TechCodeview

Chcesz sprawdzić się w najtrudniejszych pytaniach matematycznych SAT? Chcesz wiedzieć, co sprawia, że ​​te pytania są tak trudne i jak najlepiej je rozwiązać? Jeśli jesteś gotowy, aby naprawdę zagłębić się w sekcję matematyczną egzaminu SAT i dążyć do uzyskania doskonałego wyniku, ten przewodnik jest dla Ciebie.

Zebraliśmy to, w co wierzymy, że jest 15 najtrudniejszych pytań na bieżący SAT , ze strategiami i wyjaśnieniami odpowiedzi dla każdej z nich. To wszystko są trudne pytania z matematyki SAT z praktycznych testów SAT College Board, co oznacza, że ​​ich zrozumienie jest jednym z najlepszych sposobów nauki dla tych z Was, którzy dążą do perfekcji.

Obraz: Sonia Sewilla /Wikimedia

Krótki przegląd matematyki SAT

Trzecią i czwartą sekcją egzaminu SAT będą zawsze sekcje matematyczne . Pierwsza podsekcja matematyczna (oznaczona „3”) robi nie pozwalają na użycie kalkulatora, natomiast druga podsekcja matematyczna (oznaczona jako „4”) robi pozwalają na użycie kalkulatora. Nie przejmuj się jednak zbytnio sekcją bez kalkulatora: jeśli nie możesz używać kalkulatora w zadaniu pytania, oznacza to, że nie potrzebujesz kalkulatora, aby na nie odpowiedzieć.

Każdy podrozdział matematyczny jest ułożony według rosnącego stopnia trudności (gdzie im dłużej trwa rozwiązanie problemu i im mniej osób odpowie poprawnie, tym jest ono trudniejsze). W każdym podrozdziale pytanie 1 będzie „łatwe”, a pytanie 15 zostanie uznane za „trudne”. Jednak rosnący poziom trudności jest resetowany z łatwego na trudny na startach.

W związku z tym pytania wielokrotnego wyboru ułożone są według rosnącego stopnia trudności (pytania 1 i 2 będą najłatwiejsze, pytania 14 i 15 będą najtrudniejsze), ale poziom trudności zostanie zresetowany w sekcji siatki (co oznacza, że ​​pytania 16 i 17 będą ponownie „łatwe”, a pytania 19 i 20 będą bardzo trudne).

Z nielicznymi wyjątkami zatem najtrudniejsze zadania matematyczne SAT zostaną skupione na końcu segmentów wielokrotnego wyboru lub w drugiej połowie pytań w siatce. Oprócz tego, że są one umieszczane na teście, pytania te mają także kilka innych cech wspólnych. Za chwilę przyjrzymy się przykładowym pytaniom i sposobom ich rozwiązania, a następnie przeanalizujemy je, aby dowiedzieć się, co mają wspólnego tego typu pytania.

Ale po pierwsze: czy powinieneś się teraz skupiać na najtrudniejszych pytaniach matematycznych?

Jeśli dopiero zaczynasz przygotowania do nauki (lub jeśli po prostu pominąłeś ten pierwszy, kluczowy krok), zdecydowanie zatrzymaj się i wykonaj pełny test praktyczny, aby ocenić swój aktualny poziom punktacji. Sprawdź nasz przewodnik po wszystkie bezpłatne testy praktyczne SAT dostępne online a następnie usiądź, aby od razu przystąpić do testu.

Absolutnie najlepszym sposobem na ocenę swojego obecnego poziomu jest po prostu przystąpienie do egzaminu praktycznego SAT tak, jakby był prawdziwy, przestrzegając ścisłego harmonogramu i pracując od razu, tylko z dozwolonymi przerwami (wiemy – prawdopodobnie nie jest to Twój ulubiony sposób spędzania soboty). Kiedy już będziesz mieć dobre pojęcie o swoim obecnym poziomie i rankingu percentylowym, możesz wyznaczyć kamienie milowe i cele, aby uzyskać ostateczny wynik SAT Math.

Jeśli obecnie Twoje wyniki w egzaminie SAT Math mieszczą się w przedziale 200–400 lub 400–600, najlepiej najpierw zapoznać się z naszym przewodnikiem, jak poprawić swój wynik z matematyki być stale na poziomie 600 lub powyżej, zanim zaczniesz rozwiązywać najtrudniejsze problemy matematyczne na teście.

Jeśli jednak uzyskałeś już wynik powyżej 600 z części matematycznej i chcesz sprawdzić swoje umiejętności w prawdziwym egzaminie SAT, zdecydowanie przejdź do dalszej części tego przewodnika. Jeśli Twoim celem jest osiągnięcie idealnego (lub bliskiego) , to musisz wiedzieć, jak wyglądają najtrudniejsze pytania z matematyki na egzaminie SAT i jak je rozwiązać. I na szczęście właśnie to zrobimy.

OSTRZEŻENIE: Ponieważ liczba jest ograniczona oficjalne testy praktyczne SAT , możesz zaczekać z przeczytaniem tego artykułu do czasu, aż przystąpisz do wszystkich lub większości pierwszych czterech oficjalnych testów praktycznych (ponieważ większość poniższych pytań została zaczerpnięta z tych testów). Jeśli obawiasz się, że zepsujesz testy, przestań już czytać ten przewodnik; wróć i przeczytaj je, gdy je skończysz.

Przejdźmy teraz do naszej listy pytań (whoo)!

Obraz: Niytx /DeviantArt

15 najtrudniejszych pytań z matematyki SAT

Teraz, gdy masz już pewność, że powinieneś zadać te pytania, przejdźmy do rzeczy! Wybraliśmy dla Ciebie 15 najtrudniejszych pytań z matematyki SAT, które możesz wypróbować poniżej, wraz z instrukcjami, jak uzyskać odpowiedź (jeśli jesteś zakłopotany).

Brak pytań matematycznych z kalkulatora SAT

Pytanie 1

$$C=5/9(F-32)$$

Powyższe równanie pokazuje, jak temperatura $F$, mierzona w stopniach Fahrenheita, odnosi się do temperatury $C$, mierzonej w stopniach Celsjusza. Na podstawie równania, które z poniższych musi być prawdziwe?

1. Wzrost temperatury o 1 stopień Fahrenheita jest równoważny wzrostowi temperatury o 5/9 dolarów stopnia Celsjusza.
2. Wzrost temperatury o 1 stopień Celsjusza jest równoważny wzrostowi temperatury o 1,8 stopnia Fahrenheita.
3. Wzrost temperatury o 5/9 dolarów stopnia Fahrenheita jest równoważny wzrostowi temperatury o 1 stopień Celsjusza.

A) Tylko ja
B) Tylko II
C) Tylko III
D) Tylko I i II

kompozycja relacji

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Pomyśl o równaniu jak o równaniu prostej

$$y=mx+b$$

gdzie w tym przypadku

$$C= {5}/{9} (F-32)$$

Lub

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Możesz zobaczyć, że nachylenie wykresu wynosi /{9}$, co oznacza, że ​​wzrost o 1 stopień Fahrenheita oznacza wzrost o 1 stopień Celsjusza /{9}$.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Zatem stwierdzenie I jest prawdziwe. Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że wzrost o 1 stopień Celsjusza jest równy wzrostowi o /{5}$ stopni Fahrenheita.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Ponieważ /{5}$ = 1,8, stwierdzenie II jest prawdziwe.

Jedyną odpowiedzią, która zawiera zarówno stwierdzenie I, jak i stwierdzenie II, jest: D , ale jeśli masz czas i chcesz być absolutnie dokładny, możesz także sprawdzić, czy stwierdzenie III (wzrost o /{9}$ stopnia Fahrenheita jest równy wzrostowi temperatury o 1 stopień Celsjusza) jest prawdziwe :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (co jest ≠ 1)$$

Wzrost o 5/9$ stopnia Fahrenheita prowadzi do wzrostu o /{81}$, a nie o 1 stopień Celsjusza, więc stwierdzenie III nie jest prawdziwe.

Ostateczna odpowiedź to D.

pytanie 2

Równanie${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$jest prawdziwe dla wszystkich wartości $x≠2/a$, gdzie $a$ jest stałą.

Jaka jest wartość $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Istnieją dwa sposoby rozwiązania tego pytania. Szybszym sposobem jest pomnożenie każdej strony danego równania przez $ax-2$ (aby można było pozbyć się ułamka). Kiedy pomnożysz każdą stronę przez $ax-2$, powinieneś otrzymać:

x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(topór-2) - 53$$

Następnie powinieneś pomnożyć $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ za pomocą FOIL.

x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

Następnie zmniejsz po prawej stronie równania

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Ponieważ współczynniki składnika $x^2$ muszą być równe po obu stronach równania, $−8a = 24$, czyli $a = −3$.

Inną opcją, dłuższą i bardziej nudną, jest próba podłączenia wszystkich możliwych odpowiedzi dla a i sprawdzenie, która odpowiedź zrówna obie strony równania. Ponownie, jest to dłuższa opcja i nie polecam jej do faktycznego egzaminu SAT, ponieważ będzie to strata zbyt dużej ilości czasu.

Ostateczna odpowiedź to B.

pytanie 3

Jeśli x-y = 12$, jaka jest wartość ${8^x}/{2^y}$?

A) 2 $^{12}$
B) 4^4$
C) 8^2$
D) Wartości nie można określić na podstawie podanych informacji.

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Jednym ze sposobów jest wyrażanie

$${8^x}/{2^y}$$

tak aby licznik i mianownik miały tę samą podstawę. Ponieważ 2 i 8 są potęgami liczby 2, podstawienie 2^3$ za 8 w liczniku ${8^x}/{2^y}$ daje

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

które można przepisać

$${2^3x}/{2^y}$$

Ponieważ licznik i mianownik mają wspólną podstawę, wyrażenie to można zapisać jako ^(3x−y)$. W pytaniu stwierdza, że ​​x − y = 12$, więc wykładnik można zastąpić 12, x − y$, co oznacza, że

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

Ostateczna odpowiedź to A.

Pytanie 4

Punkty A i B leżą na okręgu o promieniu 1, a łuk ${AB}↖⌢$ ma długość $π/3$. Jaką część obwodu koła stanowi długość łuku ${AB}↖⌢$?

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Aby znaleźć odpowiedź na to pytanie, musisz najpierw poznać wzór na obwód koła.

Obwód koła $C$ wynosi $C = 2πr$, gdzie $r$ jest promieniem okręgu. Dla danego okręgu o promieniu 1 obwód wynosi $C = 2(π)(1)$, czyli $C = 2π$.

Aby dowiedzieć się, jaki ułamek obwodu stanowi długość ${AB}↖⌢$, podziel długość łuku przez obwód, co daje $π/3 ÷ 2π$. Podział ten można przedstawić za pomocą $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

Ułamek 1/6 $ można również zapisać jako 0,166 $ lub 0,167 $.

Ostateczna odpowiedź to 1/6 USD, 0,166 USD lub 0,167 USD.

Pytanie 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Jeśli powyższe wyrażenie zostanie zapisane w postaci $a+bi$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi, jaka jest wartość $a$? (Uwaga: $i=√{-1}$)

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Aby zapisać ${8-i}/{3-2i}$ w standardowej formie $a + bi$, należy pomnożyć licznik i mianownik ${8-i}/{3-2i}$ przez koniugat , 3 $ + 2i $. To równa się

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2)-(2i)^2}$$

Ponieważ $i^2=-1$, ten ostatni ułamek można uprościć do

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

co jeszcze bardziej upraszcza do 2 $ + i $. Dlatego też, gdy ${8-i}/{3-2i}$ zostanie zapisane w standardowej formie a + bi, wartość a wynosi 2.

Ostateczna odpowiedź to A.

Pytanie 6

W trójkącie $ABC$ miara $∠B$ wynosi 90°, $BC=16$ i $AC$=20. Trójkąt $DEF$ jest podobny do trójkąta $ABC$, gdzie wierzchołki $D$, $E$ i $F$ odpowiadają wierzchołkom odpowiednio $A$, $B$ i $C$, a każdemu bokowi trójkąta $ DEF$ to /3$ długości odpowiedniego boku trójkąta $ABC$. Jaka jest wartość $sinF$?

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym z kątem prostym w B. Zatem $ov {AC}$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego ABC, a $ov {AB}$ i $ov {BC}$ to nogi trójkąt prostokątny ABC. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Ponieważ trójkąt DEF jest podobny do trójkąta ABC, w którym wierzchołek F odpowiada wierzchołkowi C, miara $kąt ∠ {F}$ jest równa mierze $kąt ∠ {C}$. Zatem $sin F = grzech C$. Z długości boków trójkąta ABC

$$sinF ={przeciwprostokątna side}/{przeciwprostokątna}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Zatem $sinF ={3}/{5}$.

Ostateczna odpowiedź to /{5}$ lub 0,6.

Dozwolone pytania matematyczne SAT w kalkulatorze

Pytanie 7

Powyższa niekompletna tabela podsumowuje liczbę uczniów leworęcznych i praworęcznych według płci w ósmej klasie gimnazjum Keisel. Jest 5 razy więcej uczennic praworęcznych niż leworęcznych i 9 razy więcej uczennic praworęcznych niż leworęcznych. jeśli w szkole jest łącznie 18 uczniów leworęcznych i 122 uczniów praworęcznych, które z poniższych prawdopodobieństw jest najbliższe prawdopodobieństwu, że losowo wybrany uczeń praworęczny to kobieta? (Uwaga: Załóżmy, że żaden z uczniów ósmej klasy nie jest jednocześnie praworęczny i leworęczny.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Aby rozwiązać ten problem, powinieneś utworzyć dwa równania, używając dwóch zmiennych ($x$ i $y$) oraz podanych informacji. Niech $x$ będzie liczbą leworęcznych studentek i niech $y$ będzie liczbą leworęcznych uczniów. Korzystając z informacji podanych w zadaniu, liczba praworęcznych uczennic wyniesie 5 x $, a liczba praworęcznych uczniów wyniesie 9 lat. Ponieważ całkowita liczba uczniów leworęcznych wynosi 18, a całkowita liczba uczniów praworęcznych wynosi 122, poniższy układ równań musi być prawdziwy:

$$x + y = 18$$

$x + 9 lat = 122$$

Kiedy rozwiążesz ten układ równań, otrzymasz $x = 10 $ i $y = 8 $. Zatem 5*10, czyli 50 ze 122 praworęcznych uczniów to kobiety. Zatem prawdopodobieństwo, że losowo wybrana praworęczna uczennica to kobieta wynosi{50}/{122}$, co z dokładnością do tysięcznej wynosi 0,410.

Pytania 8 i 9

Poniższe informacje wykorzystaj zarówno w pytaniu 7, jak i 8.

Jeśli kupujący wchodzą do sklepu ze średnią szybkością $r$ kupujących na minutę i każdy pozostaje w sklepie przez średni czas $T$ minut, podana jest średnia liczba kupujących w sklepie, $N$, w dowolnym momencie według wzoru $N=rT$. Zależność ta znana jest jako prawo Little’a.

Właściciel Sklepu Good Deals szacuje, że w godzinach pracy do sklepu wchodzi średnio 3 kupujących na minutę i każdy z nich zostaje tam średnio 15 minut. Właściciel sklepu, korzystając z prawa Little’a, szacuje, że w sklepie w dowolnym momencie przebywa 45 kupujących.

Pytanie 8

Prawo Little'a można zastosować do dowolnej części sklepu, na przykład konkretnego działu lub linii kasowych. Właściciel sklepu ustala, że ​​w godzinach pracy średnio 84 klientów na godzinę dokonuje zakupu i każdy z tych klientów spędza w kolejce do kasy średnio 5 minut. Ilu średnio kupujących czeka w kolejce do kasy, aby dokonać zakupu w sklepie Good Deals, w dowolnym momencie godzin pracy?

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Ponieważ pytanie stwierdza, że ​​prawo Little'a można zastosować do dowolnej części sklepu (na przykład tylko linii przy kasie), to średnia liczba kupujących, $N $, w dowolnym momencie przy kasie wynosi $N = rT $, gdzie $r$ to liczba kupujących wchodzących do kasy na minutę, a $T$ to średnia liczba minut, jakie każdy kupujący spędza przy kasie.

Ponieważ 84 kupujących na godzinę dokonuje zakupu, 84 kupujących na godzinę wchodzi do kasy. Należy to jednak przeliczyć na liczbę kupujących na minutę (aby można było zastosować tę kwotę przy $T = 5$). Ponieważ godzina ma 60 minut, stawka wynosi {84 $ kupujących na godzinę}/{60 minut} = 1,4 $ kupujących na minutę. Użycie podanego wzoru z $r = 1,4$ i $T = 5$ daje zysk

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Dlatego też średnia liczba kupujących ($N$) przy kasie w dowolnym momencie w godzinach pracy wynosi 7.

Ostateczna odpowiedź to 7.

Pytanie 9

Właściciel sklepu Good Deals otwiera nowy sklep po drugiej stronie miasta. W przypadku nowego sklepu właściciel szacuje, że w godzinach pracy średnio 90 kupujących na osobęgodzinawejść do sklepu i każdy z nich zostaje tam średnio 12 minut. O ile procent mniej jest średnia liczba kupujących w nowym sklepie w dowolnym momencie od średniej liczby kupujących w oryginalnym sklepie w dowolnym momencie? (Uwaga: przy wpisywaniu odpowiedzi zignoruj ​​symbol procentu. Na przykład, jeśli odpowiedź to 42,1%, wpisz 42,1)

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Według pierwotnych informacji szacunkowa średnia liczba kupujących w pierwotnym sklepie w dowolnym momencie (N) wynosi 45. W pytaniu wskazano, że w nowym sklepie kierownik szacuje, że średnio 90 kupujących na godzinę (60 minut) wchodzi do sklepu, co odpowiada 1,5 kupującym na minutę (r). Menedżer szacuje również, że każdy kupujący przebywa w sklepie średnio 12 minut (T). Zatem, zgodnie z prawem Little'a, w nowym sklepie w dowolnym momencie znajduje się średnio kupujących $N = rT = (1,5)(12) = 18$. To jest

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

procent mniej niż średnia liczba kupujących w oryginalnym sklepie w dowolnym momencie.

Ostateczna odpowiedź to 60.

Pytanie 10

Na płaszczyźnie $xy$ punkt $(p,r)$ leży na prostej o równaniu $y=x+b$, gdzie $b$ jest stałą. Punkt o współrzędnych $(2p, 5r)$ leży na prostej o równaniu $y=2x+b$. Jeśli $p≠0$, jaka jest wartość $r/p$?

A) 2/5 dolarów

B) 3/4 $

C) 4/3 $

D) 5/2 dolarów

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Ponieważ punkt $(p,r)$ leży na prostej o równaniu $y=x+b$, to punkt musi spełniać to równanie. Podstawienie $p$ na $x$ i $r$ na $y$ w równaniu $y=x+b$ daje $r=p+b$ lub $i b$ = $i r-i p $.

Podobnie, skoro punkt $(2p,5r)$ leży na prostej o równaniu $y=2x+b$, to punkt musi spełniać to równanie. Podstawiając 2p$ na $x$ i 5r$ na $y$ w równaniu $y=2x+b$ otrzymujemy:

5 r = 2 (2 p) + b $

5 r = 4 p + b $

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Następnie możemy ustawić dwa równania równe $b$ sobie równe i uprościć:

$b=r-p=5r-4p$

3 pensy = 4 r $

Na koniec, aby znaleźć $r/p$, musimy podzielić obie strony równania przez $p$ i $:

3 pensy = 4 r $

3 $={4r}/p$

3/4 $ = r/p $

Poprawna odpowiedź to B , 3/4 $.

Jeśli wybrałeś opcje A i D, być może błędnie sformułowałeś odpowiedź na podstawie współczynników w punkcie $(2p, 5r)$. Jeśli wybrałeś opcję C, być może pomyliłeś $r$ i $p$.

Pamiętaj, że chociaż znajduje się to w części egzaminu SAT z kalkulatorami, absolutnie nie potrzebujesz kalkulatora, aby go rozwiązać!

Pytanie 11

Silos zbożowy zbudowany jest z dwóch prawostronnych okrągłych stożków i prawego okrągłego cylindra o wymiarach wewnętrznych przedstawionych na powyższym rysunku. Która z poniższych wartości jest najbliższa objętości silosu zbożowego w stopach sześciennych?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916.3
D) 1047.2

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Objętość silosu zbożowego można obliczyć, dodając objętości wszystkich brył, z których się składa (walec i dwa stożki). Silos składa się z cylindra (o wysokości 10 stóp i promieniu podstawy 5 stóp) i dwóch stożków (każdy o wysokości 5 stóp i promieniu podstawy 5 stóp). Wzory podane na początku części SAT Math:

Objętość stożka

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Objętość cylindra

$$V=πr^2h$$

można wykorzystać do określenia całkowitej objętości silosu. Ponieważ dwa stożki mają identyczne wymiary, całkowitą objętość silosu w stopach sześciennych podaje wzór:

$$V_{silos}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

co odpowiada w przybliżeniu 1047,2 stopom sześciennym.

Ostateczna odpowiedź to D.

Pytanie 12

Jeśli $x$ to średnia (średnia arytmetyczna) $m$ i $, $y$ to średnia m$ i $, a $z$ to średnia m$ i $, to ile wynosi średnia $x$, $y$ i $z$ wyrażona w $m$?

A) m $ + 6 $
B) m $ + 7 $
C) 2 miliony dolarów + 14 dolarów
D) 3 miliony dolarów + 21 dolarów

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Ponieważ średnia (średnia arytmetyczna) dwóch liczb jest równa sumie tych dwóch liczb podzielonej przez 2, równania $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$są prawdziwe. Średnia $x$, $y$ i $z$ jest wyrażona przez ${x + y + z}/{3}$. Podstawienie wyrażeń w m dla każdej zmiennej ($x$, $y$, $z$) daje

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Ułamek ten można uprościć do $m + 7$.

Ostateczna odpowiedź to B.

Pytanie 13

Funkcja $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ jest przedstawiona na płaszczyźnie $xy$ powyżej. Jeśli $k$ jest stałą taką, że równanie $f(x)=k$ ma trzy rzeczywiste rozwiązania, które z poniższych może mieć wartość $k$?

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Równanie $f(x) = k$ podaje rozwiązania układu równań

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

I

$$y = k$$

Rzeczywiste rozwiązanie układu dwóch równań odpowiada punktowi przecięcia wykresów obu równań na płaszczyźnie $xy$.

Wykres $y = k$ jest linią poziomą zawierającą punkt $(0, k)$ i trzykrotnie przecina wykres równania sześciennego (ponieważ ma ono trzy rozwiązania rzeczywiste). Biorąc pod uwagę wykres, jedyną linią poziomą, która trzykrotnie przecinałaby równanie sześcienne, jest linia o równaniu $y = −3$, czyli $f(x) = −3$. Zatem $k$ wynosi -3$.

Ostateczna odpowiedź to D.

Pytanie 14

$$q={1/2}nv^2$$

Ciśnienie dynamiczne $q$ generowane przez płyn poruszający się z prędkością $v$ można obliczyć korzystając z powyższego wzoru, gdzie $n$ jest stałą gęstością płynu. Inżynier aeronautyki używa wzoru do obliczenia ciśnienia dynamicznego płynu poruszającego się z prędkością $v$ i tego samego płynu poruszającego się z prędkością 1,5$v$. Jaki jest stosunek ciśnienia dynamicznego szybszego płynu do ciśnienia dynamicznego wolniejszego płynu?

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Aby rozwiązać ten problem, musisz ustawić równania ze zmiennymi. Niech $q_1$ będzie ciśnieniem dynamicznym wolniejszego płynu poruszającego się z prędkością $v_1$ i niech $q_2$ będzie ciśnieniem dynamicznym szybszego płynu poruszającego się z prędkością $v_2$. Następnie

$$v_2 = 1,5v_1$$

Biorąc pod uwagę równanie $q = {1}/{2}nv^2$, podstawienie ciśnienia dynamicznego i prędkości szybszego płynu daje $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Ponieważ $v_2 =1,5v_1$, wyrażenie ,5v_1$ można zastąpić $v_2$ w tym równaniu, dając $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Podnosząc do kwadratu 1,5 $, możesz przepisać poprzednie równanie jako

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Dlatego stosunek ciśnienia dynamicznego szybszego płynu wynosi

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25 $$

Ostateczna odpowiedź to 2,25 lub 9/4.

Pytanie 15

Dla wielomianu $p(x)$ wartość $p(3)$ wynosi -2$. Które z poniższych stwierdzeń musi być prawdziwe w odniesieniu do $p(x)$?

A) $x-5$ to współczynnik $p(x)$.
B) $x-2$ jest współczynnikiem $p(x)$.
C) $x+2$ to współczynnik $p(x)$.
D) Reszta z dzielenia $p(x)$ przez $x-3$ wynosi -2$.

WYJAŚNIENIE ODPOWIEDZI: Jeżeli wielomian $p(x)$ podzielimy przez wielomian w postaci $x+k$ (który uwzględnia wszystkie możliwe odpowiedzi w tym pytaniu), wynik można zapisać jako

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

gdzie $q(x)$ jest wielomianem, a $r$ jest resztą. Ponieważ $x + k$ jest wielomianem stopnia 1 (co oznacza, że ​​zawiera tylko $x^1$ i nie zawiera wyższych wykładników), reszta jest liczbą rzeczywistą.

Dlatego $p(x)$ można przepisać jako $p(x) = (x + k)q(x) + r$, gdzie $r$ jest liczbą rzeczywistą.

W pytaniu jest napisane, że $p(3) = -2$, więc to musi być prawda

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Teraz możemy podłączyć wszystkie możliwe odpowiedzi. Jeśli odpowiedź brzmi A, B lub C, $r$ będzie wynosić 0$, a jeśli odpowiedź brzmi D, $r$ będzie wynosić -2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Może to być prawdą, ale tylko wtedy, gdy $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Może to być prawdą, ale tylko wtedy, gdy $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Może to być prawdą, ale tylko wtedy, gdy $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

To będzie zawsze być prawdą bez względu na to, czym jest $q(3)$.

Spośród możliwych odpowiedzi, jedyna taka musieć będzie prawdą, że $p(x)$ to D, że reszta z dzielenia $p(x)$ przez $x-3$ wynosi -2.

Ostateczna odpowiedź to D.

Zasługujesz na wszystkie drzemki po zadaniu tych pytań.

Co mają wspólnego najtrudniejsze pytania z matematyki SAT?

Ważne jest, aby zrozumieć, co sprawia, że ​​te trudne pytania są „trudne”. W ten sposób będziesz w stanie zrozumieć i rozwiązać podobne pytania, gdy zobaczysz je w dniu testu, a także będziesz mieć lepszą strategię identyfikowania i poprawiania poprzednich błędów matematycznych SAT.

W tej sekcji przyjrzymy się, co te pytania mają ze sobą wspólnego i podamy przykłady każdego typu. Oto niektóre z powodów, dla których najtrudniejsze pytania matematyczne są najtrudniejszymi pytaniami matematycznymi:

#1: Przetestuj kilka koncepcji matematycznych na raz

Tutaj musimy zająć się liczbami urojonymi i ułamkami jednocześnie.

Sekret sukcesu: Pomyśl, jakiej matematyki możesz użyć do rozwiązania problemu, rób krok po kroku i wypróbuj każdą technikę, aż znajdziesz tę, która działa!

#2: Wymagaj wielu kroków

Pamiętaj: im więcej kroków musisz wykonać, tym łatwiej coś zepsuć!

Musimy rozwiązać ten problem etapami (dokonując kilku średnich), aby odblokować resztę odpowiedzi w efekcie domina. Może to być mylące, szczególnie jeśli jesteś zestresowany lub kończy Ci się czas.

Sekret sukcesu: Działaj powoli, krok po kroku i dokładnie sprawdzaj swoją pracę, aby nie popełnić błędów!

#3: Testuj koncepcje, z którymi masz ograniczoną znajomość

Na przykład wielu uczniów jest mniej zaznajomionych z funkcjami niż z ułamkami zwykłymi i procentami, dlatego większość pytań dotyczących funkcji uważa się za problemy o wysokim stopniu trudności.

Jeśli nie znasz się na funkcjach, byłby to trudny problem.

Sekret sukcesu: Przejrzyj pojęcia matematyczne, z którymi nie masz zbyt dużej wiedzy, takie jak funkcje. Sugerujemy skorzystanie z naszych świetnych, bezpłatnych przewodników po recenzjach SAT Math.

#4: Są sformułowane w nietypowy lub zawiły sposób

Dokładne określenie niektórych pytań może być trudne pytając , a tym bardziej zastanawiać się, jak je rozwiązać. Jest to szczególnie prawdziwe, gdy pytanie znajduje się na końcu sekcji, a kończy Ci się czas.

Ponieważ to pytanie dostarcza tak wielu informacji bez diagramu, jego rozwiązanie w ograniczonym czasie może być trudne.

Sekret sukcesu: Nie spiesz się, przeanalizuj, o co cię proszą, i narysuj diagram, jeśli jest to dla ciebie pomocne.

#5: Używaj wielu różnych zmiennych

Przy tak wielu różnych zmiennych w grze, dość łatwo jest się pomylić.

Sekret sukcesu: Nie spiesz się, przeanalizuj, o co cię proszą, i zastanów się, czy podłączanie liczb jest dobrą strategią rozwiązania problemu (nie dotyczyłoby to pytania powyżej, ale dotyczyłoby wielu innych pytań ze zmiennymi SAT).

Na wynos

SAT to maraton i im lepiej się do niego przygotujesz, tym lepiej poczujesz się w dniu egzaminu. Umiejętność radzenia sobie z najtrudniejszymi pytaniami, jakie może rzucić test, sprawi, że przystąpienie do prawdziwego egzaminu SAT będzie znacznie mniej zniechęcające.

Jeśli uważasz, że te pytania są łatwe, nie lekceważ wpływu adrenaliny i zmęczenia na Twoją zdolność rozwiązywania problemów. Kontynuując naukę, zawsze przestrzegaj właściwych wytycznych dotyczących harmonogramu zajęć i staraj się przystępować do pełnych testów, jeśli to możliwe. To najlepszy sposób na odtworzenie rzeczywistego środowiska testowego, dzięki czemu można przygotować się na prawdziwą okazję.

Jeśli uważasz, że te pytania są trudne, pamiętaj, aby poszerzyć swoją wiedzę matematyczną, zapoznając się z naszymi indywidualnymi przewodnikami po tematach matematycznych do egzaminu SAT. Zobaczysz tam bardziej szczegółowe wyjaśnienia danych tematów, a także bardziej szczegółowe zestawienia odpowiedzi.

Co dalej?

Czułeś, że te pytania były trudniejsze, niż się spodziewałeś? Przyjrzyj się wszystkim tematom poruszonym w sekcji matematyki SAT i zanotuj, które sekcje sprawiały ci szczególne trudności. Następnie zapoznaj się z naszymi indywidualnymi przewodnikami matematycznymi, które pomogą Ci wzmocnić każdy z tych słabych obszarów.

Kończy Ci się czas na sekcję z matematyki SAT? Nasz przewodnik pomoże Ci pokonać czas i zmaksymalizować swój wynik.

Marzysz o doskonałym wyniku? Wymeldować się nasz przewodnik, jak uzyskać doskonałą 800 z części matematycznej egzaminu SAT , napisany przez doskonałego strzelca.