Wielkość charakteryzującą się nie tylko wielkością, ale także kierunkiem, nazywa się wektorem. Prędkość, siła, przyspieszenie, pęd itp. Są wektorami.

Wektory można mnożyć na dwa sposoby:

• Iloczyn skalarny lub iloczyn skalarny
• Produkt wektorowy lub produkt krzyżowy

Spis treści

• Iloczyn skalarny/iloczyn skalarny wektorów
• Rzut jednego wektora na inny wektor
• Właściwości iloczynu skalarnego
• Nierówności oparte na iloczynie skalarnym
• Iloczyn krzyżowy/iloczyn wektorowy wektorów
• Właściwości produktu krzyżowego
• Iloczyn krzyżowy w formie wyznacznika
• Produkt kropkowy i krzyżowy
• Często zadawane pytania dotyczące produktów punktowych i krzyżowych na wektorach

Iloczyn skalarny/iloczyn skalarny wektorów

Wynikowy iloczyn skalarny/iloczyn skalarny dwóch wektorów jest zawsze wielkością skalarną. Rozważmy dwa wektory A I B . Iloczyn skalarny oblicza się jako iloczyn wielkości a, b i cosinus kąta między tymi wektorami.

Iloczyn skalarny = |a||b| ponieważ α

Tutaj,

• |a| = wielkość wektora A,
• |b| = wielkość wektora B , I
• α = kąt między wektorami.

Wektory aib z kątem α pomiędzy nimi

Rzut jednego wektora na inny wektor

Wektor A można rzutować na linię l, jak pokazano poniżej:

CD = rzut wektora a na wektor b

Z powyższego rysunku jasno wynika, że ​​możemy rzutować jeden wektor na drugi. AC jest wielkością wektora A. Na powyższym rysunku AD jest narysowane prostopadle do linii l. CD reprezentuje rzut wektora A na wektorze B .

Trójkąt ACD jest zatem trójkątem prostokątnym i możemy zastosować wzory trygonometryczne.

Jeżeli α jest miarą kąta ACD, to

cos α = CD/AC

Lub, CD = AC cos a

Z rysunku widać, że CD jest rzutem wektora a na wektor b

Możemy zatem stwierdzić, że jeden wektor można rzutować na drugi wektor przez cosinus kąta między nimi.

Właściwości iloczynu skalarnego

• Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest zawsze liczbą rzeczywistą (skalarną).
• Iloczyn skalarny jest przemienny, tj. a.b =b.a= |a||b| ponieważ α
• Jeśli α wynosi 90°, to iloczyn skalarny wynosi zero, ponieważ cos(90) = 0. Zatem iloczyn skalarny wektorów jednostkowych w kierunkach x, y wynosi 0.
• Jeśli α wynosi 0°, to iloczyn skalarny jest iloczynem wielkości A I B |a||b|.
• Iloczyn skalarny wektora jednostkowego sam w sobie wynosi 1.
• Iloczyn skalarny wektora a sam w sobie wynosi |a|²
• Jeśli α wynosi 180⁰, iloczyn skalarny dla wektorów aib wynosi -|a||b|
• Iloczyn skalarny jest rozdzielny przez dodawanie

A. ( B + C ) = a.b + AC

• Zatem dla dowolnego skalara k i m

l A. (M B ) = km a.b

• Jeżeli składowa postać wektorów jest podana jako:

A = za₁x + a₂i + a₃z

B = b₁x + b₂y + b₃z

wówczas iloczyn skalarny jest podawany jako

a.b = za₁B₁+ za₂B₂+ za₃B₃

• Iloczyn skalarny wynosi zero w następujących przypadkach:
  • Wielkość wektora a wynosi zero
  • Wielkość wektora b wynosi zero
  • Wektory a i b są do siebie prostopadłe

Nierówności oparte na iloczynie skalarnym

Istnieją różne nierówności oparte na iloczynie skalarnym wektorów, takie jak:

• Nierówność Cauchy’ego – Schwartza
• Nierówność trójkąta

Omówmy je szczegółowo w następujący sposób:

Nierówność Cauchy’ego – Schwartza

Zgodnie z tą zasadą dla dowolnych dwóch wektorów A I B , wielkość iloczynu skalarnego jest zawsze mniejsza lub równa iloczynowi wielkości wektora a i wektora b

|a.b| ≤ |a| |b|

Dowód:

Ponieważ a.b = |a| |b| ponieważ α

Wiemy, że 0

Zatem dochodzimy do wniosku, że |a.b| ≤ |a| |b|

Nierówność trójkąta

Dla dowolnych dwóch wektorów A I B , zawsze to robimy

| A + B | ≤ | A | + | B |

Nierówność trójkąta

Dowód:

| A + B |²=| A + B || A + B |

= a.a + a.b + b.a + nocleg ze śniadaniem

= | A |²+ 2 a.b +| B |²(iloczyn kropkowy jest przemienny)

zmień nazwę katalogu w systemie Linux

≤ | A |²+ 2| a||b | + | B |²

≤ ( |a | + | b| )²

To dowodzi, że | A + B | ≤ | A | + | b|

Przykłady iloczynu skalarnego wektorów

Przykład 1. Rozważmy dwa wektory takie, że |a|=6 i |b|=3 oraz α = 60°. Znajdź ich iloczyn skalarny.

Rozwiązanie:

a.b = |a| |b| ponieważ α

Więc, a.b = 6,3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Przykład 2. Udowodnij, że wektory a = 3i+j-4k i wektor b = 8i-8j+4k są prostopadłe.

Rozwiązanie :

Wiemy, że wektory są prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

Ponieważ iloczyn skalarny wynosi zero, możemy stwierdzić, że wektory są do siebie prostopadłe.

Iloczyn krzyżowy/iloczyn wektorowy wektorów

Czytelnicy znają już trójwymiarowy, prawoskrętny, prostokątny układ współrzędnych. W tym systemie obrót osi x w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara do dodatniej osi y wskazuje, że prawoskrętna (standardowa) śruba posunęłaby się w kierunku dodatniej osi z, jak pokazano na rysunku.

3D Prostokątny układ współrzędnych

The iloczyn wektorowy lub iloczyn krzyżowy dwóch wektorów A I B z kątem α między nimi jest obliczany matematycznie jako

a × b = |a| |b| bez α

Należy zauważyć, że iloczyn poprzeczny jest wektorem o określonym kierunku. Wynik jest zawsze prostopadły do ​​obu a i b.

Ponadto, jeśli dane są dwa wektory,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)Imathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), ich iloczyn krzyżowy, oznaczony przez a × b, oblicza się jako:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

W przypadku, gdy a i b są wektorami równoległymi, wynik będzie wynosić zero, ponieważ sin(0) = 0

Właściwości produktu krzyżowego

• Produkt krzyżowy generuje wielkość wektorową. Wynik jest zawsze prostopadły do ​​obu a i b.
• Iloczyn krzyżowy wektorów równoległych/wektorów współliniowych wynosi zero, gdy sin(0) = 0.

ja × ja = jot × jot = k × k = 0

• Iloczyn krzyżowy dwóch wzajemnie prostopadłych wektorów o jednostkowej wielkości każdy jest jednością. (Ponieważ grzech(0)=1)
• Iloczyn krzyżowy nie jest przemienny.

a × b nie jest równe b × a

• Iloczyn krzyżowy jest rozdzielny w stosunku do dodawania

× ( B + C ) = A × ur + A × C

• Jeśli k jest skalarem, to

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• Poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara i biorąc iloczyn dowolnych dwóch par wektorów jednostkowych, otrzymujemy trzeci, a w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy wynik ujemny.

Krzyżuj produkt w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i przeciwnym do ruchu wskazówek zegara

Można ustalić następujące wyniki:

Iloczyn krzyżowy w formie wyznacznika

Jeśli wektor A jest reprezentowany jako a = a1x + a2y + a3z i wektor B jest reprezentowany jako b = b1x + b2y + b3z

Następnie iloczyn krzyżowy a × b można obliczyć za pomocą postaci wyznacznika

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Następnie, a × b = x(a₂B₃- B₂A₃) + y(a₃B₁- A₁B₃) + z(a₁B₂- A₂B₁)

Jeśli a i b są sąsiadującymi bokami równoległoboku OXYZ, a α jest kątem pomiędzy wektorami a i b.

Następnie pole równoległoboku wyraża się wzorem | a × b | = |a| |b|grzech.a

Wektory a i b jako sąsiednie boki równoległoboku

Przykłady z C produkt Rossa Vectors

Przykład 1. Znajdź iloczyn krzyżowy dwóch wektorów a i b, jeśli ich wielkości wynoszą odpowiednio 5 i 10. Biorąc pod uwagę, że kąt pomiędzy nimi wynosi 30°.

Rozwiązanie:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 prostopadle do A I B

Przykład 2. Znajdź obszar równoległoboku, którego sąsiednie boki są

a = 4i+2j -3k

b= 2 i +j-4k

Rozwiązanie :

Pole oblicza się, znajdując iloczyn poprzeczny sąsiednich boków

a × b = x(a₂B₃- B₂A₃) + y(a₃B₁- A₁B₃) + z(a₁B₂- A₂B₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

sortuj listę tablic java

= -5i +10j

Dlatego wielkość obszaru wynosisqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Produkt kropkowy i krzyżowy

Oto niektóre z typowych różnic między iloczynem skalarnym i krzyżowym wektorów:

Czytaj więcej,

• Algebra wektorowa
• Skalarny i wektorowy
• Iloczyn skalarny dwóch wektorów
• Iloczyn wektorów

Często zadawane pytania dotyczące produktów punktowych i krzyżowych na wektorach

Co iloczyn skalarny przedstawia geometrycznie?

Iloczyn skalarny dwóch wektorów reprezentuje rzut jednego wektora na drugi, skalowany według ich wielkości i cosinusa kąta między nimi.

Jak iloczyn skalarny jest używany w geometrii?

Służy do znajdowania kątów między wektorami, wyznaczania wektorów ortogonalnych, obliczania rzutów i pomiaru podobieństwa między wektorami.

Co się stanie, jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów wynosi zero?

Jeśli iloczyn skalarny wynosi zero, oznacza to, że wektory są do siebie ortogonalne (prostopadłe).

Co geometrycznie reprezentuje iloczyn krzyżowy?

Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów reprezentuje wektor prostopadły do ​​płaszczyzny zawierającej pierwotne wektory. Jego wielkość jest równa powierzchni równoległoboku utworzonego przez wektory.

Jak znaleźć kierunek iloczynu krzyżowego?

Skorzystaj z reguły prawej dłoni: skieruj prawy kciuk w kierunku pierwszego wektora, palec wskazujący w kierunku drugiego wektora, a palec środkowy będzie wskazywał w kierunku iloczynu poprzecznego.