // całego wykresu }; Graph::Graph(int V) { this->V = V; adj = nowa lista [V]; } void Graph::addEdge(int v, int w) { adj[v].push_back(w); // Dodaj w do listy v. } // Funkcja wykonująca sortowanie topologiczne void Graph::topologicalSort() { // Utwórz wektor do przechowywania wektorów stopni wszystkich wierzchołków in_stopień(V, 0); // Przemierzaj listy sąsiedztwa, aby wypełnić stopień // wierzchołków dla (int v = 0; v< V; ++v) { for (auto const& w : adj[v]) in_degree[w]++; } // Create a queue and enqueue all vertices with // in-degree 0 queue Q; for (int i = 0; tj< V; ++i) { if (in_degree[i] == 0) q.push(i); } // Initialize count of visited vertices int count = 0; // Create a vector to store topological order vector górny_porządek; // Jeden po drugim usuwaj wierzchołki z kolejki i umieszczaj w kolejce // sąsiednie wierzchołki, jeśli stopień przylegania wynosi 0 while (!q.empty()) { // Wyodrębnij początek kolejki (lub wykonaj usuwanie z kolejki) // i dodaj go do porządek topologiczny int u = q.front(); q.pop(); top_order.push_back(u); // Iteruj przez wszystkie sąsiednie węzły // usuniętego z kolejki węzła u i zmniejsz ich stopień // o 1 listę ::iterator itr; for (itr = adj[u].begin(); itr != adj[u].end(); ++itr) // Jeśli stopień-in wynosi zero, dodaj go do kolejki if (--in_stopień[*itr ] == 0) q.push(*itr); liczyć++; } // Sprawdź, czy był cykl if (count != V) { cout<< 'Graph contains cycle
'; return; } // Print topological order for (int i : top_order) cout << i << ' '; } // Driver code int main() { // Create a graph given in the above diagram Graph g(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); cout << 'Following is a Topological Sort of the given ' 'graph
'; g.topologicalSort(); return 0; }>
Jawa import java.util.ArrayList; import java.util.LinkedList; import java.util.Queue; // Class to represent a graph class Graph { private int V; // No. of vertices private ArrayList [] przym.; // Lista sąsiedztwa // reprezentacja // wykresu // Konstruktor Graph(int V) { this.V = V; adj = nowa ArrayList[V]; for (int i = 0; tj< V; ++i) adj[i] = new ArrayList(); } // Function to add an edge to the graph void addEdge(int v, int w) { adj[v].add(w); // Add w to v’s list. } // Function to perform Topological Sort void topologicalSort() { // Create an array to store in-degree of all // vertices int[] inDegree = new int[V]; // Calculate in-degree of each vertex for (int v = 0; v < V; ++v) { for (int w : adj[v]) { inDegree[w]++; } } // Create a queue and enqueue all vertices with // in-degree 0 Queue q = nowa lista połączona(); for (int i = 0; tj< V; ++i) { if (inDegree[i] == 0) q.add(i); } // Initialize count of visited vertices int count = 0; // Create an ArrayList to store topological order ArrayList topOrder = nowa ArrayList(); // Jeden po drugim usuwaj wierzchołki z kolejki i // umieszczaj w kolejce sąsiednie wierzchołki, jeśli stopień // przylegania osiągnie 0 while (!q.isEmpty()) { // Wyodrębnij początek kolejki i dodaj go do // porządku topologicznego int u = q.poll(); topOrder.add(u); liczyć++; // Wykonaj iterację przez wszystkie sąsiednie węzły // usuniętego z kolejki węzła u i zmniejsz ich stopień // o 1 for (int w : adj[u]) { // Jeśli stopień wejścia wyniesie zero, dodaj go do // kolejki if (--inDegree[w] == 0) q.add(w); } } // Sprawdź, czy wystąpił cykl if (count != V) { System.out.println('Wykres zawiera cykl'); powrót; } // Wydrukuj porządek topologiczny dla (int i : topOrder) System.out.print(i + ' '); } } // Kod sterownika public class Main { public static void main(String[] args) { // Utwórz wykres przedstawiony na powyższym diagramie Graph g = new Graph(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); System.out.println( 'Poniżej znajduje się sortowanie topologiczne danego wykresu'); g.Sortowanie topologiczne(); } }>
Python3 from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self, vertices): # Number of vertices self.V = vertices # Dictionary to store adjacency lists self.adj = defaultdict(list) def addEdge(self, u, v): # Function to add an edge to the graph self.adj[u].append(v) def topologicalSort(self): # Function to perform Topological Sort # Create a list to store in-degree of all vertices in_degree = [0] * self.V # Traverse adjacency lists to fill in_degree of vertices for i in range(self.V): for j in self.adj[i]: in_degree[j] += 1 # Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0 q = [] for i in range(self.V): if in_degree[i] == 0: q.append(i) # Initialize count of visited vertices count = 0 # Create a list to store topological order top_order = [] # One by one dequeue vertices from queue and enqueue # adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0 while q: # Extract front of queue (or perform dequeue) # and add it to topological order u = q.pop(0) top_order.append(u) # Iterate through all its neighbouring nodes # of dequeued node u and decrease their in-degree # by 1 for node in self.adj[u]: # If in-degree becomes zero, add it to queue in_degree[node] -= 1 if in_degree[node] == 0: q.append(node) count += 1 # Check if there was a cycle if count != self.V: print('Graph contains cycle') return # Print topological order print('Topological Sort:', top_order) # Driver code if __name__ == '__main__': # Create a graph given in the above diagram g = Graph(6) g.addEdge(5, 2) g.addEdge(5, 0) g.addEdge(4, 0) g.addEdge(4, 1) g.addEdge(2, 3) g.addEdge(3, 1) print('Following is a Topological Sort of the given graph') g.topologicalSort()>
JavaScript // Class to represent a graph class Graph { constructor(V) { this.V = V; // No. of vertices this.adj = new Array(V); // Array containing adjacency lists for (let i = 0; i < V; i++) { this.adj[i] = []; } } // Function to add an edge to the graph addEdge(v, w) { this.adj[v].push(w); // Add w to v’s list. } // Function to perform Topological Sort topologicalSort() { // Create a array to store in-degree of all vertices let inDegree = new Array(this.V).fill(0); // Traverse adjacency lists to fill inDegree of vertices for (let v = 0; v < this.V; v++) { for (let w of this.adj[v]) { inDegree[w]++; } } // Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0 let queue = []; for (let i = 0; i < this.V; i++) { if (inDegree[i] === 0) { queue.push(i); } } // Initialize count of visited vertices let count = 0; // Create an array to store topological order let topOrder = []; // One by one dequeue vertices from queue and enqueue // adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0 while (queue.length !== 0) { // Extract front of queue and add it to topological order let u = queue.shift(); topOrder.push(u); // Iterate through all its neighboring nodes // of dequeued node u and decrease their in-degree by 1 for (let w of this.adj[u]) { // If in-degree becomes zero, add it to queue if (--inDegree[w] === 0) { queue.push(w); } } count++; } // Check if there was a cycle if (count !== this.V) { console.log('Graph contains cycle'); return; } // Print topological order console.log('Topological Sort of the given graph:'); console.log(topOrder.join(' ')); } } // Driver code // Create a graph given in the above diagram let g = new Graph(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); console.log('Following is a Topological Sort of the given graph:'); g.topologicalSort(); //This code is contributed by Utkarsh>
Wyjście
Following is a Topological Sort of the given graph 4 5 2 0 3 1>
Złożoność czasowa:
Złożoność czasowa konstrukcji grafu wynosi O(V + E), gdzie V to liczba wierzchołków, a E to liczba krawędzi.
stała Java
Złożoność czasowa sortowania topologicznego przy użyciu BFS wynosi również O(V + E), gdzie V to liczba wierzchołków, a E to liczba krawędzi. Dzieje się tak, ponieważ każdy wierzchołek i każda krawędź są odwiedzane raz podczas przejścia BFS.
Złożoność przestrzeni:
Złożoność przestrzenna przechowywania grafu przy użyciu listy sąsiedztwa wynosi O (V + E), gdzie V to liczba wierzchołków, a E to liczba krawędzi.
Dodatkowa przestrzeń jest wykorzystywana do przechowywania stopnia wierzchołków, co wymaga przestrzeni O(V).
Do przechodzenia przez BFS używana jest kolejka, która może zawierać co najwyżej V wierzchołków. Zatem złożoność przestrzenna kolejki wynosi O (V).
Ogólnie rzecz biorąc, złożoność przestrzenna algorytmu wynosi O (V + E) ze względu na przechowywanie wykresu, tablicy stopni i kolejki.
Podsumowując, złożoność czasowa dostarczonej implementacji wynosi O(V + E), a złożoność przestrzenna również O(V + E).
Notatka: Tutaj możemy również użyć tablicy zamiast stosu. Jeśli używana jest tablica, wydrukuj elementy w odwrotnej kolejności, aby uzyskać sortowanie topologiczne.
Zalety sortowania topologicznego:
- Pomaga w planowaniu zadań lub wydarzeń w oparciu o zależności.
- Wykrywa cykle na grafie skierowanym.
- Skuteczne w rozwiązywaniu problemów z ograniczeniami pierwszeństwa.
Wady sortowania topologicznego:
- Ma zastosowanie wyłącznie do skierowanych grafów acyklicznych (DAG), nie nadaje się do grafów cyklicznych.
- Może nie być unikalny, może istnieć wiele prawidłowych porządków topologicznych.
- Nieefektywne w przypadku dużych grafów z wieloma węzłami i krawędziami.
Zastosowania sortowania topologicznego:
- Planowanie zadań i zarządzanie projektami.
- Rozwiązywanie zależności w systemach zarządzania pakietami.
- Ustalanie kolejności kompilacji w systemach budowy oprogramowania.
- Wykrywanie zakleszczeń w systemach operacyjnych.
- Plan zajęć na uniwersytetach.
Powiązane artykuły:
- Algorytm Kahna do sortowania topologicznego
- Wszystkie rodzaje topologiczne skierowanego grafu acyklicznego