Cięciwa okręgu to linia łącząca dowolne dwa punkty na obwodzie okręgu. Okrąg może mieć różne cięciwy, a największą cięciwą okręgu jest średnica okręgu. Możemy łatwo obliczyć długość cięciwy, korzystając ze wzoru na długość cięciwy. Jak sama nazwa wskazuje, jest to wzór na obliczenie długości cięciwy okręgu w geometrii.

W tym artykule poznamy definicję cięciwy, twierdzenia o akordzie i okręgu, wyjaśnimy jego właściwości oraz wzory na obliczenie długości cięciwy różnymi metodami. W artykule zamieszczono także kilka rozwiązanych przykładowych problemów dla lepszego zrozumienia.

Spis treści

• Definicja koła
• Definicja cięciwy okręgu
• Co to jest wzór na długość cięciwy?
• Twierdzenia o akordzie okręgu
• Właściwości cięciw okręgu
• Rozwiązane problemy
• Często zadawane pytania

Definicja koła

Okrąg to idealny okrągły kształt składający się ze wszystkich punktów na płaszczyźnie, które znajdują się w określonej odległości od danego punktu. Składają się z zamkniętej zakrzywionej linii wokół centralnego punktu. Punkty znajdujące się na linii znajdują się w tej samej odległości od punktu centralnego. Odległość do środka okręgu nazywa się promieniem.

Definicja cięciwy okręgu

Odcinek łączący dowolne dwa punkty na obwodzie okręgu nazywany jest cięciwą okręgu. Ponieważ średnica łączy również dwa punkty na obwodzie koła, jest to również cięciwa koła. W rzeczywistości średnica jest najdłuższą cięciwą koła. Innymi słowy, cięciwa jest odcinkiem linii, którego oba końce leżą na obwodzie koła. Poniższa ilustracja może pomóc nam zrozumieć więcej.

Co to jest wzór na długość cięciwy?

Istnieją dwie podstawowe metody lub wzory do obliczania długości cięciwy. długość cięciwy można wyznaczyć na podstawie odległości prostopadłej od środka okręgu, a także metodą trygonometryczną. W ten sposób można znaleźć długość cięciwy

• Korzystanie z twierdzenia Pitagorasa
• Korzystanie z prawa cosinusów

Rozumiemy szczegółowo te metody w następujący sposób:

Metoda 1: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Jak wiemy, na poniższym schemacie cięciwy prostopadła poprowadzona ze środka okręgu do cięciwy przecina ją na dwie połowy.

W trójkątach OAM, używając Twierdzenie Pitagorasa ,

R²= x²+ re²

⇒ x²= r²- D²

⇒ x = √(r²- D²)

Ponieważ x jest połową długości cięciwy,

Zatem znana jest długość cięciwy dowolnego okręgu z jego prostopadłą odległością od środka

lista ciągów Java

Długość cięciwy okręgu = 2 ×[√(r ² - D ² )]

Gdzie,

• R jest promieniem okręgu, oraz
• D jest prostopadłą odległością między środkiem okręgu a cięciwą.

Metoda 2: Korzystanie z prawa cosinusów

Jak wiemy dla trójkąta ABC o bokach a, b i c, Prawo cosinusa stany,

C ² = za ² + b ² – 2ab cos C

Korzystając z prawa na poniższym schemacie cięciwy odpowiadającego kątowi θ w środku okręgu, możemy znaleźć długość cięciwy.

W trójkącie OAB, korzystając z twierdzenia cosinusa,

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²bo θ

⇒ x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Zatem długość cięciwy jest określona wzorem:

Długość cięciwy = 2r × sin [θ/2]

Gdzie,

• I jest kątem utworzonym przez cięciwę środkową, oraz
• R jest promieniem okręgu.

Inne powiązane wzory na długość cięciwy

Kiedy dwa okręgi mają wspólny cięciwę, długość tego wspólnego cięciwy można obliczyć za pomocą wzoru

Długość wspólnej cięciwy dwóch okręgów = 2R ₁ ×R ₂ / D

Gdzie,

• R ₁ I R ₂ odnosi się do promieni okręgów
• D jest odległością między dwoma środkami okręgu

Twierdzenia o akordzie okręgu

Cięciwa okręgu wyznacza kąt środkowy okręgu, co pomaga nam udowodnić różne koncepcje dotyczące okręgu. Istnieją różne twierdzenia oparte na cięciwie koła,

• Twierdzenie 1: Równe cięciwy Twierdzenie o równych kątach
• Twierdzenie 2: Twierdzenie o równych kątach (odwrotność twierdzenia 1)
• Twierdzenie 3: Równe cięciwy w równej odległości od twierdzenia centralnego

Omówmy to teraz w poniższym artykule.

Twierdzenie 1: Równe cięciwy Twierdzenie o równych kątach

Sprawozdania: Równe cięciwy opierają się na równych kątach w środku okręgu, tj. kąt oparty na cięciwie jest równy, jeśli cięciwa jest równa.

Dowód:

Z rysunku

W ∆AOB i ∆DOC

• AB = CD…eq(i) (podane)
• OA = OD …eq(ii) (promień okręgu)
• OB = OC …eq(iii) (promień okręgu)

Zatem, zgodnie z warunkami zgodności SSS, Trójkąt ∆AOB i ∆COD są przystające.

Zatem,

∠AOB = ∠DOC (przez CPCT)

W ten sposób twierdzenie zostaje zweryfikowane.

Twierdzenie 2: Twierdzenie o równych kątach (odwrotność twierdzenia 1)

Oświadczenie: Cięciwy tworzące równe kąty w środku okręgu mają jednakową długość. Jest to odwrotność pierwszego twierdzenia.

Z rysunku

W ∆AOB i ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (podane)
• OA = OD …eq(ii) (promień okręgu)
• OB = OC …eq(iii) (promień okręgu)

Zatem, zgodnie z warunkami zgodności SAS, Trójkąt ∆AOB i ∆COD są przystające.

Zatem,

AB = CD (przez CPCT)

W ten sposób twierdzenie zostaje zweryfikowane.

Twierdzenie 3: Równe cięciwy w jednakowej odległości od środka Twierdzenie

Oświadczenie: Równe cięciwy są jednakowo oddalone od środka, tj. odległość między środkiem okręgu a równą cięciwą jest zawsze równa.

Z rysunku

koniec pętli Java

W ∆AOL i ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 stopni)
• OA = OC …eq(ii) (promień okręgu)
• OL = OM …eq(iii) (Podane)

Zatem, zgodnie z warunkami zgodności RHS, Trójkąt ∆AOB i ∆COD są przystające.

Zatem,

AL = CM (przez CPCT)…(iv)

Wiemy, że prostopadła poprowadzona ze środka przecina cięciwy na pół.

Z równania (iv)

2AL=2CM

AB = CD

W ten sposób twierdzenie zostaje zweryfikowane.

Właściwości cięciw okręgu

Istnieją różne właściwości akordów w okręgu, niektóre z nich są następujące:

• Cięciwa przechodząca przez środek okręgu nazywana jest średnicą i jest najdłuższą cięciwą w okręgu.
• Prostopadła do cięciwy, poprowadzona ze środka okręgu, przecina cięciwę na pół.
• Cięciwy znajdujące się w równej odległości od środka okręgu mają jednakową długość.
• Istnieje tylko jeden okrąg przechodzący przez trzy współliniowe punkty.
• Cięciwy o równej długości tworzą równe kąty w środku okręgu.
• Prostopadła dwusieczna cięciwy przechodzi przez środek okręgu.
• Jeśli promień jest prostopadły do ​​cięciwy, to przecina cięciwę i łuk, który przecina. Jest to znane jako twierdzenie o dwusiecznej prostopadłej.
• Jeżeli kąty wyznaczone przez cięciwę są równe, to długości cięciw są również równe.
• Jeżeli dwa cięciwy w okręgu przecinają się, to iloczyn odcinków jednego cięciwy jest równy iloczynowi odcinków drugiego cięciwy. Jest to znane jako twierdzenie o przecinających się akordach.
• Kąt oparty na cięciwie środkowej jest dwukrotnie większy od kąta utworzonego przez cięciwę na obwodzie.

Czytaj więcej,

• Równanie okręgu
• Pole koła
• Obwód koła

Rozwiązane problemy dotyczące cięciwy koła

Zadanie 1: Okrąg to kąt o mierze 70 stopni i promieniu 5 cm. Oblicz długość cięciwy okręgu.

Rozwiązanie:

Dany

• Promień = 5 cm
• Kąt = 70°

Teraz,

mamta kulkarni aktor

długość cięciwy = 2R × Sin [kąt/2]

= 2 × 5 × grzech [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

Zadanie 2: W kręgu , promień wynosi 7 cm, a prostopadła odległość od środka okręgu do jego cięciw wynosi 6 cm. Oblicz długość cięciwy.

Rozwiązanie:

Dany

• Promień = 7 cm
• Odległość = 6 cm

Teraz,

Długość cięciwy = 2 √r²- D²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2 √13 cm

Zadanie 3: Okrąg to kąt o mierze 60 stopni i promieniu 12 cm. Oblicz długość cięciwy okręgu.

Rozwiązanie:

Dany

• Promień = 12 cm
• Kąt = 60°

Teraz,

długość cięciwy = 2R × Sin [kąt/2]

⇒ 2 × 12 × grzech [60/2]

⇒ 24 × grzech30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12cm

Zadanie 4: Promień okręgu wynosi 16 cm, a odległość prostopadła od środka okręgu do jego cięciw wynosi 5 cm. Oblicz długość cięciwy.

Rozwiązanie:

Dany

• Promień = 16 cm
• Odległość = 5 cm

Teraz,

Długość cięciwy = 2 √r²- D²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256-25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

Zadanie 6: Oblicz długość wspólnej cięciwy łączącej okręgi o promieniach odpowiednio 6 cm i 5 cm. Zmierzona odległość między dwoma środkami wynosiła 8 cm.

Rozwiązanie:

Dany

Odległość między środkami = 8 cm

Promień obu okręgów wynosi R₁i R₂o długości odpowiednio 6 cm i 5 cm

Teraz,

Długość wspólnej cięciwy dwóch okręgów = (2R₁×R₂) / Odległość między dwoma środkami okręgów

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Często zadawane pytania dotyczące Akordu Koła

Zdefiniuj akord.

Odcinek linii łączący dwa punkty na obwodzie koła nazywany jest cięciwą.

Co to jest wzór na długość cięciwy?

Wzór na długość cięciwy oblicza długość cięciwy w okręgu.

Czy długość cięciwy może być większa niż średnica koła?

Nie, długość cięciwy nie może być większa niż średnica, ponieważ średnica jest najdłuższą cięciwą okręgu.

Jak wpływa na długość cięciwy, jeśli znajduje się ona bliżej środka okręgu?

Gdy cięciwa zbliża się do środka okręgu, jej długość zbliża się do maksymalnej długości, tj. Średnicy.

Jaki wpływ ma długość cięciwy, jeśli znajduje się ona bliżej krawędzi okręgu?

Gdy cięciwa zbliża się do krawędzi okręgu, jej długość zbliża się do 0. Zatem długość cięciwy i jej odległość od krawędzi mają odwrotną zależność.

Jaki jest związek między długością cięciwy a kątem środkowym okręgu?

Zależność między długością cięciwy e a kątem środkowym okręgu jest następująca:

Długość cięciwy = 2r × sin [θ/2]

Gdzie,

• I jest kątem utworzonym przez cięciwę środkową, oraz
• R jest promieniem okręgu.

Czy wzór na długość cięciwy można zastosować do dowolnego okręgu?

Tak, wzór na długość cięciwy można zastosować do dowolnego okręgu, o ile znany jest promień i kąt środkowy.

Czy średnica jest cięciwą okręgu?

Tak, średnica jest cięciwą koła. Jest to najdłuższa możliwa cięciwa okręgu. Jest równy dwukrotności promienia okręgu.

D = 2r

sortowanie listy według Java

Gdzie,

• D jest średnicą okręgu
• R jest promieniem okręgu