Pierwiastek kwadratowy dowolnej wartości liczbowej to wartość, która po samomnożeniu daje liczbę pierwotną. „√” to radykalny symbol używany do przedstawienia pierwiastka dowolnej liczby. Przez pierwiastek kwadratowy rozumiemy potęgę 1/2 tej liczby. Załóżmy na przykład, że x jest pierwiastkiem kwadratowym z dowolnej liczby całkowitej y, co oznacza, że x=√y. Mnożąc równanie, otrzymujemy również x2= y.
Pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej daje liczbę pierwotną.
Aby zrozumieć tę koncepcję, wiemy, że kwadrat 4 to 16, a pierwiastek kwadratowy z 16 to √16 = 4. Jak widzimy, 16 to idealna liczba kwadratowa. Ułatwia to obliczenie pierwiastka kwadratowego takich liczb. Jednak obliczenie pierwiastka kwadratowego z niedoskonałego kwadratu, takiego jak 3, 5, 7 itd., jest trudnym procesem.
Funkcja pierwiastka kwadratowego to funkcja jeden do jednego, która wykorzystuje jako dane wejściowe liczbę dodatnią i zwraca pierwiastek kwadratowy z podanej liczby wejściowej.
f(x) = √x
Właściwości pierwiastków kwadratowych
Niektóre z ważnych właściwości pierwiastka kwadratowego są następujące:
- Dla doskonałej liczby kwadratowej istnieje doskonały pierwiastek kwadratowy.
- Dla liczby kończącej się parzystą liczbą zer istnieje pierwiastek kwadratowy.
- Pierwiastek kwadratowy z liczb ujemnych nie jest zdefiniowany.
- Dla liczby kończącej się cyframi 2, 3, 7 lub 8 nie istnieje doskonały pierwiastek kwadratowy.
- W przypadku liczby kończącej się cyframi 1, 4, 5, 6 lub 9 liczba będzie miała pierwiastek kwadratowy.
Jak obliczyć pierwiastek kwadratowy?
Idealne liczby kwadratowe to liczby całkowite o charakterze dodatnim, które można łatwo wyrazić w postaci pomnożenia liczby przez nią samą. Idealne liczby kwadratowe są przedstawiane jako wartość potęgi 2 dowolnej liczby całkowitej. Obliczanie pierwiastka kwadratowego z doskonałych liczb kwadratowych jest stosunkowo łatwiejsze. Istnieją cztery główne metody obliczania pierwiastka kwadratowego z liczb:
- Metoda powtarzanego odejmowania pierwiastka kwadratowego
- Pierwiastek kwadratowy metodą faktoryzacji pierwszej
- Pierwiastek kwadratowy metodą szacunkową
- Pierwiastek kwadratowy metodą długiego dzielenia
Powyższe trzy metody można zastosować do obliczenia pierwiastka kwadratowego z doskonałych liczb kwadratowych. Ostatnią metodę można jednak zastosować w przypadku obu typów liczb.
Metoda powtarzanego odejmowania pierwiastków kwadratowych
Metoda opiera się na następującej sekwencji kroków:
Krok 1: Odejmij kolejne liczby nieparzyste od liczby, dla której znajdujemy pierwiastek kwadratowy.
Krok 2: Powtarzaj krok 1, aż do osiągnięcia wartości 0.
Krok 3: Liczba powtórzeń kroku 1 jest wymaganym pierwiastkiem kwadratowym z podanej liczby.
Notatka: Metodę tę można zastosować tylko w przypadku idealnych kwadratów.
Na przykład dla liczby 16 metoda działa w następujący sposób:
16 – 1 = 15
15 – 3 =12
12 – 5 = 7
7-7 = 0
Proces powtarza się 4 razy. Zatem √16 = 4.
Pierwiastek kwadratowy metodą faktoryzacji pierwszej
Rozkład na czynniki pierwsze dowolnej liczby to przedstawienie tej liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych. Metoda opiera się na następującej sekwencji kroków:
Krok 1: Podziel podaną liczbę na jej czynniki pierwsze.
Krok 2: Parę czynników podobnych tworzy się w taki sposób, aby oba czynniki w każdej z utworzonych par były sobie równe.
miast w Australii
Krok 3: Z każdej pary wybierz jeden czynnik.
Krok 4: Iloczyn czynników oblicza się, biorąc po jednym czynniku z każdej pary.
Krok 5: Otrzymany iloczyn jest pierwiastkiem kwadratowym z podanej liczby.
Notatka: Metodę tę można zastosować tylko w przypadku idealnych kwadratów.
Na przykład dla liczby 64 metoda działa w następujący sposób:
w pełnej formie
64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}
64 = 22×22×22
64 = (2 × 2 × 2)2
64 = (8)2
√64 = 8
Pierwiastek kwadratowy metodą szacunkową
Metodę estymacji stosuje się w celu przybliżenia pierwiastka kwadratowego z danej liczby. Przybliża pierwiastek kwadratowy liczby do rozsądnego przypuszczenia rzeczywistej wartości. W tej metodzie obliczenia są łatwiejsze. Jest to jednak proces naprawdę długi i czasochłonny.
Krok 1: Znajdź najbliższy idealny kwadrat występujący zarówno przed, jak i po podanej liczbie.
Krok 2: Znajdź kolejne najbliższe liczby całkowite i zaokrąglij je za każdym razem, aby uzyskać najbliższą odpowiedź.
Na przykład dla liczby 15 metoda działa w następujący sposób:
9 i 16 to idealne liczby kwadratowe przed i po, najbliższe 15. Wiemy, że
√16 = 4 i √9 = 3. Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy liczby 15 występuje pomiędzy 3 a 4. Teraz proces polega na ocenie, czy pierwiastek kwadratowy z liczby 15 jest bliższy 3 czy 4.
W pierwszym przypadku przyjmujemy 3,5 i 4. Kwadrat 3,5 = 12,25 i pierwiastek kwadratowy z 4 = 16. Zatem pierwiastek kwadratowy z liczby całkowitej 15 leży pomiędzy 3,5 a 4 i jest bliżej 4.
Dalej znajdujemy kwadraty 3,8 i 3,9, które odpowiadają 3,82= 14,44 i 3,92= odpowiednio 15,21. Oznacza to, że √15 leży pomiędzy 3,8 a 3,9. Po dalszej ocenie otrzymujemy, że √15 = 3,872.
Pierwiastek kwadratowy metodą długiego dzielenia
Metoda długiego dzielenia do obliczania pierwiastka kwadratowego z liczb polega na dzieleniu dużych liczb na kroki lub części, dzieląc w ten sposób problem na sekwencję łatwiejszych kroków.
Na przykład dla liczby 180 metoda działa w następujący sposób:
Krok 1: Nad każdą parą cyfr liczby, zaczynając od miejsca jednostki, umieszcza się kreskę.
Krok 2: Liczba znajdująca się najbardziej na lewo jest następnie dzielona przez największą liczbę w taki sposób, że kwadrat jest mniejszy lub równy liczbie w parze znajdującej się najbardziej na lewo.
Krok 3: Teraz liczba pod następnym słupkiem po prawej stronie reszty zostanie obniżona. Ostatnią cyfrę otrzymanego ilorazu dodaje się do dzielnika. Teraz następnym krokiem jest znalezienie liczby na prawo od otrzymanej sumy, takiej aby wraz z wynikiem sumy utworzyła nowy dzielnik nowej dywidendy.
Krok 4: Otrzymana liczba w ilorazu jest równa liczbie wybranej w dzielniku.
Krok 5: Ten sam proces powtarza się, używając kropki dziesiętnej i dodając zera parami do reszty.
Krok 6: Iloraz stanowi pierwiastek kwadratowy z liczby.
Przykładowe pytania
Pytanie 1. Oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby 144 metodą faktoryzacji pierwszej?
Rozwiązanie:
egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array} obsada sql144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}
144 = 22×22×32
144 = (2 × 2 × 3)2
144 = (12)2
√144 = 12
Pytanie 2. Jaki jest sposób na uproszczenie pierwiastka kwadratowego?
Rozwiązanie:
Można obliczyć rozkład na czynniki pierwsze danej liczby. W przypadku, gdy współczynników nie da się zgrupować, do ich grupowania stosuje się symbol pierwiastka kwadratowego. Dla uproszczenia stosuje się następującą regułę:
√xy = √(x × y), gdzie x i y są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Na przykład √12 =
sqrt{2 × 2 × 3} = 23W przypadku ułamków stosuje się następującą regułę:
frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}} Na przykład:
frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10} = √5
Pytanie 3. Rozwiąż: √(x + 2) = 4
Rozwiązanie:
Wiemy,
√(x + 2) = 4
Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymujemy;
x + 2 = √4
x + 2 = ±4
x = ±4 – 2
Dlatego mamy,
x = 2 lub x = -6
wyjątek rzuca java
Pytanie 4. Czy pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej może być liczbą całkowitą? Wyjaśnić.
Rozwiązanie:
Wiemy, że liczby ujemne nie mogą mieć pierwiastka kwadratowego. Dzieje się tak dlatego, że jeśli pomnożymy przez siebie dwie liczby ujemne, otrzymany wynik będzie zawsze liczbą dodatnią. Dlatego pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej będzie miał postać liczby zespolonej.
Pytanie 5. Oblicz pierwiastek kwadratowy z 25 metodą wielokrotnego odejmowania?
Rozwiązanie:
Wykonując powyższe kroki, mamy:
25 – 1 = 24
24 – 3 = 21
21 – 5 = 16
16 – 7 = 9
9 – 9 = 0
Ponieważ proces powtarza się 5 razy, mamy więc √25 = 5.
Pytanie 6. Oblicz pierwiastek kwadratowy z 484 przez metoda długiego dzielenia?
Rozwiązanie:
Metodą długiego dzielenia mamy,
Teraz,
Reszta to 0, zatem 484 jest liczbą doskonałą kwadratową, taką, że:
√484 = 22
