Wierzchołek wzoru paraboli: Punkt, w którym parabola przecina się z jej osią symetrii, nazywany jest wierzchołkiem paraboli. Służy do określenia współrzędnych punktu na osi symetrii paraboli, w którym ją przecina. Dla standardowego równania paraboli y = ax2+ bx + c, wierzchołek jest współrzędną (h, k). Jeżeli współczynnik x2w równaniu jest dodatnia (a> 0), wówczas wierzchołek leży na dole, w przeciwnym razie leży na górze.
W tym artykule omówimy wierzchołek paraboli, jego wzór, wyprowadzenie wzoru i rozwiązane przykłady na nim.
Spis treści
- Właściwości wierzchołka paraboli
- Wierzchołek wzoru paraboli
- Wyprowadzenie wierzchołka wzoru na parabolę
- Przykładowe problemy dotyczące wierzchołków wzoru paraboli
Wierzchołek paraboli
Właściwości wierzchołka paraboli
- Wierzchołek każdej paraboli jest jej punktem zwrotnym.
- Pochodna funkcji paraboli w jej wierzchołku jest zawsze równa zero.
- Parabola otwarta u góry lub u dołu ma maksima lub minima w wierzchołku.
- Wierzchołek lewej lub prawej paraboli otwartej nie jest ani maksimem, ani minimem paraboli.
- Wierzchołek to punkt przecięcia paraboli z jej osią symetrii.
Wierzchołek wzoru paraboli
Dla postaci wierzchołkowej paraboli y = a(x – h)2+ k, współrzędne (h, k) wierzchołka wynoszą,
(h, k) = (-b/2a, -D/4a)
Gdzie,
a jest współczynnikiem x2,
b jest współczynnikiem x,
D = b2– 4ac jest wyróżnikiem postaci standardowej y = ax2+ bx + c.
Wyprowadzenie wierzchołka wzoru na parabolę
Załóżmy, że mamy parabolę ze standardowym równaniem: y = ax2+ bx + c.
Można to zapisać jako,
y – c = topór2+ bx
y – c = a (x2+ bx/a)
Dodawanie i odejmowanie b2/4a2na RHS, otrzymujemy
y – c = a (x2+ bx/a + b2/4a2- B2/4a2)
y – do = a ((x + b/2a)2- B2/4a2)
y – do = a (x + b/2a)2- B2/4a
y = za (x + b/2a)2- B2/4a + do
y = za (x + b/2a)2- (B2/4a – c)
y = za (x + b/2a)2- (B2– 4ac)/4a
Wiemy, D = b2– 4ac, więc równanie ma postać,
y = za (x + b/2a)2– D/4a
liczba całkowita do podwójnego JavaPorównanie powyższego równania z postacią wierzchołkową y = a(x – h)2+ k, otrzymujemy
h = -b/2a i k = -D/4a
W ten sposób wyprowadzamy wzór na współrzędne wierzchołka paraboli.
Ludzie czytali także:
- Wykres, właściwości, przykłady i równanie paraboli
- Standardowe równanie paraboli z przykładami
Przykładowe problemy dotyczące wierzchołków wzoru paraboli
Zadanie 1. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y = 2x 2 + 4x – 4.
Rozwiązanie:
Mamy równanie: y = 2x2+ 4x – 4.
Tutaj a = 2, b = 4 i c = -4.
Teraz wiadomo, że współrzędne wierzchołka są dane wzorem (-b/2a, -D/4a) gdzie D = b2– 4ac.
D = (4)2– 4 (2) (-4)
= 16 + 32
= 48
Zatem x – współrzędna wierzchołka = -4/2(2) = -4/4 = -1.
y – współrzędna wierzchołka = -48/4(2) = -48/8 = -6
Zatem wierzchołek paraboli to (-1, -6).
Zadanie 2. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y = 3x 2 + 5x – 2.
Rozwiązanie:
Mamy równanie: y = 3x2+ 5x – 2.
Tutaj a = 3, b = 5 i c = -2.
Teraz wiadomo, że współrzędne wierzchołka są dane wzorem (-b/2a, -D/4a) gdzie D = b2– 4ac.
D = (5)2– 4 (3) (-2)
= 25 + 24
= 49
Zatem x – współrzędna wierzchołka = -5/2(3) = -5/6
y – współrzędna wierzchołka = -49/4(3) = -49/12
Zatem wierzchołek paraboli wynosi (-5/6, -49/12).
Zadanie 3. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y = 3x 2 – 6x + 1.
Rozwiązanie:
Mamy równanie jako: y = 3x2– 6x + 1.
Tutaj a = 3, b = -6 i c = 1.
Teraz wiadomo, że współrzędne wierzchołka są dane wzorem (-b/2a, -D/4a) gdzie D = b2– 4ac.
D = (-6)2– 4 (3) (1)
= 36 – 12
= 24
Zatem x – współrzędna wierzchołka = 6/2(3) = 6/6 = 1
y – współrzędna wierzchołka = -24/4(3) = -24/12 = -2
Zatem wierzchołek paraboli to (1, -2).
Zadanie 4. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y = 3x 2 + 8x – 8.
Rozwiązanie:
Mamy równanie jako: y = 3x2+ 8x – 8.
Tutaj a = 3, b = 8 i c = -8.
Teraz wiadomo, że współrzędne wierzchołka są dane wzorem (-b/2a, -D/4a) gdzie D = b2– 4ac.
D = (8)2– 4 (3) (-8)
= 64 + 96
= 160
Zatem x – współrzędna wierzchołka = -8/2(3) = -8/6 = -4/3
y – współrzędna wierzchołka = -160/4(3) = -160/12 = -40/3
Zatem wierzchołek paraboli wynosi (-4/3, -40/3).
Zadanie 5. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y = 6x 2 + 12x + 4.
Rozwiązanie:
Mamy równanie: y = 6x2+ 12x + 4.
Tutaj a = 6, b = 12 i c = 4.
Teraz wiadomo, że współrzędne wierzchołka są dane wzorem (-b/2a, -D/4a) gdzie D = b2– 4ac.
D = (12)2– 4 (6) (4)
= 144 – 96
= 48
Zatem x – współrzędna wierzchołka = -12/2(6) = -12/12 = -1
y – współrzędna wierzchołka = -48/4(6) = -48/24 = -2
Zatem wierzchołek paraboli to (-1, -2).
Zadanie 6. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y = x 2 + 7x – 5.
Rozwiązanie:
Mamy równanie jako: y = x2+ 7x – 5.
Tutaj a = 1, b = 7 i c = -5.
Teraz wiadomo, że współrzędne wierzchołka są dane wzorem (-b/2a, -D/4a) gdzie D = b2– 4ac.
D = (7)2– 4 (1) (-5)
= 49 + 20
= 69
Zatem x – współrzędna wierzchołka = -7/2(1) = -7/2
y – współrzędna wierzchołka = -69/4(1) = -69/4
Zatem wierzchołek paraboli wynosi (-7/2, -69/4).
Zadanie 7. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y = 2x 2 + 10x – 3.
Rozwiązanie:
Mamy równanie: y = x2 + 7x – 5.
Tutaj a = 1, b = 7 i c = -5.
Wiadomo już, że współrzędne wierzchołka wyznaczamy wzorem (-b/2a, -D/4a) gdzie D = b2 – 4ac.
D = (7)2 – 4 (1) (-5)
= 49 + 20
= 69
Zatem x – współrzędna wierzchołka = -7/2(1) = -7/2
y – współrzędna wierzchołka = -69/4(1) = -69/4
Zatem wierzchołek paraboli wynosi (-7/2, -69/4).
Często zadawane pytania dotyczące wierzchołków wzoru paraboli
Co masz na myśli mówiąc wierzchołek paraboli?
Punkt, w którym parabola przecina się z jej osią symetrii, nazywany jest wierzchołkiem paraboli. Służy do określenia współrzędnych punktu na osi symetrii paraboli, w którym ją przecina.
Jak obliczyć wierzchołek paraboli?
Dla standardowego równania paraboli y = ax2+ bx + c, wierzchołek jest współrzędną (h, k).
Zapisz właściwości wierzchołka paraboli.
1. Wierzchołek każdej paraboli jest jej punktem zwrotnym.
2. Pochodna funkcji paraboli w jej wierzchołku jest zawsze równa zero.
3. Parabola otwarta u góry lub u dołu ma maksima lub minima w wierzchołku.
4. Wierzchołek lewej lub prawej paraboli otwartej nie jest ani maksimem, ani minimem paraboli.
5. Wierzchołek to punkt przecięcia paraboli z jej osią symetrii.
Podana jest postać wierzchołkowa paraboli. Jak znaleźć jego wierzchołek?
Dla standardowego równania paraboli y = ax2+ bx + c, wierzchołek jest współrzędną (h, k).
Co masz na myśli mówiąc ogniskowanie paraboli?
Parabola to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które znajdują się w równej odległości od danego punktu i danej prostej. Punkt ten nazywany jest ogniskiem paraboli.
Jak narysować parabolę z jej wierzchołkiem?
1. Znajdź współrzędne x i y.
2. Zapisz dwie liczby mniejsze i dwie większe od ostrości i oznacz je jako współrzędne x.
różnica między lodem a śniegiem3. Podstaw wartość funkcji za x i znajdź współrzędne y.
4.Znajdź ognisko i wierzchołek paraboli i nanieś współrzędne na papier milimetrowy.