Dodawanie i odejmowanie ułamków może na pierwszy rzut oka wydawać się onieśmielające. Nie tylko pracujesz z ułamkami zwykłymi, które są notorycznie mylące, ale nagle musisz także zmagać się z przeliczaniem liczników i mianowników.
Ale dodawanie i odejmowanie ułamków jest przydatną umiejętnością. Kiedy już poznasz słownictwo i podstawy, będziesz z łatwością dodawać i odejmować ułamki zwykłe. W tym przewodniku znajdziesz wszystko, co musisz wiedzieć o dodawaniu i odejmowaniu ułamków zwykłych , w tym kilka przykładowych zadań sprawdzających Twoje umiejętności.
Kluczowe słownictwo dotyczące dodawania i odejmowania ułamków zwykłych
Zanim przejdziemy do matematyki związanej z dodawaniem i odejmowaniem ułamków, musisz poznać terminologię. Będziemy używać tych terminów przez cały czas , więc odśwież je, aby mieć pewność, że zawsze wiesz, o której części ułamka mówimy.
Frakcja : Liczba, która nie jest liczbą całkowitą; część całości. Dla naszych celów ułamek będzie odnosił się do liczby zapisanej za pomocą a licznik ułamka i a mianownik , na przykład 1/5 USD lub 147/4 USD.
Licznik ułamka : Górna liczba w ułamku, odzwierciedlająca liczbę części całości, np. 1 w /5$.
Mianownik : Dolna liczba ułamka reprezentująca całkowitą liczbę części, np. 5 w /5$.
Wspólny mianownik : Gdy dwa ułamki mają ten sam mianownik, np. 1/3 $ i 2/3 $.
Najmniejszy wspólny mianownik : Najmniejszy mianownik, jaki mogą dzielić dwa ułamki. Na przykład najmniejszym wspólnym mianownikiem 1/2 $ i 1/5 $ jest 10, ponieważ najmniejsza liczba, na którą składają się zarówno 2, jak i 5, to 10.
Ciasta robią świetne ułamki.
Jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe?
Skoro masz już słownictwo, czas zastosować je w praktyce. Nie można po prostu dodawać ani odejmować ułamków, tak jak na przykład liczba całkowita /4 - 1/2$ nie równa się 0/2$.
Zamiast, zanim zaczniesz dodawać lub odejmować, musisz znaleźć wspólny mianownik . Istnieje wiele sposobów na znalezienie wspólnego mianownika, niektóre z nich są łatwiejsze lub bardziej skuteczne niż inne.
Jednym z najłatwiejszych sposobów znalezienia wspólnego mianownika, choć niekoniecznie najlepszym, jest po prostu pomnożenie obu mianowników przez siebie.
Na przykład możliwym najmniejszym wspólnym mianownikiem dla 1/2 $ i 1/12 $ byłoby 24, które można znaleźć, mnożąc mianownik 2 przez mianownik 12. Możesz rozwiązać problem, używając wspólnego mianownika 24, wykonując poniższe kroki, ale jeśli to zrobisz, napotkasz problem – Twój ułamek będzie musiał zostać zmniejszony.
Aby wyeliminować potrzebę redukcji po dodaniu lub odjęciu, zamiast tego spróbuj znaleźć najmniejszy wspólny mianownik. Czasami będzie to równoznaczne z pomnożeniem dwóch mianowników razem, ale często tak nie jest.
Jednak znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika nie jest trudne — musisz po prostu zapoznać się z tabliczką mnożenia . Na przykład spróbujmy znaleźć najmniejszy wspólny mianownik, a nie tylko wspólny mianownik, dla tych samych ułamków, których użyliśmy powyżej:
$/2: i : 1/12$$.
Aby to zrobić, wypisz kilka wielokrotności każdego mianownika
Wielokrotność 2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12 , 14, 16, 18, 20, 22, 24
Wielokrotność 12 : 12 , 24, 36, 48, 60
Następnie spójrz na obie listy wielokrotności i znajdź najniższą liczbę, która jest wspólna dla obu. W tym przypadku zarówno 2, jak i 12 mają wspólną wielokrotność 12. Gdybyśmy szli dalej, otrzymalibyśmy inne wielokrotności, które dzielą, np. 24, ale Liczba 12 jest najmniejsza, co oznacza, że jest to najmniejsza wspólna wielokrotność .
Można to zrobić z dowolną parą liczb, chociaż większe liczby mogą stanowić większe wyzwanie. Aby dodać lub odjąć, zawsze możesz wrócić do prostego mnożenia jednego mianownika przez drugi, jeśli masz problem ze znalezieniem najmniejszego wspólnego mianownika , ale pamiętaj, że prawdopodobnie będziesz musiał zmniejszyć.
Ułamki zwykłe to najsmaczniejsza część matematyki.
Jak dodawać ułamki — metoda 1
Teraz, gdy wiesz, jak znaleźć wspólny mianownik, możesz przystąpić do dodawania i odejmowania.
Wróćmy do przykładu /2$ i /12$ — w tym przypadku spójrzmy na ten problem:
/2 $ + 1/12 $$
Pamiętaj, że nie możesz dodawać bezpośrednio; 1/2 $ + 1/12 $ nie równa się 2/14 $.
#1: Znajdź wspólny mianownik
Najpierw znajdziemy najmniejszy wspólny mianownik, ponieważ jest to na ogół najlepszy sposób.
Powyższą pracę już wykonaliśmy, ale dla przypomnienia: będziesz chciał wypisać serię wielokrotności każdej liczby, aż znajdziesz dopasowanie . W tym przypadku zarówno 2, jak i 12 mają wielokrotność 12.
Obliczanie stażu pracy w Excelu
#2: Pomnóż, aby każdy licznik miał ten sam mianownik
Zawsze pamiętaj, że wszystko, co robisz z mianownikiem, należy również zrobić z licznikiem. Przyjrzyjmy się więc tym dwóm ułamkom, które potrzebujemy, aby przekroczyć mianownik 12.
1/12 $ jest łatwe — przekroczyło już mianownik 12, więc nie musimy z tym nic robić.
1/2 $ będzie wymagało trochę pracy. Jaka liczba pomnożona przez 2 będzie równa 12?
Inaczej sformułować to pytanie jako problem, który możemy rozwiązać: 2 $*? = 12 $. Lub, jeszcze prościej, możemy odwrócić tę operację aby otrzymać 12/2=?$, które możemy łatwo rozwiązać.
Teraz wiemy, że aby przejść od mianownika 2 do mianownika 12, musimy pomnożyć przez 6. Ponownie pamiętaj, że wszystko, co robisz z mianownikiem, należy również zrobić z licznikiem, więc pomnóż górę i w dół o 6, aby otrzymać 6/12 $.
#3: Dodaj liczniki, ale zostaw mianowniki w spokoju
Teraz, gdy masz te same mianowniki, możesz dodać liczniki prosto.
W tym przypadku będzie to oznaczać, że 6/12 $ + 1/12 = 7/12 $. Zadaj sobie pytanie, czy możesz zmniejszyć ułamek, zanurzając licznik i mianownik o tę samą liczbę. W tym przypadku nie możesz, więc Twoja odpowiedź to proste 7/12 $.
Jak dodawać ułamki — metoda 2
Alternatywnie możemy po prostu pomnożyć oba mianowniki, aby znaleźć inny wspólny mianownik. Jest to inny sposób rozwiązania problemu, ale zakończy się tą samą odpowiedzią.
#1: Pomnóż mianowniki razem
Żadnych wymyślnych sztuczek — po prostu pomnóż 2 przez 12, aby otrzymać 24. To będzie twój wspólny mianownik.
#2: Pomnóż, aby każdy licznik miał ten sam mianownik
Podobnie jak w przypadku znalezienia najmniejszego wspólnego mianownika, będziemy musieli pomnożyć zarówno górną, jak i dolną liczbę każdego ułamka. W takim przypadku użyj operacji odwrotnych, aby dowiedzieć się, jaką liczbę musisz pomnożyć.
Jeśli 1/2 $ musi wynosić $?/24 $, możesz wykonać 24 2 $, aby dowiedzieć się, jaką liczbę musisz pomnożyć przez — 12. Pomnóż górę i dół przez 12, aby otrzymać 12/24 $.
Powtórz proces z /12$. Jeśli /12$ musi wynosić $?/24$, rozwiąż ÷12$, aby otrzymać 2. Teraz pomnóż licznik i mianownik /12$ przez 2, aby otrzymać /24$.
#3: Dodaj liczniki razem
Teraz możesz po prostu dodawać bezpośrednio. 12/24 $ + 2/24 = 14/24 $ $.
#4: Zmniejsz
Tutaj pojawia się dodatkowy krok. 14/24 $ nie jest ułamkiem w najniższej formie, więc będziemy musieli go zmniejszyć. Aby dokonać redukcji, musimy podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę.
Aby to zrobić, musimy znaleźć największy wspólny czynnik. Podobnie jak w przypadku znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności, oznacza to wyliczanie liczb, aż znajdziemy dwa czynniki, które mają wspólne zarówno licznik, jak i mianownik, z wyłączeniem 1, na przykład:
14 : 2 , 7
24 : 2 , 3, 4, 6, 8, 12
Jaką liczbę mają ze sobą wspólnego? 2. Oznacza to, że 2 jest naszym największym wspólnym dzielnikiem i dlatego jest liczbą, przez którą będziemy dzielić licznik i mianownik.
÷2=7$ i ÷2=12$ dając nam odpowiedź /12$.
Odpowiedź jest taka sama, jak w przypadku rozwiązania przy użyciu najmniejszej wspólnej wielokrotności i nie można jej dalej redukować, więc to jest nasza ostateczna odpowiedź!
Jeśli kiedykolwiek zdarzy Ci się, że zapiszesz wiele czynników bez większego powodzenia, istnieje kilka szybkich sposobów na znalezienie potencjalnych czynników.
zmień dodaj kolumnę Oracle
- Jeśli liczba jest parzysta, można ją podzielić przez 2.
- Jeśli możesz dodać cyfry liczby, która jest podzielna przez 3, liczba ta będzie podzielna przez 3, na przykład 96 (9+6=15$ i 1+5=6$, które dzieli się przez 3).
- Jeśli liczba kończy się na 5 lub 0, jest podzielna przez 5.
Weźmy na przykład 50 i 32. Jasne, moglibyśmy po prostu podzielić oba przez 2 i dalej zmniejszać, ale jeśli zrobisz 50-32 $, otrzymasz 18, co oznacza, że po osiągnięciu 18 przestaniemy szukać największego wspólnego dzielnika .
W praktyce wygląda to tak:
pięćdziesiąt : 2 , 5, 10
32 : 2 , 4, 8, 16
Zamiast kontynuować, wiemy, że należy się zatrzymać, gdy następnym czynnikiem będzie liczba 18 lub więcej, co powstrzymuje nas od spędzania większej ilości czasu na szukaniu czynników, których nie potrzebujemy. Dużo szybciej możemy zobaczyć, że największy wspólny dzielnik wynosi 2 i przejść do problemu!
1/1 USD - 1/? = mniam$
Jak odejmować ułamki
Kiedy już opanujesz dodawanie ułamków zwykłych, odejmowanie ułamków stanie się dziecinnie proste! Proces jest dokładnie taki sam, chociaż naturalnie będziesz odejmować zamiast dodawać.
#1: Znajdź wspólny mianownik
Spójrzmy na następujący przykład:
/3-3/10$$
Musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników, która będzie wyglądać następująco:
3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
10 : 10, 20, 30
Pierwszą wspólną liczbą jest 30, więc oba liczniki przełożymy na mianownik 30.
#2: Pomnóż, aby oba liczniki miały ten sam mianownik
Najpierw musimy dowiedzieć się, ile będziemy musieli pomnożyć licznik i mianownik każdego ułamka przez, aby otrzymać mianownik 30. Dla 2/3 $, jaka liczba razy 3 równa się 30? W formie równania:
÷ 3 =?$$
Nasza odpowiedź to 10, więc pomnożymy licznik i mianownik przez 10, aby otrzymać 20/30 $.
Następnie powtórzymy proces dla drugiej frakcji. Jaką liczbę musimy pomnożyć przez 10, aby otrzymać 30? Cóż, 30 ÷ 10 = 3 $, więc pomnożymy górę i dół przez 3, aby otrzymać 9/30 $.
To sprawia, że nasz problem wynosi 20/30-9/30 dolarów, co oznacza, że jesteśmy gotowi na kontynuację!
#3: Odejmij liczniki
Podobnie jak to zrobiliśmy z dodawaniem, odejmiemy jeden licznik od drugiego, ale pozostawimy mianowniki w spokoju.
20/30-9/30 $ 20/30-9/30 = 11/30 $$.
Ponieważ znaleźliśmy najmniejszą wspólną wielokrotność, wiemy już, że problemu nie można już dalej redukować.
Załóżmy jednak, że właśnie pomnożyliśmy 3 przez 10, aby otrzymać mianownik 30, więc musimy sprawdzić, czy możemy dokonać redukcji. Użyjmy tej małej sztuczki, której się nauczyliśmy, aby znaleźć najlepszych możliwy wspólny czynnik. Niezależnie od tego, jakie są wspólne czynniki 11 i 30, nie mogą one być większe niż 30–11 USD, czyli 19.
jedenaście : jedenaście
30 : 2, 3, 5, 6, 10, 15
Ponieważ nie mają one żadnych wspólnych czynników, odpowiedzi nie można dalej ograniczać.
/10$ pizza jest nadal smaczna za 10 USD/10 USD.
Dodawanie i odejmowanie ułamków — przykłady
Omówmy jeszcze kilka przykładowych problemów!
/15-4/9$$
#1: Znajdź wspólny mianownik
piętnaście : 15, 30, Cztery pięć , 60
9 : 9, 18, 27, 26, Cztery pięć
#2: Pomnóż, aby oba liczniki miały ten sam mianownik
/15=o3$$
8 $ 3 = 24 $ $
15 dolarów * 3 = 45 dolarów
/45 $$
$÷9=o5$$
4 $ * 5 = 20 $ $
9 USD * 5 = 45 USD
/45 $$
#3: Odejmij liczniki
/45-20/45=o4/o45$$
/11+3/4$$
#1: Znajdź wspólny mianownik
jedenaście : 11, 22, 33, 44
4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44
#2: Pomnóż, aby oba liczniki miały ten sam mianownik
÷11=o4$$
6 $ * 4 = 24 $ $
11 $ * 4 = 44 $ $
/44 $$
$÷4=o11$$
3 $ * 11 = 33 $ $
4 $ * 11 = 44 $ $
/44 $$
#3: Dodaj liczniki
$/44+33/44=o57/o44$$ lub $$o1 o13/o44$$
/7-11/21 $$
#1: Znajdź wspólny mianownik
7 : 7, 14, dwadzieścia jeden
dwadzieścia jeden : dwadzieścia jeden , 42, 63
#2: Pomnóż, aby oba liczniki miały ten sam mianownik
$÷7=o3$$
co to jest plik desktop.ini
3 $ * 4 = 12 $ $
3 $ * 7 = 21 $ $
$/21$$
/2$ to już ponad 21, więc nie musimy nic robić.
#3: Odejmij liczniki
/21-11/21=o1/21$$
/9+7/13$$
#1: Znajdź wspólny mianownik
9 : 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117
13 : 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117
#2: Pomnóż, aby oba liczniki miały ten sam mianownik
$7÷9=o13$$
8 USD * 13 = 104 USD
9 USD * 13 = 117 USD
4/117 $$
$7÷13=o9$$
7 USD * 9 = 63 USD
13 $ * 9 = 117 $ $
/117 $$
#3: Dodaj liczniki
$4/117+63/117=o167/o117$$
Co dalej?
Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych stanie się jeszcze prostsze, jeśli zaczniesz zamieniać ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe!
Jeśli nie masz pewności, na jakie zajęcia z matematyki w szkole średniej powinieneś uczęszczać, ten przewodnik Ci pomoże ustal swój harmonogram i upewnij się, że jesteś gotowy na studia!
Teraz, gdy jesteś ekspertem w dodawaniu i odejmowaniu ułamków, rzuć sobie wyzwanie, ucząc się jak przekonwertować stopnie Celsjusza na Fahrenheita !