Tożsamości trygonometryczne to różne tożsamości używane do upraszczania różnych złożonych równań obejmujących funkcje trygonometryczne. Trygonometria to dział matematyki zajmujący się związkami pomiędzy bokami i kątami trójkąta. Zależności te są definiowane w postaci sześciu stosunków zwanych stosunki trygonometryczne – grzech, cos, tan, cot, sec i cosec.

W sposób rozszerzony badanie dotyczy także kątów tworzących elementy trójkąta. Logicznie rzecz biorąc, omówienie właściwości trójkąta; rozwiązywanie trójkątów oraz problemy fizyczne z zakresu wysokości i odległości z wykorzystaniem własności trójkąta – to wszystko stanowi część opracowania. Podaje także metodę rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Spis treści

• Co to są tożsamości trygonometryczne?
• Lista tożsamości trygonometrycznych
• Wzajemne tożsamości trygonometryczne
• Tożsamości trygonometryczne pitagorejskie
• Tożsamości stosunku trygonometrycznego
• Tożsamości trygonometryczne kątów przeciwnych
• Tożsamości kątów dopełniających
• Tożsamości kątów dodatkowych
• Okresowość funkcji trygonometrycznej
• Tożsamości suma i różnica
• Tożsamości podwójnego kąta
• Wzory na półkąta
• Jeszcze więcej tożsamości półkątnych
• Tożsamości sumy produktów
• Tożsamości produktów
• Wzory na potrójny kąt
• Dowód tożsamości trygonometrycznych
• Zależność pomiędzy kątami i bokami trójkąta
• Często zadawane pytania dotyczące tożsamości trygonometrycznych

Co to są tożsamości trygonometryczne?

Równanie zawierające stosunki trygonometryczne kąta nazywa się tożsamością trygonometryczną, jeśli jest prawdziwe dla wszystkich wartości kąta. Są one przydatne, gdy w wyrażeniu lub równaniu występują funkcje trygonometryczne. Sześć podstawowych stosunków trygonometrycznych to sinus, cosinus, tangens, cosecans, secans i cotangens . Wszystkie te stosunki trygonometryczne są definiowane za pomocą boków trójkąta prostokątnego, takich jak bok sąsiadujący, bok przeciwny i bok przeciwprostokątnej.

Tożsamości trygonometryczne

Lista tożsamości trygonometrycznych

W badaniu trygonometrii, która obejmuje wszystkie stosunki trygonometryczne, istnieje wiele tożsamości. Tożsamości te są wykorzystywane do rozwiązywania różnych problemów w środowisku akademickim, a także w prawdziwym życiu. Nauczmy się wszystkich podstawowych i zaawansowanych tożsamości trygonometrycznych.

Wzajemne tożsamości trygonometryczne

We wszystkich stosunkach trygonometrycznych istnieje wzajemna zależność między parą stosunków, która jest podana w następujący sposób:

• grzech θ = 1/cosec θ
• cosec θ = 1/sin θ
  
• cos θ = 1/s θ
• sec θ = 1/cos θ
  
• tan θ = 1/łóżeczko θ
• łóżko θ = 1/opalenizna θ

Tożsamości trygonometryczne pitagorejskie

Tożsamości trygonometryczne Pitagorasa opierają się na twierdzeniu o trójkącie prostokątnym lub twierdzenie Pitagorasa i są następujące:

• bez²θ + sałata²θ = 1
• 1 + tak²θ = sek²I
• cosek²θ = 1 + łóżeczko²I

Przeczytaj więcej na temat Tożsamości trygonometryczne pitagorejskie .

Tożsamości stosunku trygonometrycznego

As tan i cot definiuje się jako stosunek grzechu i cos, który jest określony przez następujące tożsamości:

• tan θ = sin θ/cos θ
• łóżko θ = cos θ/sin θ

Tożsamości trygonometryczne kątów przeciwnych

W trygonometrii kąt mierzony w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara mierzy się w ujemnej parzystości, a wszystkie stosunki trygonometryczne określone dla ujemnej parzystości kąta definiuje się następująco:

• grzech (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• tan (-θ) = -tan θ
• łóżeczko (-θ) = -łóżeczko θ
• sek. (-θ) = sek. θ
• cosec (-θ) = -cosec θ

Tożsamości kątów dopełniających

Kąty komplementarne to para kątów, których miary sumują się do 90°. Teraz tożsamości trygonometryczne dla kątów dopełniających są następujące:

• grzech (90° – θ) = cos θ
• cos (90° – θ) = sin θ
• tan (90° – θ) = łóżeczko θ
• łóżeczko (90° – θ) = jasnobrązowy θ
• s (90° – θ) = cosec θ
• cosec (90° – θ) = sec θ

Tożsamości kątów dodatkowych

Kąty dodatkowe to para kątów, których miary sumują się do 180°. Teraz tożsamości trygonometryczne dla kątów dodatkowych to:

• grzech (180°- θ) = grzech θ
• cos (180°- θ) = -cos θ
• cosec (180°- θ) = cosec θ
• sek. (180°- θ)= -sek. θ
• tan (180°- θ) = -tan θ
• łóżeczko (180°- θ) = -łóżeczko θ

Okresowość funkcji trygonometrycznej

Funkcje trygonometryczne takie jak sin, cos, tan, cot, sec i cosec, wszystkie mają charakter okresowy i różnią się okresowością. Poniższe tożsamości stosunku trygonometrycznego wyjaśniają ich okresowość.

• grzech (n × 360° + θ) = grzech θ
• grzech (2nπ + θ) = grzech θ
  
• cos (n × 360° + θ) = cos θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
  
• tan (n × 180° + θ) = tan θ
• tan (nπ + θ) = tan θ
  
• cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
• cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  
• sek. (n × 360° + θ) = sek. θ
• sek. (2nπ + θ) = sek. θ
  
• łóżeczko dziecięce (n × 180° + θ) = łóżeczko θ
• łóżeczko (nπ + θ) = łóżeczko θ

Gdzie, n ∈ Z, (Z = zbiór wszystkich liczb całkowitych)

Notatka: sin, cos, cosec i sec mają okres 360° lub 2π radianów, a dla tan i cot okres wynosi 180° lub π radianów.

Tożsamości suma i różnica

Tożsamości trygonometryczne dla sumy i różnicy kąta obejmują wzory takie jak sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) itp.

• grzech (A+B) = grzech A cos B + cos A grzech B
• grzech (A-B) = grzech A cos B – cos A grzech B
• cos (A+B) = cos A cos B – grzech A grzech B
• cos (A-B) = cos A cos B + grzech A grzech B
• tan (A+B) = (brązowy A + brązowy B)/(1 – brązowy A brązowy B)
• podpalany (A-B) = (brązowy A – brązowy B)/(1 + brązowy A brązowy B)

Notatka: Tożsamości grzechu (A+B), grzechu (A-B), cos (A+B) i cos (A-B) nazywane są Tożsamości Ptolemeusza .

Tożsamości podwójnego kąta

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych sumy kątów, możemy znaleźć nową tożsamość, zwaną tożsamością podwójnego kąta. Aby znaleźć te tożsamości, możemy umieścić A = B w sumie tożsamości kątów. Na przykład,

a wiemy, grzech (A+B) = grzech A cos B + cos A grzech B

Podstawiamy tutaj A = B = θ po obu stronach i otrzymujemy:

grzech (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

• grzech 2θ = 2 sinθ cosθ

Podobnie,

• cos 2θ = cos ² θ – grzech ² θ = 2 sałata ² θ – 1 = 1 – grzech ² I
• tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan ² I)

Przeczytaj więcej na temat Tożsamości podwójnego kąta .

Wzory na półkąta

Za pomocą wzorów na podwójny kąt można obliczyć wzory na półkąt. Aby obliczyć wzory na półkąty, zamień θ na θ/2,

• sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
• cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
• an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Przeczytaj więcej na temat Tożsamości półkątne .

Jeszcze więcej tożsamości półkątnych

Oprócz wyżej wymienionych tożsamości, istnieje więcej tożsamości półkątnych, które są następujące:

• sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
• cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
• an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Tożsamości sumy produktów

Poniższe tożsamości określają związek między sumą dwóch stosunków trygonometrycznych a iloczynem dwóch stosunków trygonometrycznych.

• sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
• sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
• cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Tożsamości produktów

Tożsamości produktu powstają, gdy dodajemy dwie sumy i różnice tożsamości kątów i są one następujące:

• sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
• cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
• sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Wzory na potrójny kąt

Oprócz wzorów na kąt podwójny i półkąt istnieją tożsamości stosunków trygonometrycznych, które są zdefiniowane dla kąta potrójnego. Te tożsamości są następujące:

• sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
• cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
• cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Przeczytaj więcej na temat Tożsamości potrójnego kąta .

Dowód tożsamości trygonometrycznych

Udowodnij to dla dowolnego kąta ostrego θ

1. tanθ = sinθ/cosθ
2. cotθ = cosθ/sinθ
3. tanθ. łóżeczkoθ = 1
4. bez ² θ + sałata ² θ = 1
5. 1 + tak ² θ = sek ² I
6. 1 + łóżeczko dziecięce ² θ = cosek ² I

Dowód:

Rozważmy prostokątny △ABC, w którym ∠B = 90°

Niech AB = x jednostek, BC = y jednostek i AC = r jednostek.

Następnie,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) łóżeczkoθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ. cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ. łóżeczkoθ = 1

Zatem, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, mamy

X²+ i²= r².

Teraz,

(4) bez²θ + sałata²θ = (rok/r)²+ (x/r)²= (i²/R²+ x²/R²)

= (x²+ i²)/R²= r²/R²= 1 [x²+ i²= r²]

bez ² θ + sałata ² θ = 1

(5) 1 + tak²θ = 1 + (y/x)²= 1 + y²/X²= (i²+ x²)/X²= r²/X²[X²+ i²= r²]

(r/x)²= sek²I

∴ 1 + opalenizna ² θ = sek ² I.

(6) 1 + łóżeczko dziecięce²θ = 1 + (x/y)²= 1 + x²/I²= (x²+ i²)/I²= r²/I²[X²+ i²= r²]

(R²/I²) = cosek²I

∴ 1 + łóżeczko dziecięce ² θ = cosek ² I

Zależność pomiędzy kątami i bokami trójkąta

Trzy zasady, które wiążą boki trójkątów z kątami wewnętrznymi trójkątów to:

• Jego Reguła
• Reguła cosinusa
• Reguła styczna

Jeśli trójkąt ABC ma boki a, b i c, które są bokami przeciwnymi odpowiednio do ∠A, ∠B i ∠C, to

Jego Reguła

Jego zasady stwierdza związek między bokami i kątami trójkąta, który jest stosunkiem boku i sinusa kąta przeciwnego do boku, zawsze pozostaje taki sam dla wszystkich kątów i boków trójkąta i jest podany w następujący sposób:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Reguła cosinusa

Reguła cosinusa obejmuje wszystkie boki, a jeden kąt wewnętrzny trójkąta jest określony następująco:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

LUB

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

LUB

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Reguła styczna

• Zasada stycznej określa również zależność między bokami i kątem wewnętrznym trójkąta, używając współczynnika trygonometrycznego tangensa, który jest następujący:

• old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
• old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
• old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Przeczytaj także

• Trygonometria Wysokość i odległość
• Tabela trygonometryczna

Rozwiązany przykład tożsamości trygonometrycznych

Przykład 1: Udowodnij, że (1 – grzech ² θ) sek ² θ = 1

Rozwiązanie:

Mamy:

LHS = (1 – grzech²θ) sek²I

= ponieważ²θ. sek²I

= ponieważ²θ. (1/kos²I)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Stąd udowodnione]

Przykład 2: Udowodnij, że (1 + tan ² θ) sałata ² θ = 1

Rozwiązanie:

Mamy:

LHS = (1 + tan²θ) cos²I

⇒ LHS = sek²θ. sałata²I

⇒ LHS = (1/cos²θ) . sałata²I

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Stąd udowodnione]

Przykład 3: Udowodnij, że (cosec ² θ – 1) tan²θ = 1

Rozwiązanie:

Mamy:

LHS = (cosec²θ – 1) tan²I

⇒ LHS = (1 + łóżeczko²θ – 1) tak²I

⇒ LHS = łóżeczko²θ. Więc²I

⇒ LHS = (1/opalenizna²θ). Więc²I

główny program w Javie

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Stąd udowodnione]

Przykład 4: Udowodnij, że (rozdz ⁴ θ – sek ² θ) = (tan ² θ + opalenizna ⁴ I)

Rozwiązanie:

Mamy:

LHS = (sek⁴θ – sek²I)

⇒ LHS = sek²θ(sek²ja – 1)

⇒ LHS = (1 + opalenizna²θ) (1 + tan²ja – 1)

⇒ LHS = (1 + opalenizna²θ) tak²I

⇒ LHS = (brąz²θ + opalenizna⁴θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Stąd udowodnione]

Przykład 5: Udowodnij, że √(sek ² θ + cosek ² θ) = (tanθ + łóżeczkoθ)

Rozwiązanie:

Mamy:

LHS = √(sek²θ + cosek²θ ) = √((1 + tan²i) + (1 + łóżeczko dziecięce²I))

⇒ LHS = √(tan²θ + łóżeczko dziecięce²ja + 2)

⇒ LHS = √(tan²θ + łóżeczko dziecięce²θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ.cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + łóżeczkoθ)²

⇒ LHS = tanθ + łóżeczkoθ = RHS

∴ LHS = RHS [stąd udowodnione]

Ćwicz pytania dotyczące tożsamości trygonometrycznych

Pytanie 1: Uprość wyrażeniefrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Pytanie 2: Udowodnić tożsamość tan (x) . łóżeczko(x) = 1.

Pytanie 3: Pokazują, żefrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Pytanie 4: Uproszczaćsin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Pytanie 5: Udowodnij tożsamośćcos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Pytanie 6: Uproszczaćfrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Pytanie 7: Udowodnij tożsamośćsec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Często zadawane pytania dotyczące tożsamości trygonometrycznych

Co to jest tożsamość trygonometryczna?

Tożsamość trygonometryczna to równanie, które łączy różne funkcje trygonometryczne, takie jak sin, cos, tan, cot, sec i cosec.

Jak udowodnić tożsamości trygonometryczne?

Istnieją różne metody udowadniania tożsamości trygonometrycznych, jedna z nich polega na wykorzystaniu 6 głównych znanych tożsamości trygonometrycznych w celu przepisania wyrażenia w innej formie. Podobnie jak w przypadku każdego innego dowodu, pracujemy z jedną stroną, aby uzyskać wyrażenie identyczne z drugą stroną równania.

Ile jest tożsamości trygonometrycznych?

Istnieje wiele tożsamości trygonometrycznych, ponieważ każda tożsamość może być z pewnymi zmianami, nadal jest tożsamością. Dlatego nie możemy dokładnie powiedzieć, ile jest tożsamości.

Jak zapamiętać wszystkie tożsamości trygonometryczne?

Najłatwiejszą metodą zapamiętania wszystkich tożsamości jest przećwiczenie problemów związanych z tożsamością. Za każdym razem, gdy rozwiązujesz problem, używając jakiejś tożsamości, zmieniasz tę tożsamość i ostatecznie stanie się ona twoją drugą naturą.

Zapisz trzy główne funkcje trygonometryczne.

Trzy główne funkcje używane w trygonometrii to sinus, cosinus i tangens.
sin θ = prostopadła/przeciwprostokątna
cos θ = podstawa/przeciwprostokątna
tan θ = prostopadły/podstawowy

Co to jest twierdzenie Pitagorasa?

Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że ​​w trójkącie prostokątnym o bokach Przeciwprostokątna (H), Prostokątna (P) i Podstawa (B) związek między nimi jest określony wzorem:

(H) ² = (P) ² + (B) ²

Napisz zastosowania tożsamości trygonometrycznych.

Tożsamości trygonometryczne służą do rozwiązywania różnych problemów obejmujących złożone funkcje trygonometryczne. Służą do obliczania równań falowych, równań oscylatora harmonicznego, rozwiązywania zagadnień geometrycznych i innych problemów.

Zapisz osiem podstawowych tożsamości trygonometrycznych.

Osiem podstawowych tożsamości w trygonometrii to:

• grzech θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/s θ
• tan θ = 1/łóżeczko θ
• bez²θ + sałata²θ = 1
• tanθ = sinθ/cos θ
• 1+ więc²θ = sek²I
• łóżeczko θ = cosθ/sinθ
• 1+ łóżeczko dziecięce²θ = cosek²I