W geometrii kąty dopełniające można zdefiniować jako kąty, których suma wynosi 90 stopni. Na przykład 39° i 51° to kąty dopełniające, ponieważ suma 39° i 51° wynosi 90°. Jeżeli suma dwóch kątów jest kątem prostym, to możemy powiedzieć, że są to kąty dopełniające. Ale czym jest kąt? W geometrii kąt określa się jako przestrzeń utworzoną pomiędzy dwoma promieniami, gdy są one połączone wspólnym punktem zwanym wierzchołkiem. Jeśli θ jest kątem, to (90° – θ) jest kątem dopełniającym θ.
Aby dwa kąty były komplementarne, ich suma musi wynosić 90 stopni, czyli oba kąty muszą być ostre. Jeśli θ jest kątem, to (90° – θ) jest kątem dopełniającym θ.
Rodzaje kątów dopełniających
Mówi się, że dwa kąty są dopełniające, jeśli ich suma wynosi 90°. W geometrii istnieją dwa rodzaje kątów dopełniających, tj. Sąsiednie kąty dopełniające i nieprzylegające do siebie kąty dopełniające.
Sąsiednie kąty dopełniające: Dwa dopełniające się kąty mające wspólny wierzchołek i wspólne ramię nazywane są sąsiadującymi kątami dopełniającymi.
Na podstawie podanego rysunku możemy powiedzieć, że ∠QEF i ∠DEQ są sąsiadującymi kątami, ponieważ oba kąty mają wspólny wierzchołek E i wspólne ramię EQ. Ponieważ ∠QEF + ∠DEQ = 17° + 73° = 90°, ∠QEF i ∠DEQ są również kątami dopełniającymi. Dlatego dwa dane kąty są sąsiadującymi kątami dopełniającymi.
Niesąsiadujące kąty dopełniające: Mówi się, że dwa kąty nie sąsiadują ze sobą, jeśli nie mają wspólnego wierzchołka i wspólnego ramienia. Kąty dopełniające niesąsiadujące to kąty dopełniające, które nie sąsiadują ze sobą.
ciąg zawiera Java
Na podstawie podanego rysunku możemy powiedzieć, że ∠XYZ i ∠ABC są kątami nieprzylegającymi, ponieważ oba kąty nie mają wspólnego wierzchołka i wspólnego ramienia. ∠XYZ i ∠ABC są również kątami dopełniającymi, ponieważ ich suma wynosi 90°, tj. ∠XYZ + ∠ABC = 57° + 33° = 90°. Zatem podane dwa kąty nie sąsiadują ze sobą.
Twierdzenie o kątach dopełniających
Twierdzenie o kątach dopełniających stwierdza to Jeśli dwa kąty są dopełnieniem dowolnego trzeciego kąta, to pierwsze dwa kąty są sobie przystające.
Dowód:
Załóżmy, że ∠COB jest komplementarny do ∠BOA i ∠DOC.
Z definicji kątów dopełniających otrzymujemy,
∠COB + ∠BOA = 90° ————— (1)
∠COB + ∠DOC = 90° ————— (2)
Z równań (1) i (2) możemy powiedzieć, że:
∠COB + ∠BOA = ∠COB + ∠DOC
⇒ ∠COB + ∠BOA – ∠COB – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA – ∠DOC = 0
⇒ ∠BOA = ∠DOC
Zatem twierdzenie zostało udowodnione.
Właściwości kątów dopełniających
Omówmy niektóre właściwości kątów dopełniających.
- Mówi się, że para kątów jest dopełniająca, jeśli ich suma wynosi 90°.
- Dwa dopełniające się kąty mogą sąsiadować lub nie.
- Mówimy, że kąt jest dopełnieniem innego kąta, jeśli suma obu kątów wynosi 90°.
- Nawet jeśli suma trzech lub więcej kątów wynosi 90°, nie mogą się one uzupełniać.
- Dwa dopełniające się kąty są ostre.
Znalezienie dopełnienia kąta
Aby znaleźć dopełnienie kąta, musimy odjąć dany kąt od 90°, ponieważ wiemy, że suma dwóch dopełniających się kątów wynosi 90°. Jeśli θ jest danym kątem, to (90° – θ) jest dopełnieniem θ.
Na przykład oblicz uzupełnienie 17°.
Wiemy, że suma dwóch kątów dopełniających wynosi 90°.
W rezultacie uzupełnienie 17° wynosi (90° – 17°) = 73°.
Zatem uzupełnienie 17° wynosi 73°.
Różnica między kątami dopełniającymi i uzupełniającymi
| Kąty komplementarne | Kąty dodatkowe |
|---|---|
| Jeśli suma pary kątów wynosi 90°, mówimy, że są one komplementarne. | Jeśli suma pary kątów wynosi 180°, mówimy, że są one uzupełniające. |
| (90° – θ) jest dopełnieniem kąta θ. | (180° – θ) jest uzupełnieniem kąta θ. if-else Java |
| Jeśli para komplementarnych łączy się ze sobą, tworzą one kąt prosty. | Jeśli połączy się ze sobą parę dodatkowych, wówczas utworzą linię prostą. |
| Aby dwa kąty były komplementarne, ich suma musi wynosić 90 stopni, czyli oba kąty muszą być ostre. | W dwóch dodatkowych kątach jeden kąt jest ostry, a drugi rozwarty lub oba mogą być kątami prostymi. |
Rozwiązane problemy
Zadanie 1: Oblicz wartości dwóch kątów dopełniających, A i B, jeśli A = (2x – 18)° i B = (5x – 52)°.
Rozwiązanie:
Biorąc pod uwagę dane,
∠A = (2x – 18)° i ∠B = (5x – 52)°
Wiemy to,
Suma dwóch kątów dopełniających = 90°
∠A + ∠B = 90°
⇒ (2x – 18)° + (5x – 52)° = 90°
⇒ 7x – 70° = 90°
⇒ 7x = 90° + 70° = 160°
⇒ x = 160°/7 = 22,85°
Teraz,
∠A = (2 × (22,857) – 18) = 27,714°
∠B = (5 × (22,857) – 52) = 62,286°
Stąd ∠A = 27,714° i ∠B = 62,286°.
Zadanie 2: Określ wartość x, jeśli (5x/3) i (x/6) są kątami dopełniającymi.
Rozwiązanie:
Biorąc pod uwagę dane,
(5x/3) i (x/6) to kąty dopełniające.
Wiemy to,
Suma dwóch kątów dopełniających = 90°
⇒ (5x/3) + (x/6) = 90°
⇒ (10x + x)/6 = 90°
⇒ 11x = 90° × 6 = 540°
⇒ x = 540°/11 = 49,09°
Stąd wartość x = 49,09°.
Zadanie 3: Znajdź wartość x na rysunku poniżej.
Rozwiązanie:
Z podanego rysunku możemy zauważyć, że x i 54° są kątami dopełniającymi, tj. suma x i 54° wynosi 90°.
⇒ x + 54° = 90°
⇒ x = 90° – 54° = 36°
Zatem wartość x wynosi 36°.
Zadanie 4: Znajdź wartość y i miarę kątów na podanym rysunku.
Rozwiązanie:
Z podanego rysunku możemy zauważyć, że (2y – 15)° i (3y – 25)° są kątami dopełniającymi, czyli suma (2y – 15)° i (3y – 25)° wynosi 90°.
⇒ (2 lata – 15)° + (3 lata – 25)° = 90°
⇒ (5y – 40)° = 90°
pętla foreach maszynopisu⇒ 5 lat = 90° + 40° = 130°
⇒ y = 130°/5 = 26°
Teraz (2 lata – 15)° = ( 2 × 26 – 15) = 37°
(3y – 25)° = (3 × 26 – 15) = 53°
Zatem wartość y wynosi 26°, a kąty dopełniające to 37° i 53°.
Zadanie 5: Określ wartość x i miarę kątów dopełniających na rysunku poniżej.
Rozwiązanie:
Biorąc pod uwagę, że (x – 3)° i (2x – 7)° są kątami dopełniającymi, tj. suma (x – 3)° i (2x – 7)° wynosi 90°.
⇒ (x – 3)° + (2x – 7)° = 90°
⇒ (3x – 10)° = 90°
⇒ 3x = 90° + 10° = 100°
⇒ x = 100°/3 = 33,34°
Teraz (x – 3)° = (33,333- 3)° = 30,333° = 30,33°
(2x – 7)° = (2 x (33,333) – 7)° = 59,666° = 59,67°
Zatem wartość x wynosi 33,333°, a trzy dopełniające się kąty to 30,33° i 59,67°.