Załóżmy, że istnieją dwie formuły, X i Y. Formuły te będą znane jako równoważność, jeśli X ↔ Y jest tautologią. Jeśli dwa wzory X ↔ Y są tautologią, to możemy je również zapisać jako X ⇔ Y i możemy odczytać tę relację, gdy X jest równoważne Y.

Uwaga: Istnieje kilka punktów, o których powinniśmy pamiętać przy liniowej równoważności wzoru, które opisano w następujący sposób:

• ⇔ służy do wskazania tylko symbolu, ale nie ma charakteru łącznikowego.
• Wartość logiczna X i Y będzie zawsze równa, jeśli X ↔ Y jest tautologią.
• Relacja równoważności zawiera dwie właściwości, tj. symetryczną i przechodnią.

Metoda 1: Metoda tabeli prawdy:

W tej metodzie skonstruujemy tabele prawdy dowolnego wzoru składającego się z dwóch zdań, a następnie sprawdzimy, czy stwierdzenia te są równoważne.

Przykład 1: W tym przykładzie musimy udowodnić X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Rozwiązanie: Tabela prawdy X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) jest opisana w następujący sposób:

Jak widzimy, że X ∨ Y i ¬(¬X ∧ ¬Y) jest tautologią. Stąd X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Przykład 2: W tym przykładzie musimy udowodnić (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Rozwiązanie: Tabela prawdy (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) jest opisana w następujący sposób:

Jak widzimy, że X → Y i (¬X ∨ Y) są tautologią. Stąd (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Wzór równoważności:

Aby udowodnić wzór na równoważność, stosuje się różne prawa, które opisano w następujący sposób:

Prawo idempotentne: Jeśli istnieje jedna formuła instrukcji, będzie ona posiadać następujące właściwości:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Prawo stowarzyszeniowe: Jeśli istnieją trzy formuły instrukcji, wówczas będą one posiadać następujące właściwości:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Prawo przemienne: Jeśli istnieją dwie formuły instrukcji, wówczas będzie ona posiadać następujące właściwości:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Prawo rozdzielcze: Jeśli istnieją trzy formuły instrukcji, wówczas będą one posiadać następujące właściwości:

jak zmienić nazwę katalogu Linux

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Prawo tożsamości: Jeśli istnieje jedna formuła instrukcji, będzie ona posiadać następujące właściwości:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Prawo uzupełniające: Jeśli istnieje jedna formuła instrukcji, będzie ona posiadać następujące właściwości:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Prawo absorpcji: Jeśli istnieją dwie formuły instrukcji, wówczas będzie ona posiadać następujące właściwości:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Z prawa Morgana: Jeśli istnieją dwie formuły instrukcji, wówczas będzie ona posiadać następujące właściwości:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Metoda 2: Proces wymiany

W tej metodzie przyjmiemy wzór A : X → (Y → Z). Wzór Y → Z można nazwać częścią wzoru. Jeśli zastąpimy tę część wzoru, czyli Y → Z, za pomocą wzoru równoważności ¬Y ∨ Z w A, to otrzymamy inny wzór, czyli B : X → (¬Y ∨ Z). Łatwo jest sprawdzić, czy podane wzory A i B są sobie równoważne, czy nie. Za pomocą procesu zastępowania możemy uzyskać B z A.

Przykład 1: W tym przykładzie musimy udowodnić, że {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Rozwiązanie: Tutaj weźmiemy lewą część i spróbujemy uzyskać prawą część.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Teraz skorzystamy z prawa skojarzeń w następujący sposób:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Teraz skorzystamy z prawa De Morgana w następujący sposób:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Stąd udowodnione

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Przykład 2: W tym przykładzie musimy udowodnić, że {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Rozwiązanie: Tutaj weźmiemy lewą część i spróbujemy uzyskać prawą część.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Stąd udowodnione

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Przykład 3: W tym przykładzie musimy udowodnić, że X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

mvc java

Rozwiązanie: Tutaj weźmiemy lewą część i spróbujemy uzyskać prawą część.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Stąd udowodnione

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Przykład 4: W tym przykładzie musimy udowodnić, że (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Rozwiązanie: Tutaj weźmiemy lewą część i spróbujemy uzyskać prawą część.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Teraz użyjemy praw łączenia i rozdzielności w następujący sposób:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Teraz skorzystamy z prawa De Morgana w następujący sposób:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Teraz skorzystamy z prawa rozdzielności w następujący sposób:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Stąd udowodnione

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Przykład 5: W tym przykładzie musimy pokazać, że ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) jest tautologią.

Rozwiązanie: Tutaj weźmiemy małe części i rozwiążemy je.

Najpierw skorzystamy z prawa De Morgana i otrzymamy:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Dlatego,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Również

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Stąd

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Zatem

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Można zatem powiedzieć, że podany wzór jest tautologią.

Przykład 6: W tym przykładzie musimy pokazać, że (X ∧ Y) → (X ∨ Y) jest tautologią.

Rozwiązanie: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Teraz skorzystamy z prawa De Morgana w następujący sposób:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Teraz użyjemy prawa skojarzeń i prawa przemienności w następujący sposób:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Teraz skorzystamy z prawa negacji w następujący sposób:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Można zatem powiedzieć, że podany wzór jest tautologią.

Przykład 7: W tym przykładzie musimy napisać negację niektórych stwierdzeń, które opisano w następujący sposób:

1. Marry ukończy edukację lub zaakceptuje list przyłączeniowy firmy XYZ.
2. Jutro Harry pójdzie na przejażdżkę lub pobiegnie.
3. Jeśli dostanę dobre oceny, mój kuzyn będzie zazdrosny.

Rozwiązanie: Najpierw rozwiążemy pierwsze stwierdzenie w następujący sposób:

1. Załóżmy, że X: Marry zakończy edukację.

Y: Zaakceptuj list przyłączeniowy firmy XYZ.

Aby wyrazić to stwierdzenie, możemy użyć następującej symbolicznej formy:

 X ∨ Y 

Negacja X ∨ Y jest opisana w następujący sposób:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Podsumowując, negacją danego stwierdzenia będzie:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Załóżmy, że X: Harry pójdzie na przejażdżkę

Y: Harry będzie jutro biegał

Aby wyrazić to stwierdzenie, możemy użyć następującej symbolicznej formy:

 X ∨ Y 

Negacja X ∨ Y jest opisana w następujący sposób:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Podsumowując, negacją danego stwierdzenia będzie:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Załóżmy, że X: Jeśli dostanę dobre oceny.

Y: Mój kuzyn będzie zazdrosny.

Aby wyrazić to stwierdzenie, możemy użyć następującej symbolicznej formy:

 X → Y 

Negacja X → Y jest opisana w następujący sposób:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Podsumowując, negacją danego stwierdzenia będzie:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Przykład 8: W tym przykładzie musimy zapisać negację niektórych stwierdzeń za pomocą prawa De Morgana. Stwierdzenia te opisano w następujący sposób:

1. Potrzebuję zestawu diamentów i wartego złotego pierścionka.
2. Dostaniesz dobrą pracę albo nie znajdziesz dobrego partnera.
3. Biorę dużo pracy i nie mogę sobie z tym poradzić.
4. Mój pies wyjeżdża na wycieczkę lub robi bałagan w domu.

Rozwiązanie: Negacja wszystkich twierdzeń za pomocą prawa De Morgana jest opisana jeden po drugim w następujący sposób:

1. Nie potrzebuję zestawu diamentów ani nie jestem wart złotego pierścionka.
2. Nie możesz znaleźć dobrej pracy, ale znajdziesz dobrego partnera.
3. Nie biorę dużo pracy i sobie z tym poradzę.
4. Mój pies nie jeździ na wycieczki i nie robi bałaganu w domu.

Przykład 9: W tym przykładzie mamy kilka stwierdzeń i musimy napisać ich zaprzeczenie. Stwierdzenia opisano w następujący sposób:

1. Jeśli pada deszcz, plan wyjścia na plażę zostaje odwołany.
2. Jeśli będę się pilnie uczył, dostanę dobre oceny na egzaminie.
3. Jeśli pójdę na wieczorną imprezę, zostanę ukarany przez mojego ojca.
4. Jeśli nie chcesz ze mną rozmawiać, musisz zablokować mój numer.

Rozwiązanie: Negacja wszystkich stwierdzeń jest opisana jeden po drugim w następujący sposób:

1. Jeśli plan wyjścia na plażę zostanie odwołany, oznacza to, że pada deszcz.
2. Jeśli dostanę dobre oceny na egzaminie, to będę się pilnie uczył.
3. Jeśli dostanę karę od ojca, to idę na wieczorną imprezę.
4. Jeśli musisz zablokować mój numer, to nie chcesz ze mną rozmawiać.

Przykład 10: W tym przykładzie musimy sprawdzić, czy (X → Y) → Z i X → (Y → Z) są logicznie równoważne, czy nie. Naszą odpowiedź musimy uzasadnić za pomocą tablic prawdy oraz za pomocą reguł logiki upraszczających oba wyrażenia.

Rozwiązanie: Najpierw zastosujemy metodę 1, aby sprawdzić, czy (X → Y) → Z i X → (Y → Z) są logicznie równoważne, co opisano w następujący sposób:

przykładem systemu operacyjnego typu open source jest

Metoda 1: Tutaj założymy, co następuje:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

I

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Metoda 2: Teraz użyjemy drugiej metody. W tej metodzie będziemy korzystać z tabeli prawdy.

W tej tabeli prawdy widzimy, że kolumny (X → Y) → Z i X → (Y → Z) nie zawierają identycznych wartości.